【志鴻全優(yōu)設(shè)計】高中數(shù)學 第三章 指數(shù)擴充及其運算性質(zhì)講解與例題 北師大版必修1.doc

2指數(shù)擴充及其運算性質(zhì)1指數(shù)概念的擴充(1)整數(shù)指數(shù)冪正整數(shù)指數(shù)冪：一個數(shù)a的n次冪等于n個a的連乘積，(nn)，a叫作冪的底數(shù)，n叫作冪的指數(shù)，an讀作“a的n次冪”零指數(shù)冪：任何一個不為零的數(shù)的0次冪都等于1，即a01(a0)負整數(shù)指數(shù)冪：一個數(shù)的負整數(shù)次冪等于這個數(shù)的正整數(shù)次冪的倒數(shù)，即an (a0，nn)(2)分數(shù)指數(shù)冪給定正實數(shù)a，對于任意給定的整數(shù)m，n(m，n互素)，存在唯一的正實數(shù)b，使得bnam，我們把b叫作a的次冪，記作.它就是分數(shù)指數(shù)冪對分數(shù)指數(shù)冪概念的兩點說明：分數(shù)指數(shù)冪不是個相同因式a相乘，它實質(zhì)上是關(guān)于b的方程bnam的解為什么分數(shù)指數(shù)冪的定義中規(guī)定b0?剖析：由整數(shù)指數(shù)冪的規(guī)定知，當a0時，對任意整數(shù)m，總有am0.若b0，當n為正整數(shù)時，bn0，此時bnam；當n為負整數(shù)或零時，bn無意義，bnam無意義若b0，當n為奇數(shù)時，bn0，此時bnam；當n為偶數(shù)時，雖然bnam成立，但此時，0b0.因此規(guī)定b0.談重點 分數(shù)指數(shù)冪與根式的互化有時我們把正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)冪寫成根式形式，即(a0，m，nn，且n1)正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)冪的意義與負整數(shù)指數(shù)冪的意義相仿，即(a0，m，nn，且n1)在這樣的規(guī)定下，分數(shù)指數(shù)冪可以看作是根式的一種新的寫法，它們表示的意義相同，只是形式上不同而已另外，我們規(guī)定：0的正分數(shù)指數(shù)冪等于0,0的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義(3)無理數(shù)指數(shù)冪當a0，p是一個無理數(shù)時，ap的值就可用兩個指數(shù)為p的不足近似值和過剩近似值構(gòu)成的有理數(shù)冪序列無限逼近而得到(這個逼近結(jié)果的極限就等于ap)，故ap是一個確定的實數(shù)(4)實數(shù)指數(shù)冪：規(guī)定了分數(shù)指數(shù)冪的概念后，指數(shù)概念就實現(xiàn)了由整數(shù)指數(shù)冪向有理數(shù)指數(shù)冪的擴充；規(guī)定了無理數(shù)指數(shù)冪后，指數(shù)概念就由有理數(shù)指數(shù)冪擴充到了實數(shù)指數(shù)冪自然地，對于任意的實數(shù)，有11和a(a0)【例11】把下列各式中的b寫成分數(shù)指數(shù)冪的形式(b0)：(1)b34；(2)b25；(3)bm32n(m，nn)分析：根據(jù)分數(shù)指數(shù)冪的概念可知，若bnam(a0，b0，mz，nz)，則b.解：(1)b；(2)b；(3).【例12】用分數(shù)指數(shù)冪表示下列各式：(1)；(2)；(3)；(4).分析：用分數(shù)指數(shù)冪表示根式時，要緊扣分數(shù)指數(shù)冪的根式形式(a0，m，nn且n1)在中指數(shù)的分母n是開方次數(shù)，分子m是被開方數(shù)的乘方次數(shù)解：(1)；(2)；(3)；(4).【例13】求下列各式的值：(1)；(2)；(3)；(4).分析：求的值，可緊扣分數(shù)指數(shù)冪的概念，即滿足bnam時，b(m，nz，a0，b0)；也可將分數(shù)指數(shù)冪寫成根式的形式再求值解：(方法1)(1)設(shè)x，則x36424 096，又1634 096，x16，即16；(2)設(shè)，則x4811，又，即；(3)設(shè)，則x31251，又，即；(4)設(shè)，則x38264，又4364，x4，即.(方法2)(1)；(2)；(3)；(4).2指數(shù)運算的性質(zhì)(1)正整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)amanamn；(am)namn；(ab)nanbn；當a0時，有n(b0)其中m，nn.(2)實數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)當a0，b0時，對任意實數(shù)m，n都滿足以下三條：amanamn(兩個同底數(shù)的冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加)；(am)namn(冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘)；(ab)nanbn(兩個實數(shù)積的冪等于它們冪的積)破疑點 指數(shù)運算性質(zhì)的理解1在實數(shù)范圍內(nèi)，性質(zhì)n可歸入性質(zhì)(ab)nanbn(其中a0，b0)這是因為n(ab1)nan(b1)nanbn可由性質(zhì)(ab)nanbn推出2在實數(shù)范圍內(nèi)，性質(zhì)可歸入性質(zhì)amanamn(其中a0)這是因為，當mn時，amanam(n)amn；當mn時，amanam(n)amna01；當mn時，amanam(n)amna(nm)都可由性質(zhì)amanamn推出(3)在實數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)中為何規(guī)定a0，b0剖析：這是由分數(shù)指數(shù)冪的定義決定的，因為我們規(guī)定a0時表示一個根式，負數(shù)的分數(shù)指數(shù)冪的意義并沒有定義，指數(shù)冪的運算性質(zhì)不作這樣的限制的話，就會出現(xiàn)運算上的錯誤例如：2，顯然這是錯誤的【例21】用分數(shù)指數(shù)冪的形式表示下列各式(式中a0)(1)；(2)；(3).分析：先利用分數(shù)指數(shù)冪與根式的互化關(guān)系將根式化為分數(shù)指數(shù)冪的形式，再根據(jù)指數(shù)運算的性質(zhì)化簡解：(1)；(2)；(3).析規(guī)律 的應(yīng)用此類問題應(yīng)熟練應(yīng)用(a0，m，nn，且n1)當各式中含有多重根號時，要搞清被開方數(shù)，由里向外用分數(shù)指數(shù)冪寫出，然后再利用指數(shù)運算的性質(zhì)化簡【例22】設(shè)a0，將表示成分數(shù)指數(shù)冪，其結(jié)果是()abcd解析：.答案：c【例23】求下列各式的值(1)；(2)；(3)；(4).解：(1)236；(2)；(3)；(4).析規(guī)律 含根式的式子如何化簡對于含有根式的式子化簡問題，常把根式化成分數(shù)指數(shù)冪的形式；熟練掌握指數(shù)的運算性質(zhì)并靈活應(yīng)用3利用指數(shù)運算性質(zhì)化簡或求值的方法(1)在進行指數(shù)冪和根式的混合運算時，一般要先將根式化為分數(shù)指數(shù)冪，然后根據(jù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)進行運算當化簡式含有多重根號時，要遵循由內(nèi)向外的原則，逐層脫去根號(2)進行指數(shù)運算時，一般化負指數(shù)為正指數(shù)冪，化根式為分數(shù)指數(shù)冪，化小數(shù)為分數(shù)幾個冪相乘時，要特別注意幾個冪底數(shù)的關(guān)系，能統(tǒng)一底數(shù)的要統(tǒng)一底數(shù)，再利用指數(shù)運算性質(zhì)化簡(3)運算結(jié)果不強求一致，若題目給出的是分數(shù)指數(shù)冪的形式，結(jié)果一般也用分數(shù)指數(shù)冪形式；若題目給出的是根式形式，結(jié)果一般也用根式形式；若題目給出的是指數(shù)與根式的混合形式，最后結(jié)果一般保留分數(shù)指數(shù)冪的形式值得注意的是，結(jié)果不能同時含有根號和分數(shù)指數(shù)冪，也不能既有分母又含負指數(shù)冪，能合并同類項的必須合并【例3】化簡或求值(1)；(2)(0.25)0.56250.25；(3)；(4)；(5) (a0)；(6).解：(1)原式；(2)原式2350；(3)原式；(4)原式a0b01；(5)原式；(6)原式.4給值求值問題已知代數(shù)式的值求其他代數(shù)式的值，通常又簡稱為“知值求值”，解決此類題目要從整體上把握已知的代數(shù)式和所求的代數(shù)式的特點與聯(lián)系，然后采取“整體代換”或“求值后代換”兩種方法求值要注意正確地變形，像平方、立方等一些公式的應(yīng)用問題，還要注意開方時的取值符號問題例如，已知，求下列各式的值：(1)aa1；(2)a2a2；(3) .顯然，從已知條件中解出a的值，然后再代入求值，這種方法是不可取的，而應(yīng)設(shè)法從整體尋求結(jié)果與條件的聯(lián)系，進而整體代入求值將兩邊平方，得aa129，即aa17.再將上式平方，有a2a2249，即a2a247.由于，所以有aa118.【例41】已知2x2x5，求(1)4x4x；(2)8x8x.解：(1)4x4x(22)x(22)x(2x)2(2x)2(2x)222x2x(2x)22(2x2x)2252223.(2)8x8x(23)x(23)x(2x)3(2x)3(2x2x)(2x)22x2x(2x)2(2x2x)(4x4x1)5(231)110.析規(guī)律 平方法在求值中的應(yīng)用遇到式子中含有指數(shù)互為相反數(shù)的數(shù)，通常用平方法進行解決，平方后觀察條件和結(jié)論的關(guān)系，變形求解即可本題中用到了兩個公式(ab)2a22abb2，a3