高考專題復(fù)習(xí)函數(shù).doc

學(xué) 科：數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)內(nèi)容：函數(shù)【知能目標(biāo)】1. 準(zhǔn)確理解函數(shù)概念的內(nèi)涵及外延, 了解反函數(shù)的概念及互為反函數(shù)的函數(shù)圖象間的關(guān)系, 會求一些簡單的反函數(shù).2. 掌握求函數(shù)值域的方法: 配方法、換元法、反解法、單調(diào)性法、判別式法、圖象法等.3. 掌握求函數(shù)解析式的方法: 待定系數(shù)法、消元法等.4. 了解函數(shù)的單調(diào)性的概念, 掌握判斷一些簡單函數(shù)的單調(diào)性的方法.5. 了解奇函數(shù)、偶函數(shù)的意義.6. 理解分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念, 掌握有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì). 掌握指數(shù)函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì).7. 理解對數(shù)的概念, 掌握對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì). 掌握對數(shù)函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì).8. 能夠運(yùn)用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解決某些簡單的實(shí)際問題.【綜合脈絡(luò)】【知識歸納】一、函數(shù)的定義、分段函數(shù)的定義和理解1.函數(shù)的定義：設(shè)X是一個(gè)非空集合，Y是非空數(shù)集 ，f是個(gè)對應(yīng)法則 ， 若對X中的每個(gè)x，按對應(yīng)法則f，使Y中存在唯一的一個(gè)元素y與之對應(yīng) ， 就稱對應(yīng)法則f是X上的一個(gè)函數(shù)，記作yf（x），稱X為函數(shù)f（x）的定義域，集合y|y=f（x），xR為其值域（值域是Y的子集），x叫做自變量，y叫做因變量，習(xí)慣上也說y是x的函數(shù)。2.分段函數(shù)：分段函數(shù)是指在不同的定義上域上有不同的對應(yīng)法則的函數(shù).它是一個(gè)函數(shù),不要誤認(rèn)為 是幾個(gè)函數(shù):分段函數(shù)的定義域是各段函數(shù)定義域的并集,值域也是各段函數(shù)值域的并集.二、函數(shù)的性質(zhì)1定義域（自然定義域、分段函數(shù)的定義域、應(yīng)用題中的定義域、復(fù)合函數(shù)的定義域等）；2值域（求值域：分拆法、圖象法、單調(diào)性法、基本不等式法、換元法、判別式法等）；3奇偶性（在整個(gè)定義域內(nèi)考慮）（1）定義：（2）判斷方法：.定義法步驟：求出定義域并判斷定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱；求； 比較或的關(guān)系；.圖象法（3）常用的結(jié)論已知：若非零函數(shù)的奇偶性相同，則在公共定義域內(nèi)為偶函數(shù)；若非零函數(shù)的奇偶性相反，則在公共定義域內(nèi)為奇函數(shù)；若是奇函數(shù)，且，則.4單調(diào)性（在定義域的某一個(gè)子集內(nèi)考慮）（1）定義：（2）證明函數(shù)單調(diào)性的方法：.定義法 步驟：設(shè)；作差（一般結(jié)果要分解為若干個(gè)因式的乘積，且每一個(gè)因式的正或負(fù)號能清楚地判斷出）；判斷正負(fù)號。.（多項(xiàng)式函數(shù)）用導(dǎo)數(shù)證明： 若在某個(gè)區(qū)間A內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，則 在A內(nèi)為增函數(shù)； 在A內(nèi)為減函數(shù).（3）求單調(diào)區(qū)間的方法： a.定義法： b.導(dǎo)數(shù)法： c.圖象法： d.復(fù)合函數(shù)在公共定義域上的單調(diào)性：若f與g的單調(diào)性相同，則為增函數(shù)； 若f與g的單調(diào)性相反，則為減函數(shù)。注意：先求定義域，單調(diào)區(qū)間是定義域的子集.（4）一些有用的結(jié)論：奇函數(shù)在其對稱區(qū)間上的單調(diào)性相同；偶函數(shù)在其對稱區(qū)間上的單調(diào)性相反；在公共定義域內(nèi)：增函數(shù)增函數(shù)是增函數(shù)；減函數(shù)減函數(shù)是減函數(shù)；增函數(shù)減函數(shù)是增函數(shù)；減函數(shù)增函數(shù)是減函數(shù)。 一個(gè)重要的函數(shù)：函數(shù)在上單調(diào)遞增；在上是單調(diào)遞減.5函數(shù)的周期性（1）定義：若T為非零常數(shù)，對于定義域內(nèi)的任一x，使恒成立，則叫做周期函數(shù)，T叫做這個(gè)函數(shù)的一個(gè)周期.舉例：若函數(shù)在R上是奇函數(shù)，且在上是增函數(shù)，且，則關(guān)于 對稱；的周期為 ；在（1，2）是 函數(shù)（增、減）；若（0，1）時(shí)=，則= 。三、函數(shù)的圖象1基本函數(shù)的圖象：（1）一次函數(shù)、（2）二次函數(shù)、（3）反比例函數(shù)、（4）指數(shù)函數(shù)、（5）對數(shù)函數(shù)、（6）三角函數(shù)、（7）函數(shù).2圖象的變換（1）平移變換函數(shù)的圖象是把函數(shù)的圖象沿軸向左平移個(gè)單位得到的；函數(shù)的圖象是把函數(shù)的圖象沿軸向右平移個(gè)單位得到的；函數(shù)的圖象是把函數(shù)的圖象沿軸向上平移個(gè)單位得到的；函數(shù)的圖象是把函數(shù)的圖象沿軸向下平移個(gè)單位得到的；（2）對稱變換函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=0對稱；函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=0對稱；函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱；如果函數(shù)對于一切都有 ，那么 的圖象關(guān)于直線對稱；如果函數(shù)對于一切都有，那么 的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱。函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱。 與關(guān)于直線對稱。（3）伸縮變換（主要在三角函數(shù)的圖象變換中）舉例：已知函數(shù)的圖象過點(diǎn)（1，1），則的反函數(shù)的圖象過點(diǎn) 。四、函數(shù)的反函數(shù)1求反函數(shù)的步驟：（1）求原函數(shù)的值域B（2）把看作方程，解出（注意開平方時(shí)的符號取舍）；（3）互換x、y，得的反函數(shù)為.2定理：（1），即點(diǎn)在原函數(shù)圖象上點(diǎn)在反函數(shù)圖象上；（2）原函數(shù)與反函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱.3有用的結(jié)論：原函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)的，則一定存在反函數(shù)，且反函數(shù)也單調(diào)的，且單調(diào)性相同；但一個(gè)函數(shù)存在反函數(shù)，此函數(shù)不一定單調(diào)。舉例1：，的反函數(shù)為 。2：設(shè) 。五、函數(shù)、方程與不等式1“實(shí)系數(shù)一元二次方程有實(shí)數(shù)解”轉(zhuǎn)化為“”，你是否注意到必須；當(dāng)=0時(shí)，“方程有解”不能轉(zhuǎn)化為。若原題中沒有指出是“二次”方程、函數(shù)或不等式，你是否考慮到二次項(xiàng)系數(shù)可能為零的情形？2、利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，討論一元二次方程實(shí)根的分布。設(shè)為方程的兩個(gè)實(shí)根。若則；當(dāng)在區(qū)間內(nèi)有且只有一個(gè)實(shí)根，時(shí)，當(dāng)在區(qū)間內(nèi)有且只有兩個(gè)實(shí)根時(shí)， 若時(shí)注意：根據(jù)要求先畫出拋物線，然后寫出圖象成立的充要條件。注意端點(diǎn)，驗(yàn)證端點(diǎn)。六、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)1指數(shù)式與對數(shù)式： 對數(shù)的三個(gè)性質(zhì)：； 對數(shù)恒等式：； 對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)：. . .2指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)（1）定義和關(guān)系：（2）特征圖象與性質(zhì)歸納（列表）指數(shù)函數(shù)y=ax (a0,a1)對數(shù)函數(shù)y=log ax (a0,a1)特征圖象0a10a1定義域（，+）（0，+）值域（0，+）（，+）單調(diào)性減函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)增函數(shù)定點(diǎn)（0，1）（1，0）函數(shù)值分布x1；x0時(shí)，0y1xo時(shí)，0y0時(shí)，y10x0；x1時(shí)，y00x1時(shí)，y1時(shí)，y0（3）有用的結(jié)論函數(shù)與（且）圖象關(guān)于直線對稱；函數(shù)與（且）圖象關(guān)于軸對稱；函數(shù)與（且）圖象關(guān)于軸對稱.記住兩個(gè)指數(shù)（對數(shù)）函數(shù)的圖象如何區(qū)別？七、求導(dǎo)公式與法則八、導(dǎo)函數(shù)的運(yùn)用運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值的步驟：（1）求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，設(shè)y0求出單調(diào)增區(qū)間，其補(bǔ)集為減區(qū)間（2）求函數(shù)的極值及端點(diǎn)值（3） 比較極值及端點(diǎn)值的大小，最大的為函數(shù)最大值，最小的為函數(shù)最小值。【考點(diǎn)聚焦】考點(diǎn)1：函數(shù)的概念、表示法、定義域、值域、最值；考點(diǎn)2：函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性；考點(diǎn)3：指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的定義、性質(zhì)（尤其是單調(diào)性）、圖象和應(yīng)用；考點(diǎn)4：反函數(shù)的定義、求反函數(shù)、函數(shù)圖象的位置關(guān)系；考點(diǎn)5：抽象函數(shù)問題的求解考點(diǎn)6：運(yùn)用函數(shù)的思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想解決問題考點(diǎn)7：導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.【自我檢測】1、函數(shù)的定義是_.2、對于函數(shù)定義域內(nèi)任意x，若有則f(x)為奇函數(shù)，若有，則f(x)為偶函數(shù).奇函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于對稱.3、給定區(qū)間D上的函數(shù)f(x)，若對于任意x1,x2D，當(dāng)x10a0且a1)對數(shù)函數(shù)y=logax(a0且a1)圖象a10a10a0,a1,x0),求f(x)的表達(dá)式 (2)已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c滿足|f(1)|=|f(1)|=|f(0)|=1,求f(x)的表達(dá)式 思路分析 (1)用換元法；(2)用待定系數(shù)法 解 (1)令t=logax(a1，t0；0a1，t1,x0;0a1,x0恒成立，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍 思路分析 解法一運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想把f(x)0轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的二次不等式；解法二運(yùn)用分類討論思想解得 (1)解 當(dāng)a=時(shí)，f(x)=x+2f(x)在區(qū)間1，+上為增函數(shù)，f(x)在區(qū)間1，+上的最小值為f(1)= (2)解法一 在區(qū)間1，+上，f(x)= 0恒成立x2+2x+a0恒成立 設(shè)y=x2+2x+a,x1,+，y=x2+2x+a=(x+1)2+a1遞增，當(dāng)x=1時(shí)，ymin=3+a,當(dāng)且僅當(dāng)ymin=3+a0時(shí)，函數(shù)f(x)0恒成立，故a3 解法二 f(x)=x+2,x1,+當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)f(x)的值恒為正；當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)f(x)0恒成立，故a3 點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)的最小值以及單調(diào)性問題，著重于學(xué)生的綜合分析能力以及運(yùn)算能力 解題的關(guān)健是把求a的取值范圍的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.通過求f(x)的最值問題來求a的取值范圍，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想與分類討論的思想 演變3：設(shè)m是實(shí)數(shù)，記M=m|m1,f(x)=log3(x24mx+4m2+m+) (1)證明 當(dāng)mM時(shí)，f(x)對所有實(shí)數(shù)都有意義；反之，若f(x)對所有實(shí)數(shù)x都有意義，則mM (2)當(dāng)mM時(shí)，求函數(shù)f(x)的最小值 (3)求證 對每個(gè)mM,函數(shù)f(x)的最小值都不小于1 問題3：函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性是高考的重點(diǎn)內(nèi)容之一，考查內(nèi)容靈活多樣.判斷函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性方法：若為具體函數(shù)，嚴(yán)格按照定義判斷；若為抽象函數(shù)，用好賦值法，注意賦值的科學(xué)性、合理性 復(fù)合函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性 解決的關(guān)鍵在于 既把握復(fù)合過程，又掌握基本函數(shù) 例3：已知函數(shù)f(x)在(1，1)上有定義，f()=1,當(dāng)且僅當(dāng)0x1時(shí)f(x)0,且對任意x、y(1,1)都有f(x)+f(y)=f(),試證明 (1)f(x)為奇函數(shù)；(2)f(x)在(1，1)上單調(diào)遞減 思路分析：對于(1)，獲得f(0)的值進(jìn)而取x=y是解題關(guān)鍵；對于(2)，判定的范圍是焦點(diǎn) 證明 (1)由f(x)+f(y)=f()可令x=y=0,得f(0)=0,令y=x,得f(x)+f(x)=f()=f(0)=0 f(x)=f(x) f(x)為奇函數(shù) (2)先證f(x)在(0，1)上單調(diào)遞減 令0x1x21,則f(x2)f(x1)=f(x2)+f(x1)=f()0x1x20,1x1x20，0,又(x2x1)(1x2x1)=(x21)(x1+1)0，x2x11x2x1,01,由題意知f()0，即f(x2)0時(shí)，f(x)1，且對任意的a、bR，有f(a+b)=f(a)f(b)，（1）求證：f(0)=1；（2）求證：對任意的xR，恒有f(x)0；（3）證明：f(x)是R上的增函數(shù)；點(diǎn)撥與提示：根據(jù)f(a+b)=f(a)f(b)是恒等式的特點(diǎn)，對a、b適當(dāng)賦值.利用單調(diào)性的性質(zhì)去掉符號“f”得到關(guān)于x的代數(shù)不等式，是處理抽象函數(shù)不等式的典型方法.演變5：已知奇函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，且f(x)在0，+)上是增函數(shù)，是否存在實(shí)數(shù)m,使f(cos23)+f(4m2mcos)f(0)對所有0,都成立？若存在，求出符合條件的所有實(shí)數(shù)m的范圍，若不存在，說明理由 點(diǎn)撥與提示 本題屬于探索性問題，主要考查考生的綜合分析能力和邏輯思維能力以及運(yùn)算能力 要依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，利用等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想方法把問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題 問題4：二次函數(shù)、一元二次方程、一元二次不等式的相關(guān)問題三個(gè)“二次”是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，具有豐富的內(nèi)涵和密切的聯(lián)系，同時(shí)也是研究包含二次曲線在內(nèi)的許多內(nèi)容的工具高考試題中近一半的試題與這三個(gè)“二次”問題有關(guān)復(fù)習(xí)時(shí)要理解三者之間的區(qū)別及聯(lián)系，掌握函數(shù)、方程及不等式的思想和方法例4：已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c和一次函數(shù)g(x)=bx，其中a、b、c滿足abc,a+b+c=0,(a,b,cR)(1)求證兩函數(shù)的圖象交于不同的兩點(diǎn)A、B；(2)求線段AB在x軸上的射影A1B1的長的取值范圍 (1)證明由消去y得ax2+2bx+c=0=4b24ac=4(ac)24ac=4(a2+ac+c2)=4(a+c2a+b+c=0,abc,a0,c0,0,即兩函數(shù)的圖象交于不同的兩點(diǎn)(2)解設(shè)方程ax2+bx+c=0的兩根為x1和x2,則x1+x2=,x1x2=|A1B1|2=(x1x2)2=(x1+x2)24x1x2abc,a+b+c=0,a0,cacc,解得(2,)的對稱軸方程是(2,)時(shí)，為減函數(shù)|A1B1|2(3,12),故|A1B1|()點(diǎn)評 本題主要考查考生對函數(shù)中函數(shù)與方程思想的運(yùn)用能力 解答本題的關(guān)健是熟練應(yīng)用方程的知識來解決問題及數(shù)與形的完美結(jié)合由于此題表面上重在“形”，因而一些考生可能走入誤區(qū)，老是想在“形”上找解問題的突破口，而忽略了“數(shù)”演變6：已知對于x的所有實(shí)數(shù)值，二次函數(shù)f(x)=x24ax+2a+12(aR)的值都是非負(fù)的，求關(guān)于x的方程=|a1|+2的根的取值范圍問題5：含參數(shù)的指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)與不等式綜合問題掌握指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)并能靈活應(yīng)用圖象和性質(zhì)分析問題、解決問題；特別是底是參數(shù)時(shí)，一定要區(qū)分底是大于1還是小于1，與對數(shù)有關(guān)的問題還要緊扣對數(shù)函數(shù)的定義域.例5：在xOy平面上有一點(diǎn)列P1(a1,b1),P2(a2,b2),Pn(an,bn),對每個(gè)自然數(shù)n點(diǎn)Pn位于函數(shù)y=2000()x(0a1)的圖象上，且點(diǎn)Pn，點(diǎn)(n,0)與點(diǎn)(n+1,0)構(gòu)成一個(gè)以Pn為頂點(diǎn)的等腰三角形 (1)求點(diǎn)Pn的縱坐標(biāo)bn的表達(dá)式；(2)若對于每個(gè)自然數(shù)n,以bn,bn+1,bn+2為邊長能構(gòu)成一個(gè)三角形，求a的取值范圍；(3)設(shè)Cn=lg(bn)(nN*),若a取(2)中確定的范圍內(nèi)的最小整數(shù)，問數(shù)列Cn前多少項(xiàng)的和最大？試說明理由 思路分析 本題屬于知識綜合題，關(guān)鍵在于讀題過程中對條件的思考與認(rèn)識，從中找出與n之間的關(guān)系式. 解 (1)由題意知 an=n+,bn=2000() (2)函數(shù)y=2000()x(0abn+1bn+2 則以bn,bn+1,bn+2為邊長能構(gòu)成一個(gè)三角形的充要條件是bn+2+bn+1bn,即()2+()10，解得a5(1) 5(1)a10 (3)5(1)a10,a=7bn=2000() 數(shù)列bn是一個(gè)遞減的正數(shù)數(shù)列，對每個(gè)自然數(shù)n2，Bn=bnBn1 于是當(dāng)bn1時(shí)，BnBn1，當(dāng)bn1時(shí)，BnBn1,因此數(shù)列Bn的最大項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)n滿足不等式bn1且bn+1;(3)若F(x)的反函數(shù)F1(x),證明 方程F1(x)=0有惟一解 問題6：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)有兩種方法：一種方法是用定義求，先求函數(shù)的改變量，再求平均變化率，最后取極限，得導(dǎo)數(shù)；另一種方法是利用公式與法則求導(dǎo)數(shù).利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)：先對函數(shù)求導(dǎo)，再利用導(dǎo)數(shù)y的正負(fù)判斷函數(shù)的單調(diào)性或求函數(shù)的極值（或最值）例6已知f(x)=ax3+bx2+cx(a0)在x=1時(shí)取得極值，且f(1)=1 (1)試求常數(shù)a、b、c的值；(2)試判斷x=1是函數(shù)的極小值還是極大值，并說明理由 思路分析 先求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，再通過極值點(diǎn)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，建立由極值點(diǎn)x=1所確定的相等關(guān)系式，運(yùn)用待定系數(shù)法求值 解 (1)f(x)=3ax2+2bx+cx=1是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)，x=1是方程f(x)=0,即3ax2+2bx+c=0的兩根 由根與系數(shù)的關(guān)系，得又f(1)=1,a+b+c=1, 由解得a=,(2)f(x)=x3x,f(x)=x2=(x1)(x+1)當(dāng)x1或x1時(shí)，f(x)0當(dāng)1x1時(shí)，f(x)0函數(shù)f(x)在(,1)和(1,+)上是增函數(shù)，在(1，1)上是減函數(shù) 當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)取得極大值f(1)=1,當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)取得極小值f(1)=1 點(diǎn)評 利用一階導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值和極小值的方法是導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)方面的繼續(xù)深入 是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的關(guān)鍵知識點(diǎn)，通過對函數(shù)極值的判定，可使學(xué)生加深對函數(shù)單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)關(guān)系的理解 本題從逆向思維的角度出發(fā)，根據(jù)題設(shè)結(jié)構(gòu)進(jìn)行逆向聯(lián)想，合理地實(shí)現(xiàn)了問題的轉(zhuǎn)化，使抽象的問題具體化 這是解答本題的閃光點(diǎn) 演變8：已知f(x)=x2+c,且ff(x)=f(x2+1)(1)設(shè)g(x)=ff(x),求g(x)的解析式；(2)設(shè)(x)=g(x)f(x),試問 是否存在實(shí)數(shù),使(x)在(,1)內(nèi)為減函數(shù)，且在(1，0)內(nèi)是增函數(shù) 點(diǎn)撥與提示：由ff(x)=f(x2+1)求出c，進(jìn)而得到函數(shù)的解析式，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.專題小結(jié)1、求解函數(shù)解析式是高考重點(diǎn)考查內(nèi)容之一，求解函數(shù)解析式的方法主要有 （1） 待定系數(shù)法（2）換元法或配湊法，已知復(fù)合函數(shù)fg(x)的表達(dá)式可用換元法，當(dāng)表達(dá)式較簡單時(shí)也可用配湊法；（3）消參法，若已知抽象的函數(shù)表達(dá)式，則用解方程組消參的方法求解f(x);另外，在解題過程中經(jīng)常用到分類討論、等價(jià)轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法2、函數(shù)值域的常用求法 配方法、分離變量法、單調(diào)性法、圖象法、換元法、不等式法等 無論用什么方法求函數(shù)的值域，都必須考慮函數(shù)的定義域 3、函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性是高考的重點(diǎn)內(nèi)容之一，考查內(nèi)容靈活多樣.判斷函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性方法：若為具體函數(shù)，嚴(yán)格按照定義判斷；若為抽象函數(shù)，用好賦值法，注意賦值的科學(xué)性、合理性 復(fù)合函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性 解決的關(guān)鍵在于 既把握復(fù)合過程，又掌握基本函數(shù)4、三個(gè)“二次”是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，具有豐富的內(nèi)涵和密切的聯(lián)系，同時(shí)也是研究包含二次曲線在內(nèi)的許多內(nèi)容的工具.高考試題中近一半的試題與這三個(gè)“二次”問題有關(guān).復(fù)習(xí)時(shí)要理解三者之間的區(qū)別及聯(lián)系，掌握函數(shù)、方程及不等式的思想和方法5、掌握指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)并能靈活應(yīng)用圖象和性質(zhì)分析問題、解決問題；特別是底是參數(shù)時(shí)，一定要區(qū)分底是大于1還是小于1，與對數(shù)有關(guān)的問題還要緊扣對數(shù)函數(shù)的定義域.6、求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)有兩種方法：一種方法是用定義求，先求函數(shù)的改變量，再求平均變化率，最后取極限，得導(dǎo)數(shù)；另一種方法是利用公式與法則求導(dǎo)數(shù).利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)：先對函數(shù)求導(dǎo)，再利用導(dǎo)數(shù)y的正負(fù)判斷函數(shù)的單調(diào)性或求函數(shù)的極值（或最值）【挑戰(zhàn)自我】設(shè)函數(shù)，試證明：（1）存在兩個(gè)實(shí)數(shù)滿足：（2）；（3）思路：由“存在兩個(gè)實(shí)數(shù)”聯(lián)想到構(gòu)造一個(gè)關(guān)于m的二次方程，只需證明該方程有兩個(gè)不等的實(shí)根即可.證明：（1）令，將f(x)的解析式代入化簡得關(guān)于m的一元二次方程：，因?yàn)?，所以方程有兩個(gè)不等實(shí)根，記為，故實(shí)數(shù)滿足方程（2）因?yàn)槭欠匠谭匠痰膬蓪?shí)根，所以，（3）由（1）知，所以0，所以點(diǎn)評：本題以全新的面目考查了二次方程、二次不等式的有關(guān)內(nèi)容，從而將函數(shù)、方程、不等式融為一體.這里的處理由到再到是循序漸進(jìn)的，若將變?yōu)椋@是一個(gè)關(guān)于1m的一元二次方程，這的兩個(gè)實(shí)根為，且兩根之積為，這就同時(shí)證明了（1）和（2）.再將已知條件變形為y=f(x) 變形為，由0得與比較可得，即可見這里的實(shí)質(zhì)上是函數(shù)f(x)的最小值、最大值.這從題（3）中可以悟出來.對題目的要求：有較大的難度，有特別的解題思路、演變角度，要有一定的梯度.答案及點(diǎn)撥演變1：解法一(換元法）f(2cosx)=cos2xcosx=2cos2xcosx1令u=2cosx(1u3),則cosx=2uf(2cosx)=f(u)=2(2u)2(2u)1=2u27u+5(1u3)f(x1)=2(x1)27(x1)+5=2x211x+4(2x4)解法二 (配湊法）f(2cosx)=2cos2xcosx1=2(2cosx)27(2cosx）+5f(x)=2x27x5(1x3),即f(x1)=2x211x+14(2x4)演變2：解 (1)當(dāng)x1時(shí)，設(shè)f(x)=x+b射線過點(diǎn)(2，0) 0=2+b即b=2，f(x)=x+2 (2)當(dāng)1x1,(xm)2+m+0恒成立，故f(x)的定義域?yàn)镽 反之，若f(x)對所有實(shí)數(shù)x都有意義，則只須x24mx+4m2+m+0,令0,即16m24(4m2+m+)0,解得m1,故mM (2)解析 設(shè)u=x24mx+4m2+m+,y=log3u是增函數(shù)，當(dāng)u最小時(shí)，f(x)最小.而u=(x2m)2+m+,顯然，當(dāng)x=m時(shí)，u取最小值為m+,此時(shí)f(2m)=log3(m+)為最小值 (3)證明 當(dāng)mM時(shí)，m+=(m1)+ +13,當(dāng)且僅當(dāng)m=2時(shí)等號成立 log3(m+)log33=1 演變4：（1） 令a=b=0，則f(0)=f(0)2， f(0)0， f(0)=1（2） 令a=x，b=-x， 則 f(0)=f(x)f(-x)， 由已知x0時(shí)，f(x)10； 當(dāng)x0，f(-x)0， 又x=0時(shí)，f(0)=10， 對任意xR，f(x)0（3） 任取x2x1，則f(x2)0，f(x1)0，x2-x10 f(x2)f(x1)， f(x)在R上是增函數(shù)演變5 f(x)是R上的奇函數(shù)，且在0，+)上是增函數(shù)，f(x)是R上的增函數(shù) 于是不等式可等價(jià)地轉(zhuǎn)化為f(cos23)f(2mcos4m),即cos232mcos4m,即cos2mcos+2m20 設(shè)t=cos,則問題等價(jià)地轉(zhuǎn)化為函數(shù)g(t)=t2mt+2m2=(t)2+2m2在0，1上的值恒為正，又轉(zhuǎn)化為函數(shù)g(t)在0，1上的最小值為正 當(dāng)0,即m0m1與m042m4+2,421,即m2時(shí)，g(1)=m10m1 m2綜上，符合題目要求的m的值存在，其取值范圍是m42 演變6：由條件知0,即(4a）24(2a+12)0,a2(1)當(dāng)a1時(shí)，原方程化為x=a2+a+6,a2+a+6=(a)2+a=時(shí)，xmin=,a=時(shí)，xmax=x(2)當(dāng)1a2時(shí)，x=a2+3a+2=(a+)2當(dāng)a=1時(shí)，xmin=6,當(dāng)a=2時(shí)，xmax=12,6x12綜上所述,x12演變7：(1)由0,且2x0得F(x)的定義域?yàn)?1，1)，設(shè)1x1x21,則F(x2)F(x1)=()+(),x2x10,2x10,2x20,上式第2項(xiàng)中對數(shù)的真數(shù)大于1 因此F(x2)F(x1)0,F(x2)F(x1),F(x)在(1，1）上是增函數(shù) (2)證明 由y=f(x)=得 2y=,f1(x)=,f(x)的值域?yàn)镽，f-1(x)的定義域?yàn)镽 當(dāng)n3時(shí)，f-1(n) 用二項(xiàng)式定理或數(shù)學(xué)歸納法易證2n2n+1(n3),證略 (3)證明 F(0)=,F1()=0,x=是F1(x)=0的一個(gè)根 假設(shè)F1(x)=0還有一個(gè)解x0(x0),則F-1(x0)=0,于是F(0)=x0(x0) 這是不可能的，故F-1(x)=0有惟一解 演變8 (1)由題意得ff(x)=f(x2+c)=(x2+c)2+cf(x2+1)=(x2+1)2+c,ff(x)=f(x2+1)(x2+c)2+c=(x2+1)2+c,x2+c=x2+1,c=1f(x)=x2+1,g(x)=ff(x)=f(x2+1)=(x2+1)2+1(2)(x)=g(x)f(x)=x4+(2)x2+(2)若滿足條件的存在，則(x)=4x3+2(2)x函數(shù)(x)在(,1)上是減函數(shù)，當(dāng)x1時(shí)，(x)0即4x3+2(2)x0對于x(,1)恒成立2(2)4x2,x1,4x242(2)4,解得4又函數(shù)(x)在(1,0)上是增函數(shù)當(dāng)1x0時(shí)，(x)0即4x2+2(2)x0對于x(1,0)恒成立2(2)4x2,1x0,44x202(2)4,解得4故當(dāng)=4時(shí)，(x)在(,1)上是減函數(shù)，在(1,0)上是增函數(shù)，即滿足條件的存在?！净A(chǔ)達(dá)標(biāo)】一、選擇題1. 設(shè)集合A和集合B都是自然數(shù)集合N，映射把集合A中的元素映射到集合B中的元素，則在映射下，象20的原象是( )（A）2 （B）3（C）4 （D）52. 下列函數(shù)中值域?yàn)榈氖? )(A) (B) (C) (D) 3. 若函數(shù)的圖象經(jīng)過，那么的反函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)( )(A) (B)(C) (D) 4.函數(shù)(，且)的圖象必經(jīng)過點(diǎn)( )(A)(0，1) (B)(1，1) (C) (2， 0) (D) (2，2)5.下列函數(shù)中既是奇函數(shù),又在定義域上為增函數(shù)的是 ( )(A)f(x)=3x1 (B)f(x)=(C)f(x)=1 (D)f(x)=x36、若函數(shù)f(x)=的反函數(shù)f1(x)=f(x),則m的值是 ( )(A)1 (B)1 (C)2 (D)212、集合A=a,b,集合B=c,d,e,則A到B的映射個(gè)數(shù)是 ( )(A)6個(gè) (B)7個(gè) (C)8個(gè) (D)9個(gè)7、下列函數(shù)中在區(qū)間(0,)是增函數(shù)的為 ( )(A)y=x2 (B)y=x22 (C) (D)8、函數(shù)是 ( )(A)偶函數(shù) (B)奇函數(shù) (C)非奇非偶函數(shù) (D)奇函數(shù)又是偶函數(shù)9的值是( )（A）1 （B） （C） （D）210函數(shù)y=的單調(diào)遞增區(qū)間是( ) （A）(,+) （B）(, 0) （C）(0, +) （D）不存在11若1，則a的取值范圍是( ) （A）0a （B）a1 （C）a1 （D）0a112、化簡可得 ( )(A)log54 (B)3log52 (C)log36 (D)3二、填空題13.設(shè)a0, 1b0, 則a、ab、ab2三者的大小關(guān)系是_ _。14.不等式的解集為_15.已知扇形的周長為20，半徑為，扇形面積為，則 ；定義域?yàn)?。16.若，,則到的映射有 個(gè)，到的映射有 個(gè)；若，, 則到的一一映射有 個(gè)。17. 設(shè)，則_.18. 函數(shù)與互為反函數(shù)的充要條件是_ 19. 若點(diǎn)既在函數(shù)的圖象上，又在它的反函數(shù)的圖象上，則= ， =_ _ 三、解答題20.判斷函數(shù)的奇偶性：,21.求函數(shù) （-1 x 0）的反函數(shù)22.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。參考答案：1-12.CBBDACCBABBDD13. aab2ab 14.x|2x115. (0,10) 16. , , 6 17. 118. m=2,n=19. =， =20.解：定義域：,關(guān)于原點(diǎn)非對稱區(qū)間此函數(shù)為非奇非偶函數(shù).21. 解 -1x 0,0 x2 1 ,01 - x2 1, 0 1 ,0 y 1由：解得： ( -1x 0 )(-1 x 0)的反函數(shù)是：( 0 x 1 )22.遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是【能力提升】 1 （06年廣東）函數(shù)的定義域是（） A. B. C. D. 2 設(shè)f(x)是R上的奇函數(shù)，且f(x+2)=f(x),當(dāng)0x1時(shí)，f(x)=x,則f(75)等于( )A 0 5B 0 5 C 1 5D 1 53 若不等式(a2)x2+2(a2)x40,b0)是奇函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，f(x)有最小值2，其中bN且f(1)0且a1)(1)令t=ax,求y=f(x)的表達(dá)式；(2)若x(0,2時(shí)，y有最小值8，求a和x的值19 設(shè)函數(shù)f(x)=loga(x3a)(a0且a1),當(dāng)點(diǎn)P(x,y)是函數(shù)y=f(x)圖象上的點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)Q(x2a,y)是函數(shù)y=g(x)圖象上的點(diǎn) (1)寫出函數(shù)y=g(x)的解析式；(2)若當(dāng)xa+2,a+3時(shí)，恒有|f(x)g(x)|1,試確定a的取值范圍 20. （06浙江）設(shè)f(x)=3ax,f(0)0，f(1)0，求證：()a0且-2-1；()方程f(x)=0在（0，1）內(nèi)有兩個(gè)實(shí)根.21. (06重慶)已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)是奇函數(shù)。（）求的值；（）若對任意的，不等式恒成立，求的取值范圍；參考答案：1-9.BBCACBDCC10. 4x-y-1=0 11. 3. 12. 13. 14. -x-x415解：（）由方程 因?yàn)榉匠逃袃蓚€(gè)相等的根，所以，解得(舍去)或代入得的解析式 （）由及由 解得 故當(dāng)?shù)淖畲笾禐檎龜?shù)時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍是16.解：(I)因?yàn)槭呛瘮?shù)的一個(gè)極值點(diǎn),所以,即，所以（II）由（I）知，=當(dāng)時(shí)，有，當(dāng)變化時(shí)，與的變化如下表：100調(diào)調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減故有上表知，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（III）由已知得，即又所以即設(shè)，其函數(shù)開口向上，由題意知式恒成立，所以解之得又所以即的取值范圍為17 解 (1)f(x)是奇函數(shù)，f(x)=f(x),即c=0,a0,b0,x0,f(x)=2，當(dāng)且僅當(dāng)x=時(shí)等號成立，于是2=2,a=b2,由f(1)得即,2b25b+20,解得b2，又bN,b=1,a=1,f(x)=x+ (2)設(shè)存在一點(diǎn)(x0,y0)在y=f(x)的圖象上，并且關(guān)于(1，0）的對稱點(diǎn)(2x0,y0)也在y=f(x)圖象上，則消去y0得x022x01=0,x0=1 y=f(x)圖象上存在兩點(diǎn)(1+,2),(1,2)關(guān)于(1，0)對稱18 解 (1）由loga得logat3=logty3logta由t=ax知x=logat，代入上式得x3=,logay=x23x+3，即y=a (x0)(2)令u=x23x+3=(x)2+ (x0),則y=au若0a1,要使y=au有最小值8，則u=(x)2+在(0，2上應(yīng)有最大值，但u在(0，2上不存在最大值若a1,要使y=au有最小值8，則u=(x)2+,x(0,2應(yīng)有最小值當(dāng)x=時(shí)，umin=,ymin=，由=8得a=16.所求a=16,x=19 解 (1)設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x,y)，則x=x2a,y=y 即x=x+2a,y=y 點(diǎn)P(x,y)在函數(shù)y=loga(x3a)的圖象上，y=loga(x+2a3a),即y=loga,g(x)=loga (2)由題意得x3a=(a+2)3a=2a+20;=0,又a0且a1,0a1,|f(x)g(x)|=|loga(x3a)loga|=|loga(x24ax+3a2)|f(x)g(x)|1,1loga(x24ax+3a2)1,0a1,a+22a f(x)