2017-2018學年高中數學三角函數1.4.2第二課時正弦函數余弦函數的單調性與最值學案新人教A版.docx

第二課時正弦函數、余弦函數的單調性與最值預習課本P3740，思考并完成以下問題(1)正、余弦函數的單調區(qū)間分別是什么？ (2)正、余弦函數的最值分別是多少？取最值時自變量x的值是多少？ 正弦函數、余弦函數的圖象和性質正弦函數余弦函數圖象值域1,11,1單調性在(kZ)上遞增，在 (kZ)上遞減在2k，2k(kZ)上遞增，在2k，2k(kZ)上遞減最值x2k(kZ)時，ymax1；x2k(kZ)時，ymin1x2k(kZ)時，ymax1；x2k(kZ)時，ymin1點睛(1)正弦函數、余弦函數有單調區(qū)間，但都不是定義域上的單調函數，即正弦函數、余弦函數在整個定義域內不單調(2)正弦曲線(余弦曲線)的對稱軸一定過正弦曲線(余弦曲線)的最高點或最低點，即此時的正弦值(余弦值)取最大值或最小值1判斷下列命題是否正確(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)正弦函數、余弦函數在定義域內都是單調函數()(2)存在xR滿足sin x.()(3)在區(qū)間0,2上，函數ycos x僅當x0時取得最大值1.()答案：(1)(2)(3)2在下列區(qū)間中，使函數ysin x為增函數的是()A0，BC D，2答案：C3函數y2sin x的最大值及取最大值時x的值為()Aymax3，xBymax1，x2k(kZ)Cymax3，x2k(kZ)Dymax3，x2k(kZ)答案：C4函數y32cos x的最大值為_答案：5正、余弦函數的單調性典例求函數y3sin的單調遞減區(qū)間解y3sin3sin，y3sin是增函數時，y3sin是減函數函數ysin x在(kZ)上是增函數，2k2x2k，即kxk(kZ)函數y3sin的單調遞減區(qū)間為(kZ)與正、余弦函數有關的單調區(qū)間的求解技巧(1)結合正、余弦函數的圖象，熟記它們的單調區(qū)間(2)確定函數yAsin(x)(A0，0)單調區(qū)間的方法：采用“換元”法整體代換，將x看作一個整體，可令“zx”，即通過求yAsin z的單調區(qū)間而求出函數的單調區(qū)間若0，則可利用誘導公式將x的系數轉變?yōu)檎龜祷顚W活用求ycos的單調增區(qū)間解：因為ycoscos，所以令2k2x22k，kZ，得kxk，kZ.所以函數ycos的單調增區(qū)間為，kZ.三角函數值的大小比較典例比較下列各組數的大?。?1)sin 250與sin 260；(2)cos與cos.解(1)函數ysin x在上單調遞減，且90250260sin 260.(2)coscoscos，coscoscos.函數ycos x在0，上單調遞減，且0cos，coscos.比較三角函數值大小的方法(1)比較兩個同名三角函數值的大小，先利用誘導公式把兩個角化為同一單調區(qū)間內的角，再利用函數的單調性比較(2)比較兩個不同名的三角函數值的大小，一般應先化為同名的三角函數，后面步驟同上活學活用比較下列各組數的大小(1)cos與cos；(2)sin 194與cos 160.解：(1)coscos，coscoscoscos.0，且ycos x在(0，)上單調遞減，coscos，即coscos.(2)sin 194sin (18014)sin 14，cos 160cos(18020)cos 20sin 70.0147090且ysin x在上單調遞增，sin 70sin 14，即sin 14sin 70.故sin 194cos 160.正、余弦函數的最值題點一：形如yasin x(或yacos x)型1若yasin xb的最大值為3，最小值為1，則ab_.解析：當a0時，得當a0時，得答案：2題點二：形如yAsin(x)b或yAcos(x)b型2求函數y34cos，x的最大、最小值及相應的x值解：因為x，所以2x，從而cos1.所以當cos1，即2x0，x時，ymin341.當cos，即2x，x時，ymax345.綜上所述，當x時，ymin1；當x時，ymax5.題點三：形如yAsin2xBsin xC或yAcos2xBcos xC型3求函數y34sin x4cos2x的值域解：y34sin x4cos2x34sin x4(1sin2x)4sin2x4sin x1，令tsin x，則1t1.y4t24t1422(1t1)當t時，ymin2，當t1時，ymax7.即函數y34sin x4cos2x的值域為2,7三角函數最值問題的三種常見類型及求解方法(1)形如yasin x(或yacos x)型，可利用正弦函數，余弦函數的有界性，注意對a正負的討論(2)形如yAsin(x)b(或yAcos(x)b)型，可先由定義域求得x的范圍，然后求得sin(x)(或cos(x)的范圍，最后求得最值(3)形如yasin2xbsin xc(a0)型，可利用換元思想，設tsin x，轉化為二次函數yat2btc求最值t的范圍需要根據定義域來確定層級一學業(yè)水平達標1函數f(x)2sin x1，x的值域是()A1,3B1,3C3,1 D1,1解析：選Bx，sin x1,1，2sin x11,32函數y|sin x|的一個單調遞增區(qū)間是()A BC D解析：選C由y|sin x|的圖象，易得函數y|sin x|的單調遞增區(qū)間為，kZ，當k1時，得為函數y|sin x|的一個單調遞增區(qū)間3下列函數中，既為偶函數又在(0，)上單調遞增的是()Ay|cos x| Bycos|x|Cysin Dysin解析：選Cy|cos x|在上是減函數，排除A；ycos|x|cos|x|在(0，)上是減函數排除B；ysinsincos x是偶函數，且在(0，)上單調遞增，符合題意；ysin在(0，)上是單調遞減的4函數ysin，xR在()A上是增函數B0，上是減函數C，0上是減函數 D，上是減函數解析：選Bysincos x，所以在區(qū)間，0上是增函數，在0，上是減函數，故選B.5函數f(x)sin在區(qū)間上的最小值為()A1 BC D0解析：選Bx，2x，當2x時，f(x)sin有最小值.6已知函數y3cos(x)，則當x_時，函數取得最大值解析：y3cos(x)3cos x，當cos x1，即x2k，kZ時，y有最大值3.答案：2k，kZ7ysin x，x，則y的范圍是_解析：由正弦函數圖象，對于x，當x時，ymax1，當x時，ymin，從而y.答案：8函數ysin(x)在上的單調遞增區(qū)間為_解析：因為sin(x)sin x，所以要求ysin(x)在上的單調遞增區(qū)間，即求ysin x在上的單調遞減區(qū)間，易知為.答案：9求下列函數的最大值和最小值(1)y ；(2)y32cos.解：(1)1sin x1.當sin x1時，ymax；當sin x1時，ymin.(2)1cos1，當cos1時，ymax5；當cos1時，ym