第七章 波爾茲曼分布.doc

第 七 章 波 爾 茲 曼 分 布7.1熱力學(xué)量的統(tǒng)計(jì)一、 內(nèi)能：系統(tǒng)中大量無規(guī)則粒子運(yùn)動總能量的平均統(tǒng)計(jì)值.1、 概念： (7.1.1)由于粒子是全同進(jìn)獨(dú)立離子，可忽略粒子之間的相互作用。2、 配分函數(shù) （為了計(jì)算的簡便） （7.1.2）3、 內(nèi)能的統(tǒng)計(jì)表達(dá)式：因?yàn)?（7.1.3）所以能能（7.1.4）二、 物態(tài)方程1. 廣義力Y的統(tǒng)計(jì)表達(dá)式 由于粒子的能量為Y參量的函數(shù)，始終處于能級的一個粒子的廣義力為所以外界給予廣義功為（7.1.5）2. 物態(tài)方程：對于僅有體積的簡單系統(tǒng)：Ydy相當(dāng)于-pdv，可見Y于-p對應(yīng)，y于dv對應(yīng)。故 （7.1.6）3. 熱力學(xué)第一定律的統(tǒng)計(jì)表達(dá)式將U=兩邊求微分得到 （7.1.6）由于式中第一項(xiàng)相當(dāng)于粒子數(shù)不變而能級數(shù)改變引起的內(nèi)能變化；由于相當(dāng)于廣義功，故第一項(xiàng)相當(dāng)于外界對系統(tǒng)做功，第二項(xiàng)相當(dāng)于是能級不變而粒子數(shù)改變引起的內(nèi)能改變相當(dāng)于外界給系統(tǒng)傳的熱，可見傳熱引起能級粒子數(shù)的重新分布。三、 熵?fù)?jù)熱力學(xué)基本微分方程得：（7.1.8）（7.1.9）+ （7.1.10） （7.1.11）欲使（7.1.10）成了必須為常數(shù)，即必為常數(shù)，令這個常數(shù)為k（以后知道是波爾茲曼常數(shù)）所以所以積分。注：則 （7.1.12）對于滿足經(jīng)典極限條件下的費(fèi)米波色系統(tǒng)上式應(yīng)加上k項(xiàng)四、 波爾茲曼關(guān)系 將兩邊取對數(shù)的代入（7.1.12） （7.1.13）由波爾茲曼分布的的 （7. 1.14），代入 （7.1.13）得. 即得到波爾茲曼關(guān)系 （7.1.15）注五點(diǎn)說明：這個關(guān)系給出了于宏觀態(tài)對應(yīng)的微觀態(tài)數(shù)的關(guān)系，熵的統(tǒng)計(jì)意義：熵是系統(tǒng)混亂程度的量度從關(guān)系式可以看出無序增加是有限度的，熵的增加時有限的是自然合理的選擇，因?yàn)楫?dāng)T0時所有粒子均處于最低能級此時1.故S0從統(tǒng)計(jì)物理學(xué)的角度看系統(tǒng)的非平衡也能出現(xiàn)只是出現(xiàn)出現(xiàn)的概率很小波色費(fèi)米系統(tǒng)：五、 自由能的統(tǒng)計(jì)表達(dá)式（見課本）六、 經(jīng)典系統(tǒng)熱力學(xué)的統(tǒng)計(jì)表達(dá)（見課本193頁）7.2理想氣體的物態(tài)方程一、 物態(tài)方程的導(dǎo)處1單個粒子能量的表達(dá)式：粒子在宏觀范圍內(nèi)運(yùn)動，狀態(tài)的變化的準(zhǔn)連續(xù)的 （7.2.1） 2.內(nèi)的量子態(tài)數(shù)： （7.2.2） 代入配分函數(shù)3.配分函數(shù) （7.2.3）4.物態(tài)方程 （7.2.4）說明：導(dǎo)出氣體的物態(tài)方程，可見波爾茲曼分布是正確的對任意的理想氣體都是對的對量子力學(xué)也是正確的。二、 經(jīng)典極限條件（理想氣體滿足）1、 經(jīng)典極限條件：將理想氣體有關(guān)的數(shù)值代入上式可得 對理想氣體來講 （7.2.5）2.經(jīng)典極限條件的第三中表達(dá)式將（7.2.5）變形得又 （7.2.6）另兩種考點(diǎn)7.3麥克斯韋速度分布 波爾茲曼分布粒子在宏觀范圍運(yùn)動狀態(tài)準(zhǔn)連續(xù)變化 ； 的全空間積分 注： 做速度變換 （麥克斯韋速度分布關(guān)系） V，并對積分，坐標(biāo)變換（麥克斯韋速率分布） 單位時間內(nèi)單位面積器壁相撞的分子數(shù) 最概然速度 平均速度 方均根速度7.4能量均分定理一、 能力均分定理 1、概念：對于處在溫度為T的平衡態(tài)經(jīng)典系統(tǒng)，粒子能量中每一平方項(xiàng)的平均值等于。 2、說明： 此定理于熱力學(xué)中的能量均分定理不同（熱學(xué)中按自由度平均分配）此定理僅適用于經(jīng)典系統(tǒng)的平衡態(tài)對于不是平方項(xiàng)的能量不能用此定理計(jì)算此定理給出了計(jì)算內(nèi)能的最簡單的方法。二、 定理的證明(自閱教材)三、 定理得應(yīng)用1、 單原子分子理想氣體：與實(shí)驗(yàn)結(jié)果很吻合，可見定理適用于理想氣體單原子分子。2.雙原子分子理想氣體： 對于雙原子分子理想氣體經(jīng)典能量均分定理得到的結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果不完全吻合。3.固體熱容;經(jīng)典能量均分定理的到的結(jié)果高溫下于實(shí)驗(yàn)符合。4、關(guān)于平衡輻射場經(jīng)典能量均分定理得到的結(jié)果與實(shí)驗(yàn)嚴(yán)重不符合。結(jié)論：經(jīng)典統(tǒng)計(jì)的能量均分定理即得到了一些與實(shí)驗(yàn)相符合的結(jié)果又許多于實(shí)驗(yàn)結(jié)果不符合的。7.5理 想 氣 體 的 內(nèi) 能 和 熱 容一、 雙原子分子理想氣體的配分函數(shù)的一般表達(dá)式 1、雙原子分子理想氣體粒子能量的一般表達(dá)式; （7.5.1）式中;分別表示平動、轉(zhuǎn)動、振動的能量。2.配分函數(shù)的一般表達(dá)式以分別表示平動，轉(zhuǎn)動，振動分簡并度，則： （7.5.2）分別為平動，轉(zhuǎn)動，振動的配分函數(shù)。3.內(nèi)能與熱容的關(guān)系表達(dá)式： （7.5.3）同理可得 （7.5.4）可見，平動，轉(zhuǎn)動，振動分別獨(dú)立對內(nèi)能熱容做貢獻(xiàn)。二、 平動對U，的貢獻(xiàn) 討論知，對于平動經(jīng)典理論量子理論給了相同的統(tǒng)計(jì)結(jié)果;( 7.5.5)三、 振動對內(nèi)能熱容的貢獻(xiàn)1. 配分函數(shù)：對雙原子分子兩原子的相對運(yùn)動形式看成一維線性諧振子能量為則 求內(nèi)能的一般步驟：能量表達(dá)式、配分函數(shù)、統(tǒng)計(jì)表達(dá)式、內(nèi)能。利用數(shù)學(xué)公式。故：2.式中的第一項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)與T無關(guān)，稱為N個粒子的零點(diǎn)能，第二項(xiàng)與T有關(guān)，稱為N個粒子的激發(fā)能。3.4.為了討論方便我們引入一個新的物理量：特征溫度則實(shí)驗(yàn)表明的數(shù)量級為可見在常溫下則 （7.5.12）結(jié)論：在常溫下0，詳見課本208頁。四、 轉(zhuǎn)動對內(nèi)能熱容的貢獻(xiàn) 1.異核分子：雙原子分子能量表達(dá)式為： 為了方便我們引入特征溫度 （7.5.15）則（7.5.16）據(jù)分子光譜研究知常溫下可以看成是一維連續(xù)的=1，（7.5.16）的求和可以轉(zhuǎn)化為積分： （7.5.17）內(nèi)能結(jié)論：以上討論可知常溫下量子統(tǒng)計(jì)、經(jīng)典統(tǒng)計(jì)給出相同的結(jié)果。2.同核分子五經(jīng)典理論的配分函數(shù)求理想氣體的內(nèi)能熱容（見課本211頁）六小結(jié) 1.理想氣體的內(nèi)能熱容準(zhǔn)確表達(dá)式有量子統(tǒng)計(jì)得出。2.在滿足經(jīng)典極限條件（粒子數(shù)條件）和（能量條件）的情況下量子統(tǒng)計(jì)經(jīng)典統(tǒng)計(jì)給出相同的結(jié)果。3.經(jīng)典統(tǒng)計(jì)的結(jié)果可用能量均分定理方便的導(dǎo)出，也可以通過配分函數(shù)求得。4.用統(tǒng)計(jì)原理求熱力學(xué)量的一般步驟是：確定粒子的能量表達(dá)式求相應(yīng)的配分函數(shù)將熱力學(xué)量的統(tǒng)計(jì)表達(dá)式求得結(jié)果，不論是量子統(tǒng)計(jì)經(jīng)典統(tǒng)計(jì)步驟是一樣的，不同的是能量的表達(dá)式不同以及數(shù)學(xué)處理方法難易不同。 7.6 理 想 氣 體 的 熵一、 經(jīng)典的結(jié)果：根據(jù)經(jīng)典波爾茲曼分布得出相應(yīng)的配分函數(shù)然后代入熵的函數(shù)表達(dá)式易得出理想氣體單原子分子的熵為 （7.6.1） 討論：熵的數(shù)值不是唯一確定的因?yàn)橛胁煌闹邓造赜胁煌闹瞪鲜奖磉_(dá)式不具有可加性。二、 量子統(tǒng)計(jì)結(jié)果由量子統(tǒng)計(jì)結(jié)果可得 熵 （7.6.2）討論：熵的統(tǒng)計(jì)結(jié)果絕對值是唯一的符合可加性原理。7.7 固 體 熱 容 的 愛 因 斯 坦 理 論一、 固體熱容經(jīng)典理論的缺陷 杜隆柏簡 得出固體熱容的經(jīng)典理論值為3NK它與T無關(guān)與物質(zhì)的性質(zhì)無關(guān)與實(shí)驗(yàn)嚴(yán)重不符。二、 固體熱容的愛因斯坦理論 經(jīng)典愛因斯坦德拜1. 愛因斯坦固體：愛因斯坦認(rèn)為固體的原子在晶格極點(diǎn)附近做微小振動，每個原子看做為有3N個自由度的線性諧