高中數(shù)學(xué) 第一章 數(shù)列 1.1.1 數(shù)列的概念課件 北師大版必修5.ppt

第一章數(shù)列 1數(shù)列 1 1數(shù)列的概念 1 數(shù)列的有關(guān)概念一般地 按一定次序排列的一列數(shù)叫作數(shù)列 數(shù)列中的每一個數(shù)叫作這個數(shù)列的項 數(shù)列一般形式可以寫成a1 a2 a3 an 簡記為數(shù)列 an 其中數(shù)列的第1項a1 也稱首項 an是數(shù)列的第n項 也叫數(shù)列的通項 做一做1 答案 d 2 數(shù)列的分類按數(shù)列的項數(shù)是否有限 分為有窮數(shù)列和無窮數(shù)列 項數(shù)有限的數(shù)列叫作有窮數(shù)列 項數(shù)無限的數(shù)列叫作無窮數(shù)列 做一做2 下列說法中哪些是正確的 哪些是錯誤的 并說明理由 1 0 1 2 3 4 是有窮數(shù)列 2 所有的自然數(shù)能構(gòu)成數(shù)列 3 同一個數(shù)在數(shù)列中可能重復(fù)出現(xiàn) 4 數(shù)列1 2 3 4 2n是無窮數(shù)列 解 1 錯誤 0 1 2 3 4 是集合 不是數(shù)列 2 正確 如將所有的自然數(shù)按從小到大的順序排列 3 正確 數(shù)列中的數(shù)可以重復(fù)出現(xiàn) 4 錯誤 數(shù)列1 2 3 4 2n 共有2n項 是有窮數(shù)列 名師點撥有窮數(shù)列與無窮數(shù)列的表示方法 1 有窮數(shù)列一般表示為a1 a2 a3 am 無窮數(shù)列一般表示為a1 a2 a3 am 2 對于有窮數(shù)列 要把末項 即最后一項 寫出來 對于無窮數(shù)列 不存在最后一項 要用 結(jié)尾 3 數(shù)列的通項公式如果數(shù)列 an 的第n項an與n之間的函數(shù)關(guān)系可以用一個式子表示成an f n 那么這個式子就叫作這個數(shù)列的通項公式 數(shù)列的通項公式就是相應(yīng)函數(shù)的解析式 做一做3 寫出下列數(shù)列的通項公式 1 0 2 4 6 8 2 1 2 4 8 3 1 4 9 16 4 1 1 1 1 解 1 an 2 n 1 2 an 2n 1 3 an n2 4 an 1 n 思考辨析判斷下列說法是否正確 正確的在后面的括號內(nèi)打 錯誤的打 1 數(shù)列2 6 8 10 12可以表示成 2 6 8 10 12 2 1 1 1 2 2 2 3 3 3 不能構(gòu)成數(shù)列 3 2 3 4 n是無窮數(shù)列 4 數(shù)列的通項公式不同 該數(shù)列也可能相同 答案 1 2 3 4 探究一 探究二 探究三 思維辨析 例1 給出以下說法 數(shù)列1 3 5 7 1的第5項是1 數(shù)列10 100 1000與1000 100 10是相同的兩個數(shù)列 數(shù)列 n2 1 的第10項是100 數(shù)列5 4 3 2 1 是有窮數(shù)列 其中正確說法的序號是 解析 正確 所給兩個數(shù)列中數(shù)的次序不同 不是同一數(shù)列 錯誤 該數(shù)列的第10項應(yīng)該是102 1 101 錯誤 數(shù)列后面有 表示無窮數(shù)列 錯誤 答案 探究一 探究二 探究三 思維辨析 反思感悟正確理解數(shù)列及相關(guān)概念 注意以下幾點 1 數(shù)列與數(shù)集不同 數(shù)集具有互異性和無序性 而數(shù)列中各項可以相同 但與順序有關(guān) 2 數(shù)列a1 a2 an 可以記為 an 但不能記作 a1 a2 an 探究一 探究二 探究三 思維辨析 變式訓(xùn)練1 其中正確說法的序號是 解析 錯誤 當(dāng)n 5時 a5 2 5 1 11 正確 錯誤 這是因為數(shù)列是按一定次序排成的一列數(shù) 正確 答案 探究一 探究二 探究三 思維辨析 例2 寫出下列數(shù)列的一個通項公式 分析 根據(jù)給出數(shù)列的前幾項 通過歸納 猜想寫出它的一個通項公式時 要分析各項與對應(yīng)序號間的關(guān)系 得出一個合適的函數(shù)解析式 再驗證是否合適 探究一 探究二 探究三 思維辨析 解 1 數(shù)列中的各項都是數(shù)列 2n 中對應(yīng)各項減去1得到的 因此通項公式是an 2n 1 探究一 探究二 探究三 思維辨析 探究一 探究二 探究三 思維辨析 反思感悟1 在根據(jù)數(shù)列的前幾項求數(shù)列的一個通項公式時 要注意觀察每一項的特點 可使用添項 還原 分割等方法 轉(zhuǎn)化為一些常見數(shù)列的通項公式來求解 具體可參考以下幾個思路 1 統(tǒng)一項的結(jié)構(gòu) 如都化成分數(shù) 根式等 2 分析這一結(jié)構(gòu)中變化的部分與不變的部分 探索變化部分的規(guī)律與對應(yīng)序號間的函數(shù)解析式 3 對于符號交替出現(xiàn)的情況 可先觀察其絕對值 再以 1 n或 1 n 1處理符號 4 對于周期出現(xiàn)的數(shù)列 可考慮拆成幾個簡單數(shù)列和的形式 或者利用周期函數(shù) 如三角函數(shù)等 探究一 探究二 探究三 思維辨析 2 根據(jù)前幾項寫通項公式時 結(jié)果可能不唯一 如本例 5 3 善于對所寫的通項公式的正確性進行驗證 令通項公式中的n 1 2 3 得到數(shù)列的前三項 看是否與實際相符 若符合 則寫出的通項公式是正確的 否則是錯誤的 探究一 探究二 探究三 思維辨析 變式訓(xùn)練2寫出下面各數(shù)列的一個通項公式 解 1 通過觀察 發(fā)現(xiàn)各項分別減去1 變?yōu)? 4 8 16 32 其通項公式為2n 故原數(shù)列的一個通項公式為an 2n 1 探究一 探究二 探究三 思維辨析 探究一 探究二 探究三 思維辨析 探究一 探究二 探究三 思維辨析 反思感悟數(shù)列的通項公式給出了第n項an與它的項數(shù)n之間的關(guān)系 已知數(shù)列的通項公式 只要用項數(shù)代替通項公式中的n 即可求出相應(yīng)的項 反過來 判斷某一個數(shù)是不是數(shù)列中的項 就用數(shù)列的通項公式建立以n為變量的方程 若方程有正整數(shù)解 則該數(shù)為數(shù)列中的項 n的值即為該數(shù)在數(shù)列中的項數(shù) 若方程沒有正整數(shù)解 則該數(shù)不是數(shù)列中的項 探究一 探究二 探究三 思維辨析 變式訓(xùn)練3 0和1是不是數(shù)列 an 中的項 如果是 那么是第幾項 數(shù)列 an 中是否存在連續(xù)且相等的兩項 若存在 分別是第幾項 探究一 探究二 探究三 思維辨析 所以n2 21n 2 即n2 21n 2 0 因為方程n2 21n 2 0不存在正整數(shù)解 所以1不是 an 中的項 假設(shè) an 中存在第m項與第 m 1 項相等 即am am 1 則解得m 10 所以數(shù)列 an 中存在連續(xù)的兩項 第10項與第11項相等 探究一 探究二 探究三 思維辨析 忽略了相鄰正方形的公共邊而致誤 典例 圖中由火柴棒拼成的一列圖形中 第n個圖形由n個正方形組成 通過觀察可以發(fā)現(xiàn) 第n個圖形中 火柴棒的根數(shù)為 錯解 第一個圖形為正方形 火柴棒的根數(shù)為4 第二個圖形有兩個正方形 火柴棒的根數(shù)為4 2 第n個圖形有n個正方形 火柴棒的根數(shù)為4 n 探究一 探究二 探究三 思維辨析 正解 因為每兩個相鄰的正方形均有1條公共邊 所以第二個圖形的火柴棒根數(shù)為2 3 1 第三個圖形的火柴棒根數(shù)為3 3 1 第n個圖形的火柴棒根數(shù)為3n 1 答案 3n 1糾錯心得本題錯誤的根源是對圖形認識不到位 實際上雖然第n個圖形中有n個正方形 但每相鄰的兩個正方形都有公共邊 因此解決此類問題需要看清圖形間的內(nèi)在聯(lián)系 并找到相關(guān)規(guī)律再進行歸納 探究一 探究二 探究三 思維辨析 變式訓(xùn)練下列四個圖形中 著色三角形的個數(shù)依次構(gòu)成一個數(shù)列的前4項 則這個數(shù)列的一個通項公式為 a an 3nb an 3n 1c an 3n 2nd an 3n 1 2n 3答案 b 1 2 3 4 5 1 下列說法中錯誤的是 a 數(shù)列4 7 3 4的第一項是4b 數(shù)列 an 中 若a1 3 則從第2項起 各項均不等于3c 數(shù)列 1 0 1 2與數(shù)列0 1 2 1不相同d 1 1 2 0 3是有窮數(shù)列解析 雖有a1 3 但數(shù)列中其他的項還可以等于3 答案 b 1 2 3 4 5 2 已知數(shù)列 an 的通項公式為an n2 n 則下列結(jié)論正確的是 a 第2項a2 0b 0不是數(shù)列中的一項c 21是數(shù)列中的一項