浙江省寧波市初中數(shù)學(xué)教學(xué)論文 變換出彩.doc

“變換”出彩摘要：數(shù)學(xué)家亞格龍將幾何學(xué)定義為：幾何學(xué)是研究幾何圖形在運(yùn)動(dòng)中不變的那些性質(zhì)的學(xué)科?？梢姟白儞Q”的運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn)在幾何學(xué)中是很重要的。幾何變換是指把一個(gè)幾何圖形f1變換成另一個(gè)幾何圖形f2的方法。初中階段涉及了四種變換，其中“軸對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)”變換后所得的新圖形f2與原圖形f1之間僅僅是位置發(fā)生了變化，其形狀和大小都沒有改變，它們刻畫了兩個(gè)全等圖形特定的位置關(guān)系，而相似變換保留了幾何圖形f1與f2線段間的比例關(guān)系，而圖形本身的大小要改變。 不同變換之下的圖形都具有各自不同的性質(zhì)，這些性質(zhì)不僅能為推理提供依據(jù)，同時(shí)也是解決許多實(shí)際問題的重要工具。本文旨在從解題方法與策略入手，通過實(shí)例來(lái)探討這幾種變換的應(yīng)用。一、平移變換通過平移把部分圖形搬到新的位置，使問題的條件相對(duì)集中，從而使條件與代求結(jié)論之間的關(guān)系明朗化，促使問題的解決。平移變換應(yīng)用時(shí)，可采用下列的方法把圖形中的某個(gè)條件平移把結(jié)論中的線段、角或圖形平移把圖形中的某個(gè)條件和結(jié)論同時(shí)平移例1：如圖，在一塊長(zhǎng)20m，寬10m的矩形地面上，修建兩條寬度分別是2m和3m的小路且小路的寬度處處相等，其余部分栽種花草，求花草的面積。3m2m分析：此類題目較常見，只需抓住小路的寬度處處相等，把四塊不規(guī)則的草地圖形通過平移，拼成一個(gè)長(zhǎng)為17m寬為8m的長(zhǎng)方形，其面積即為花草面積。屬于方法中的，把不規(guī)則的部分圖形通過平移后能夠重整為一個(gè)規(guī)則或易求的幾何圖形，這也提供了一個(gè)求面積的方法。cabdoe例2：如圖，ab=cd=1，bod=60求證：ac+bd1分析：如圖添輔助線，平移ac至de，構(gòu)造了bde，由平移性質(zhì)bae=bod=60，四邊形deac是平行四邊形，所以ab=cd=1=ae=be，在bde中，bd+debe；當(dāng)ac/bd時(shí)bd+de=be。此題由結(jié)論出發(fā)，聯(lián)想到應(yīng)用三角形的三邊不等關(guān)系，通過把圖形中的線段ac平移，使得ac、bd兩條線段集中到一個(gè)三角形中，充分利用了平移是全等變換的特性。例3：以浙教版七年級(jí)（下）課后作業(yè)題中的造橋選址問題引出：如圖在ab之間有兩條河，則兩條河上的橋（橋與岸垂直）分別建在何處才使a到b的路程長(zhǎng)最短？河1與河2平行 河1與河2不平行 河1與河2垂直分析：以為例，此題利用作業(yè)題中的造橋選址問題進(jìn)行類比聯(lián)想，設(shè)法將兩條河都轉(zhuǎn)化為沒有寬度的直線，即將a向下平移河1的寬度至a1，將b向上平移河2寬度至b1，連結(jié)a1、b1，交兩河于c、e，再作垂線段cd、ef，即為所求作的兩座橋。通過平移在河上造橋問題也就轉(zhuǎn)化為在直線上找點(diǎn)的問題了，由“兩點(diǎn)之間線段最短”可知兩直線的交點(diǎn)就是該點(diǎn)的位置。、兩題的作法同理。由上幾例的計(jì)算、證明和作圖中，我們不難發(fā)現(xiàn)平移變換常與平行線相關(guān)，往往要用到平行四邊形的性質(zhì)；平移變換還可將角、線段、圖形等移到適當(dāng)?shù)奈恢?，使得分散的條件相對(duì)集中，便于我們運(yùn)用公式、定理等來(lái)解決問題。二、旋轉(zhuǎn)變換遇到下列情形中常實(shí)施旋轉(zhuǎn)變換：圖形中出現(xiàn)等邊三角形或正方形，把旋轉(zhuǎn)角定為60或90圖中有線段的中點(diǎn)，將圖形繞中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180，構(gòu)造中心對(duì)稱的全等圖形 圖中出現(xiàn)了公共端點(diǎn)的線段，將含有相等線段的圖形繞公共端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)兩相等線段的夾角后與另一相等線段重合。例4：如圖，abc中，c=90，四邊形edfc是正方形，ad=6，db=3，求陰影部分的面積和。分析：通過求直角邊ae、ed、df、bf來(lái)求面積：設(shè)正方形edfc的邊長(zhǎng)為x,則df=x,又由aeddfb得bf=x/2，所以x2+(x/2)2=32,隨即可求出ae、df的長(zhǎng)，完成此題。此法綜合運(yùn)用了相似、勾股定理和列方程的思想，較繁瑣，此題屬于，如果根據(jù)de=df，deh=dfb=90，可將dfb繞著點(diǎn)d逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到deh，必有a、e、h共線，adh=90，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)不變性dh=db=3，原圖形中的兩塊陰影部分就合并成了邊長(zhǎng)為6和3的直角三角形，利用直角三角形的面積公式直接可算得為9，省去了解方程的計(jì)算。例5：如圖，abc中，d是bc的中點(diǎn)，dedf，判斷be+cf與ef的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論。分析：以d為旋轉(zhuǎn)中心，將bde逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180得到cdp，由已知可得ef=pf，在cfp中，cp+cffp,所以be+cfef。這里從所比較的線段入手，利用旋轉(zhuǎn)把他們集中于一個(gè)三角形中之中，此題屬于例6：如圖，四邊形abcd中，ab=ad，(1)bad=bcd=90， bc=b,cd=a,求ac(2) bad=60,bcd=30 ,bc=5,cd=3,求ac(3) bad=90,bcd=30 bc=5,cd=3,求ac（1）（3）（2）分析：此三小題目中均出現(xiàn)了公共端點(diǎn)的線段ab、ad，根據(jù)將含有相等線段ab、ad繞公共端點(diǎn)a旋轉(zhuǎn)兩相等線段的夾角90、60、90后與另一相等線段重合，分別得到了斜邊是a+b的等腰rtacc、直角邊長(zhǎng)是3和5的rtcbc、邊長(zhǎng)是3、5及夾角是120的斜dcc，再通過解三角形得到（1）（2）（3）因此依據(jù)的方法，可以構(gòu)出如圖的基本模型，解兩個(gè)三角形dcc和頂角為a的等腰三角形acc必可解出ac的值。三、相似變換從變換的角度來(lái)說，相似圖形是將經(jīng)位似變換所得的像進(jìn)行平移后得到的。探索相似多邊形的性質(zhì)，能利用位似將一個(gè)圖形放大或縮小。從實(shí)際操作意思上講可以利用位似的性質(zhì)作出一個(gè)多邊形的內(nèi)接圖形。例7：作出abc的內(nèi)接等邊三角形、內(nèi)接正方形分析：利用位似的方法，可以把一個(gè)多邊形放大或縮小。為了使作圖方便，位似中心可取b點(diǎn)，在ab、bc上分別取一點(diǎn)d、e，以de為邊做一個(gè)等邊def，利用位似變換的作圖方法，把def放大或縮小，使def的各頂點(diǎn)分別落在abc上,當(dāng)然若d、e兩點(diǎn)取的位置不同，作出def的位置可能也不同，大小也不同。類似方法也可以作出abc的內(nèi)接正方形。四、軸對(duì)稱變換我們?cè)诮忸}時(shí)應(yīng)當(dāng)充分利用問題自身?xiàng)l件的某些對(duì)稱性分析問題，在探究幾何及代數(shù)式的最值方面有廣泛的應(yīng)用。牛飲水、彈子游戲、平面成像、光線的反射、斯諾克臺(tái)球（可通過撞擊桌壁的一邊、兩邊、三邊來(lái)?yè)糁辛硪粋€(gè)球等），利用圖形的軸對(duì)稱性是解決此類問題的主要工具，由于這些問題比較常見，這里不再贅述。下面通過一個(gè)例子來(lái)說明平移、軸對(duì)性和線段公理綜合運(yùn)用的一個(gè)模型。例8：如圖在平面直角坐標(biāo)系中，a(2,3),b(5,-2),m、n是在x軸上，p、q是在y軸上，mn=pq=1（m在n的左側(cè)，p在q的上方）求下列路徑的最小值。 分析：題就是牛飲水問題，即在y軸上選一點(diǎn)p，使得ap+pb最小。如圖2，作a關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)a，連結(jié)ab交y軸于p，所以最短路徑長(zhǎng)為ab=題如圖3，因?yàn)閙n是定長(zhǎng)1，于是把b向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，可類似的想象成m、n縮成了一點(diǎn)，所以又轉(zhuǎn)化為題，在y軸上找一點(diǎn)p，使得ap+pb最小，最短路徑長(zhǎng)為ab+mn= 如圖4，與類似，pq為定長(zhǎng)1的線段且在y軸上，只需作a的對(duì)稱點(diǎn)a并將其向下平移一個(gè)單位，轉(zhuǎn)化為求a與b之間的最短距離，所以可得最短路徑為ab+pq=+1此模型賦予它具體的背景就可以用來(lái)解決例如以下的實(shí)際問題：如圖河岸l同側(cè)有a、b兩個(gè)居民小區(qū)，現(xiàn)計(jì)劃在河邊建一個(gè)長(zhǎng)a米寬b米的矩形公園（公園用cdef表示，de邊與河岸重合,cf=a米,cd=b米）c、f處分別是公園的大門(門口寬度忽略不計(jì)),怎樣建才能使小區(qū)a到大門c的距離與小區(qū)b到大門f的距離之和最小? 解析：因?yàn)楣珗@一邊與河岸重合，所以對(duì)邊在平行于河岸且與河岸的距離為b的直線上，所以將l向上平移b米距離得l1，將b向左平移a米距離至b1，按牛飲水的作法找到c，再將c向右平移a米距離即為f，過c、f分別作l的垂線，垂足分別為d、e，則cdfe即為所建的矩形公園，連結(jié)ac、bf，滿足ac+bf最小。軸對(duì)稱性在求一類代數(shù)式的最小值問題中也有應(yīng)用。例9：已知a,b均為正數(shù)，且a+b=2, 求的最小值分析：若用代數(shù)方法很難解決，這里可以運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想將代數(shù)式構(gòu)建一個(gè)幾何圖形。如圖，探究原代數(shù)式的幾何意義，先構(gòu)造兩個(gè)邊長(zhǎng)為2和 a及1和4-a的直角三角形，它們的斜邊長(zhǎng)之和就是w，要求w的最小值，就是要在線段ab上