幾何應(yīng)用微分方程答案.pdf

九 定積分在幾何上的應(yīng)用 1 求下列平面圖形的面積 1 曲與線2yx 2 3yx 所圍成的圖形 解 1 2 3 32 3 3 Axxdx 線sinyx 與sin2yx 在 0 2 曲上所圍成的圖形 解 sinsin2xx 得 1 sin0 cos 2 xx 當(dāng) 0 x 時 由得sin0 x 0 x 由 1 2 得cosx 3 x 故 3 0 3 sin2sinsinsinAxx dxxx 3 曲 5 2 2 x d 線sin3a 所圍成的圖形 解 32 6 0 11 6sin 3 24 Aad a 1 cos a 4 心形線 所圍成的圖形 解 由對稱性有 0a 2 22 00 13 21 cos 22 2 Ar dada 線 3 22 a y ax 5 曲與所圍成的圖形 解 0y 3 33 2222 0 11 2lim2limarctan b bb a Adxadxab axaxa 2 a 2 求由參數(shù)方程 sinxa tt 1 cos yat 02 t 及0y 所表示曲線圍成的圖 形面積 解 a 2 2 0 sin 1 cos 3Aa ttat dt 3 求曲線 2 2yxx 與所圍成的圖形分別繞0y x軸和y軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積 解 22 2 0 16 2 15 x Vxxdx 2 2 0 8 22 3 y Vxxxdx 4 求曲線 33 sin cos 02 xat ybtt 所圍成的圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)所成旋轉(zhuǎn)體的體積 解 262279 22 00 2cos3 sincos6coscos x Vbtatt dtabtdttdt 2 0 22 6 8 32 6 7 9 105 abab 5 設(shè)有一截椎體 其高為 上下底均為橢圓 橢圓的軸長分別為和h2 2ab2 2AB 求這 截椎體的體積 三 一元函數(shù)積分學(xué)習(xí)題 解 2 6 AxB dxhabABa h 2 6 AxB dxhabABa h 0 1 h aAaB VxBbA h 1 h aAaB VxBbA h 6 求底面積為 高為的旋轉(zhuǎn)拋物體的體積 如圖所示 Sh 解 設(shè)拋物線方程為2 2 ypx 則 0 2 2 h Sh Vpxdx x y O 第 6 題 7 求下列曲線的弧長 1 3 13 3 x yxx 解 2 0 1tanlntan 42 a a sxdx 2 圖 a 02 2 22222 解 0 1 14ln 214 2 saa da 四 微分方程 一 微分方程的基本概念 1 指出下列方程的階數(shù) 并說明是否是線性微分方程 3 階 是 1 1y 3 2 994yyx 2 1 階 是 0 2222 dyyxdxyx 3 階 否 3 yxy sin 3 4 2 1 yy 2 階 否 2 驗證其中為任意實數(shù) 是微分方程 xx eCey 32 C06 5 yyy的解 解 將 3 3 xx eCey 32 232 2 xxx CeeCee x232 4 3 9 xxx CeeCee x 代入方程有 0 故為方程 06 5 yyy 232323 495 23 6 xxxxxx CeeCeeCee xx eCey 32 06 5 yyy的一個解 3 曲線上任意一點 yf x x y處的切線斜率等于該點縱 橫坐標(biāo)之和 試建立所滿足 的微分方程 解 曲線 y yf x 在其上任意點 x y的斜率為 dy dx 由題意知對應(yīng)方程為 dy xy dx 4 某種放射性物質(zhì)衰變的速度與物質(zhì)的現(xiàn)存質(zhì)量M成正比 設(shè)有最初質(zhì)量為的該物質(zhì) 試建立質(zhì)量 0 M MM t 所滿足的微分方程 解 依題意有 dM k dt 這里為常數(shù) k 0 0 t M tM 二 變量可分離方程 1 求下列微分方程的通解 1 2 0 xdxdy y 四 微分方程 49 2 xdxdy y 解 變形得 2 xdxdy y 得 2 1 2ln 2 x兩邊同時積分Cy 整理得 2 1 4x yCe 為任意常數(shù) 2 C 0 1 sec xydxxdy 解 變形得 1 cos 1 1 ydydx x 1 兩邊同時積分cos 1 1 ydydx 得sinln1yxxC x 得sin ln1 yarcxxC C為任意常數(shù) 整理 3 22 1yxyx y 解 2 1 1 整理有 y xy 分離變量 2 1 1 dy x 2 1 d y x解得arctan 2 yxxC 整理得 2 1 tan 2 yxxC 為任意常數(shù) C 4 s 2 tan 1 ec0 xx eydxeydy 解 整理得 2 tan 1 sec xx eydxeydy 2 csc2分離變量 1dx y 解得 x x e xd e 11 sin2 ln1 x ln 21 sin2 y eC y 即 2 1 sin2 1 1 sin2 x y C e y C為任意常數(shù) 2 求下列微分方程滿足所給初始條件的特解 1 0 cos sinsin cos0 4 x xydyxydxy 解 分離變量tantanydyxdx 解得ln cosln cosxxC 整理有coscosyC x 所以 為任意常數(shù) arccos cos yC xC 2 又 0 4 x y 所以 2 C 故 2 arccos cos 2 yx 50 高等數(shù)學(xué)作業(yè)題集 第一冊 2 2 sinln x yxyy ye csc ln dy xdx yy 解 分離變量有 ln lnln tan 2 x yC C為任意常數(shù) lntan 2 x yC 有 2 x ye 所以1C tan 2 x ye 3 求微分方程tan x 的通解 dyy xyx dx 解 設(shè) y t x 有 dydt tx dxdx 方程變?yōu)閠an dt xt dx cot dx tdt x 分離變量有 解得ln sinlntx C化簡得 將 arcsin Ctx y t x 代入得arcsin C yxx 4 求微分方程 C為任意常數(shù) lnln xdyyyx dx 的通解 解 設(shè) y t x 有 dydt tx dxdx 方程變?yōu)閘n dt xttt dx 分離變量 ln1 dtdx ttx 解得ln ln1lntx C 將 y t x 代入得ln ln1ln y xC x 化簡有l(wèi)n1Cx y x 即 1Cx yxe 5 求微分方程0 C為任意常數(shù) 22 2 xxy dyy dx 滿足初始條件 1 2 x y 的特解 解 設(shè) y t x 有 dydt tx dxdx 四 微分方程 51 方程變?yōu)?2 12 dttt x dxt 分離變量有 2 12td x dt ttx 解得 2 lnlnttxC 將 y t x 代入得 2 ln ln yy xC xx 2 1 yy C xxx 任意數(shù) 又 故為 5 C為常 1 2 x y C 2 1 5 yy xxx 6 曲線 yf x 上任一點 x y的切線斜率為 yx yx 求該曲線方程 解 依題意有 dyyx dxyx y 設(shè)t x 有 dydt tx dxdx 方程變?yōu)?1 1 dtt tx dxt 2 1 1 td 分離變量有 x dt tx 解得 2 1 arctanln 1 ln 2 ttxC 將 y t x 代入得 2 1 arctanln 1 ln 2 yy xC xx 為任意常數(shù) 三 一階線性微分方程 程的通解 1 C 1 求下列微分方 x yye 解 方程為一階線性方程使用公式得 P x dxP x dx yeCQ x e dx dxdx x yeCe edx 故 x yeCx 為任意常數(shù) C 2 2 costanyxyx 52 高等數(shù)學(xué)作業(yè)題集 第一冊 程為一階線性程使用公式得 22 secsec 2 tan sec xdxxdx yeCxxe dx 解 方方 故 tan2tan tan sec xx yeCxxedx 解得 tan tan1 x yCex C為任意常數(shù) 3 sin 0 yx y x 解 方程為一階線性方程使用公式得 11 sin dxdx xx x yeCed x x 解得 1 cos yCx x 為任意常數(shù) 4 C 2 arctan 1 yx dyydx 解 方程為一階線性方程使用公式得 22 11 11 2 arctan 1 dydy yy y xeCe y dy 解得 arctan arctan1 y xCey 1 2 解下列初值問題 4 1 1 2 6 x xyxy 解 整理有 3 2 yx x 得 42 1 ln 4 yxx C 又 1 1 6 x y 故為C 1 12 4