2019_2020學(xué)年高中數(shù)學(xué)第3章不等式3.2一元二次不等式（第1課時(shí)）一元二次不等式及其解法講義蘇教版必修5.docx

第1課時(shí)一元二次不等式及其解法學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)核 心 素 養(yǎng)1.掌握一元二次不等式的解法(重點(diǎn))2.能根據(jù)“三個(gè)二次”之間的關(guān)系解決簡(jiǎn)單問題(難點(diǎn))通過一元二次不等式的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).1一元二次不等式的概念只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，稱為一元二次不等式2一元二次不等式的一般形式(1)ax2bxc0(a0)(2)ax2bxc0(a0)(3)ax2bxc0(a0)(4)ax2bxc0(a0)思考1：不等式x2y20是一元二次不等式嗎？提示此不等式含有兩個(gè)變量，根據(jù)一元二次不等式的定義，可知不是一元二次不等式3一元二次不等式的解與解集使一元二次不等式成立的未知數(shù)的值，叫做這個(gè)一元二次不等式的解，其解的集合，稱為這個(gè)一元二次不等式的解集思考2：類比“方程x21的解集是1，1，解集中的每一個(gè)元素均可使等式成立”不等式x21的解集及其含義是什么？提示不等式x21的解集為x|x1，該集合中每一個(gè)元素都是不等式的解，即不等式的每一個(gè)解均使不等式成立4三個(gè)“二次”的關(guān)系設(shè)f(x)ax2bxc(a0)，方程ax2bxc0的判別式b24ac判別式000解不等式f(x)0或求方程f(x)0的解有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)解x1，x2有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)解x1x2沒有實(shí)數(shù)解f(x)0的步驟畫函數(shù)yf(x) 的示意圖得等的集不式解f(x)0x|xx1_或xx2Rf(x) 0x|x1xx2思考3：若一元二次不等式ax2x10的解集為R，則實(shí)數(shù)a應(yīng)滿足什么條件？提示結(jié)合二次函數(shù)圖象可知，若一元二次不等式ax2x10的解集為R，則解得a，所以不存在a使不等式ax2x10的解集為R.1不等式35x2x20的解集為()A.B.C.DRC35x2x202x25x30(x3)(2x1)0x3或x.2不等式3x22x10的解集為()A.B.C DRD因?yàn)?2)243141280，所以不等式3x22x10的解集為R.3不等式x22x52x的解集是_x|x5或x2x，得x24x50，因?yàn)閤24x50的兩根為1,5，故x24x50的解集為x|x54不等式3x25x40的解集為_原不等式變形為3x25x40.因?yàn)?5)2434230，所以3x25x40無解由函數(shù)y3x25x4的圖象可知，3x25x40；(2)4x218x0；(3)2x23x20，所以方程2x27x30有兩個(gè)不等實(shí)根x13，x2.又二次函數(shù)y2x27x3的圖象開口向上，所以原不等式的解集為.(2)原不等式可化為20，所以原不等式的解集為.(3)原不等式可化為2x23x20，因?yàn)?42270；(2)x24x40；(3)x22x30.解(1)0，方程2x23x20的根是x1，x22，不等式2x23x20的解集為.(2)0，方程x24x40的根是x1x22，不等式x24x40的解集為.(3)原不等式可化為x22x30，由于0，方程x22x30無解，不等式x22x30的解集為R.(4)原不等式可化為3x25x20，方程3x25x20的兩根為x1，x21，不等式3x25x20的解集為.含參數(shù)的一元二次不等式的解法【例2】解關(guān)于x的不等式ax2(a1)x10.思路探究：對(duì)于二次項(xiàng)的系數(shù)a是否分a0，a0三類進(jìn)行討論？當(dāng)a0時(shí)，是否還要比較兩根的大?。拷猱?dāng)a0時(shí)，原不等式可化為x1.當(dāng)a0時(shí)，原不等式可化為(ax1)(x1)0.當(dāng)a0，1，x1.當(dāng)a0時(shí)，原不等式可化為(x1)0.若1，則x1，即0a1，則1x.綜上所述，當(dāng)a1；當(dāng)0a1時(shí)，原不等式的解集為.解含參數(shù)的一元二次不等式的一般步驟提醒：對(duì)參數(shù)分類討論的每一種情況是相互獨(dú)立的一元二次不等式的解集，不能合并2解關(guān)于x的不等式：ax222xax(a0)解原不等式移項(xiàng)得ax2(a2)x20，化簡(jiǎn)為(x1)(ax2)0.a0，(x1)0.當(dāng)2a0時(shí)，x1；當(dāng)a2時(shí)，x1；當(dāng)a2時(shí)，1x.綜上所述，當(dāng)2a0時(shí)，解集為；當(dāng)a2時(shí)，解集為x|x1；當(dāng)a0、y0時(shí)自變量x組成的集合，亦即二次函數(shù)yx22x3的圖象在x軸上方時(shí)點(diǎn)的橫坐標(biāo)x的集合x|x3；同理，滿足y0時(shí)x的取值集合為x|1x0(a0)或ax2bxc0)是函數(shù)yax2bxc(a0)的一種特殊情況，它們之間是一種包含關(guān)系，也就是當(dāng)y0時(shí)，函數(shù)yax2bxc(a0)就轉(zhuǎn)化為方程，當(dāng)y0或y0的解集分別是什么？觀察結(jié)果你發(fā)現(xiàn)什么問題？這又說明什么？提示方程x22x30的解集為1,3不等式x22x30的解集為x|x3，觀察發(fā)現(xiàn)不等式x22x30解集的端點(diǎn)值恰好是方程x22x30的根3設(shè)一元二次不等式ax2bxc0(a0)和ax2bxc0)的解集分別為x|xx2，x|x1xx2(x10(a0)和ax2bxc0)的解集分別為x|xx2，x|x1xx2(x10的解集為x|2x3，求關(guān)于x的不等式cx2bxa0的解集為x|2x3可知，a0，且2和3是方程ax2bxc0的兩根，由根與系數(shù)的關(guān)系可知5，6.由a0知c0，故不等式cx2bxa0，即x2x0，解得x，所以不等式cx2bxa0的解集為x|2x3可知，a0，且2和3是方程ax2bxc0的兩根，所以ax2bxca(x2)(x3)ax25ax6ab5a，c6a，故不等式cx2bxa0，即6ax25axa06a0的解集解由根與系數(shù)的關(guān)系知5，6且a0.c0，即x2x0，即x2x0的解集為x|2x3變?yōu)椤瓣P(guān)于x的不等式ax2bxc0的解集是.求不等式cx2bxa0的解集解法一：由ax2bxc0的解集為知a0.又20，則c0.又，2為方程ax2bxc0的兩個(gè)根，.又，ba，ca，不等式變?yōu)閤2xa0，即2ax25ax3a0.又a0，2x25x30，所求不等式的解集為.法二：由已知得a0 且2，2知c0，設(shè)方程cx2bxa0的兩根分別為x1，x2，則x1x2，x1x2，其中，x13，x2.不等式cx2bxa0(c0)的解集為.已知以a，b，c為參數(shù)的不等式(如ax2bxc0)的解集，求解其他不等式的解集時(shí)，一般遵循：(1)根據(jù)解集來判斷二次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)；(2)根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系把b，c用a表示出來并代入所要解的不等式；(3)約去 a， 將不等式化為具體的一元二次不等式求解.1解一元二次不等式的常見方法(1)圖象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函數(shù)的關(guān)系，可以得到解一元二次不等式的一般步驟：化不等式為標(biāo)準(zhǔn)形式：ax2bxc0(a0)或ax2bxc0(a0)；求方程ax2bxc0(a0)的根，并畫出對(duì)應(yīng)函數(shù)yax2bxc圖象的簡(jiǎn)圖；由圖象得出不等式的解集(2)代數(shù)法：將所給不等式化為一般式后借助分解因式或配方求解當(dāng)m0)，一根(0)，無根(0)(3)關(guān)于不等式對(duì)應(yīng)的方程根的大小的討論：x1x2，x1x2，x1x2.3由一元二次不等式的解集可以逆推二次函數(shù)的開口及與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)1判斷正誤(1)mx25x0，則一元二次不等式ax210無解()(3)若一元二次方程ax2bxc0的兩根為x1，x2(x1x2)，則一元二次不等式ax2bxc0的解集為x|x1x0的解集為R.()答案(1)(2)(3)(4)提示(1)錯(cuò)誤當(dāng)m0時(shí)，是一元一次不等式；當(dāng)m0時(shí)，是一元二次不等式(2)錯(cuò)誤因?yàn)閍0，所以不等式ax210恒成立，即原不等式的解集為R.(3)錯(cuò)誤當(dāng)a0時(shí)，ax2bxc0的解集為x|x1xx2，否則不成立(4)正確因?yàn)?2)2120的解集為R.2設(shè)a1，則關(guān)于x的不等式a(xa)0的解集為_因?yàn)閍1，所以a(xa)0.又aa，所以x或xa.3已知關(guān)于x的不等式ax2bxc0的解集為_由題意，2，是方程ax2bxc0的兩個(gè)根且a0，即為2x25x20