數(shù)列知識(shí)點(diǎn)所有性質(zhì)總結(jié).doc

一、等差數(shù)列1.等差數(shù)列的定義：（d為常數(shù)）（）；2等差數(shù)列通項(xiàng)公式： ， 首項(xiàng):，公差:d，末項(xiàng): 推廣： 從而；3等差中項(xiàng)（1）如果，成等差數(shù)列，那么叫做與的等差中項(xiàng)即：或（2）等差中項(xiàng)：數(shù)列是等差數(shù)列4等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：（其中A、B是常數(shù)，所以當(dāng)d0時(shí)，Sn是關(guān)于n的二次式且常數(shù)項(xiàng)為0）特別地，當(dāng)項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，是項(xiàng)數(shù)為2n+1的等差數(shù)列的中間項(xiàng)（項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列的各項(xiàng)和等于項(xiàng)數(shù)乘以中間項(xiàng)）5等差數(shù)列的判定方法 （1） 定義法：若或(常數(shù)) 是等差數(shù)列 （2） 等差中項(xiàng)：數(shù)列是等差數(shù)列 數(shù)列是等差數(shù)列（其中是常數(shù)）。（4）數(shù)列是等差數(shù)列,（其中A、B是常數(shù)）。6等差數(shù)列的證明方法 定義法：若或(常數(shù)) 是等差數(shù)列7.提醒：（1）等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前和公式中，涉及到5個(gè)元素：、及，其中、稱作為基本元素。只要已知這5個(gè)元素中的任意3個(gè)，便可求出其余2個(gè)，即知3求2。（2）設(shè)項(xiàng)技巧：一般可設(shè)通項(xiàng)奇數(shù)個(gè)數(shù)成等差，可設(shè)為，（公差為）；偶數(shù)個(gè)數(shù)成等差，可設(shè)為，,（注意；公差為2）8.等差數(shù)列的性質(zhì)：（1）當(dāng)公差時(shí)，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)于的一次函數(shù)，且斜率為公差；前和是關(guān)于的二次函數(shù)且常數(shù)項(xiàng)為0.（2）若公差，則為遞增等差數(shù)列，若公差，則為遞減等差數(shù)列，若公差，則為常數(shù)列。（3）當(dāng)時(shí),則有，特別地，當(dāng)時(shí)，則有.注：， （4）若、為等差數(shù)列，則都為等差數(shù)列(5) 若是等差數(shù)列，則 ，也成等差數(shù)列 （6）數(shù)列為等差數(shù)列,每隔k(k)項(xiàng)取出一項(xiàng)()仍為等差數(shù)列（7）設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，d為公差，是奇數(shù)項(xiàng)的和，是偶數(shù)項(xiàng)項(xiàng)的和，是前n項(xiàng)的和1.當(dāng)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)時(shí)，2、當(dāng)項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，則（其中是項(xiàng)數(shù)為2n+1的等差數(shù)列的中間項(xiàng)）（8）、的前和分別為、，且，則.（9）等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，前m項(xiàng)和，則前m+n項(xiàng)和(10)求的最值法一：因等差數(shù)列前項(xiàng)是關(guān)于的二次函數(shù)，故可轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值，但要注意數(shù)列的特殊性。法二：（1）“首正”的遞減等差數(shù)列中，前項(xiàng)和的最大值是所有非負(fù)項(xiàng)之和即當(dāng) 由可得達(dá)到最大值時(shí)的值 （2） “首負(fù)”的遞增等差數(shù)列中，前項(xiàng)和的最小值是所有非正項(xiàng)之和。即 當(dāng) 由可得達(dá)到最小值時(shí)的值或求中正負(fù)分界項(xiàng)法三：直接利用二次函數(shù)的對(duì)稱性：由于等差數(shù)列前n項(xiàng)和的圖像是過原點(diǎn)的二次函數(shù)，故n取離二次函數(shù)對(duì)稱軸最近的整數(shù)時(shí)，取最大值（或最小值）。若S p = S q則其對(duì)稱軸為注意：解決等差數(shù)列問題時(shí)，通?？紤]兩類方法：基本量法：即運(yùn)用條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于和的方程；巧妙運(yùn)用等差數(shù)列的性質(zhì)，一般地運(yùn)用性質(zhì)可以化繁為簡，減少運(yùn)算量二、等比數(shù)列1. 等比數(shù)列的定義：，稱為公比2. 通項(xiàng)公式：， 首項(xiàng)：；公比：推廣：， 從而得或3. 等比中項(xiàng)（1）如果成等比數(shù)列，那么叫做與的等差中項(xiàng)即：或注意：同號(hào)的兩個(gè)數(shù)才有等比中項(xiàng)，并且它們的等比中項(xiàng)有兩個(gè)（兩個(gè)等比中項(xiàng)互為相反數(shù)）（2）數(shù)列是等比數(shù)列4. 等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：(1) 當(dāng)時(shí)， (2) 當(dāng)時(shí)，（為常數(shù)）5. 等比數(shù)列的判定方法（1）用定義：對(duì)任意的n,都有為等比數(shù)列 （2） 等比中項(xiàng)：（0）為等比數(shù)列（3） 通項(xiàng)公式：為等比數(shù)列（4） 前n項(xiàng)和公式：為等比數(shù)列6. 等比數(shù)列的證明方法依據(jù)定義：若或?yàn)榈缺葦?shù)列7. 注意（1）等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前和公式中，涉及到5個(gè)元素：、及，其中、稱作為基本元素。只要已知這5個(gè)元素中的任意3個(gè)，便可求出其余2個(gè)，即知3求2。（2）為減少運(yùn)算量，要注意設(shè)項(xiàng)的技巧，一般可設(shè)為通項(xiàng)；如奇數(shù)個(gè)數(shù)成等差，可設(shè)為，（公比為，中間項(xiàng)用表示）；8. 等比數(shù)列的性質(zhì)(1) 當(dāng)時(shí)等比數(shù)列通項(xiàng)公式是關(guān)于n的帶有系數(shù)的類指數(shù)函數(shù)，底為公比前n項(xiàng)和，系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)是互為相反數(shù)的類指數(shù)函數(shù)，底數(shù)為公比(2) 對(duì)任何m,n,在等比數(shù)列中,有,特別的,當(dāng)m=1時(shí),便得到等比數(shù)列的通項(xiàng)公式.因此,此公式比等比數(shù)列的通項(xiàng)公式更具有一般性。(3) 若m+n=s+t (m, n, s, t),則.特別的,當(dāng)n+m=2k時(shí),得注：(4) 列,為等比數(shù)列,則數(shù)列, (k為非零常數(shù)) 均為等比數(shù)列.(5) 數(shù)列為等比數(shù)列,每隔k(k)項(xiàng)取出一項(xiàng)()仍為等比數(shù)列(6) 如果是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列,則數(shù)列是等差數(shù)列(7) 若為等比數(shù)列,則數(shù)列，成等比數(shù)列(8) 若為等比數(shù)列,則數(shù)列, , 成等比數(shù)列(9) 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)，, 當(dāng)q=1時(shí),該數(shù)列為常數(shù)列（此時(shí)數(shù)列也為等差數(shù)列）; 當(dāng)q0時(shí),該數(shù)列為擺動(dòng)數(shù)列.(10)在等比數(shù)列中, 當(dāng)項(xiàng)數(shù)為2n (n)時(shí),. (11)若是公比為q的等比數(shù)列,則三、等差數(shù)列與等比數(shù)列性質(zhì)的比較等差數(shù)列性質(zhì)等比數(shù)列性質(zhì)1、定義；,2、通項(xiàng)公式3、前n項(xiàng)和4、中項(xiàng)a、A、b成等差數(shù)列A=；是其前k項(xiàng)與后k項(xiàng)的等差中項(xiàng)，即：=a、A、b成等比數(shù)列（不等價(jià)于，只能）;是其前k項(xiàng)與后k項(xiàng)的 等比中項(xiàng)，即：5、下標(biāo)和公式若m+n=p+q,則特別地,若m+n=2p,則若m+n=p+q,則特別地,若m+n=2p,則6、首尾項(xiàng)性質(zhì)等差數(shù)列的第k項(xiàng)與倒數(shù)第k項(xiàng)的和等于首尾兩項(xiàng)的和, 即：等比數(shù)列的第k項(xiàng)與倒數(shù)第k項(xiàng)的積等于首尾兩項(xiàng)的積, 即：7、結(jié)論為等差數(shù)列,若m,n,p成等差數(shù)列,則成等差數(shù)列為等比數(shù)列,若m,n,p成等差數(shù)列,則成等比數(shù)列（兩個(gè)等差數(shù)列的和仍是等差數(shù)列）等差數(shù)列,的公差分別為,則數(shù)列仍為等差數(shù)列，公差為（兩個(gè)等比數(shù)列的積仍是等比數(shù)列）等比數(shù)列,的公比分別為,則數(shù)列仍為等比數(shù)列，公差為取出等差數(shù)列的所有奇（偶）數(shù)項(xiàng)，組成的新數(shù)列仍為等差數(shù)列，且公差為取出等比數(shù)列的所有奇（偶）數(shù)項(xiàng)，組成的新數(shù)列仍為等比數(shù)列，且公比為若則無此性質(zhì)；若則無此性質(zhì)；若無此性質(zhì)；成等差數(shù)列，公差為成等差數(shù)列，公比為當(dāng)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)時(shí)， 當(dāng)項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)時(shí)， ，當(dāng)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)時(shí)，當(dāng)項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)時(shí)， 8、等差(等比)數(shù)列的判斷方法定義法：等差中項(xiàng)概念；函數(shù)法：關(guān)于n的一次函數(shù)數(shù)列是首項(xiàng)為p+q，公差為p的等差數(shù)列；