（全國通用）2018屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第二篇 熟練規(guī)范 中檔大題保高分 第23練 數(shù)列的證明、通項(xiàng)與求和練習(xí) 文.docVIP

第23練數(shù)列的證明、通項(xiàng)與求和明考情數(shù)列的通項(xiàng)與求和是高考的熱點(diǎn)，考查頻率較高.中檔難度，一般在解答題的前半部.知考向1.等差、等比數(shù)列的判定與證明.2.數(shù)列的通項(xiàng)與求和.考點(diǎn)一等差、等比數(shù)列的判定與證明方法技巧判斷等差(比)數(shù)列的常用方法(1)定義法：若an1and，d為常數(shù)，則an為等差(比)數(shù)列.(2)中項(xiàng)公式法.(3)通項(xiàng)公式法.1.(2016全國)已知各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列an滿足a11，a(2an11)an2an10.(1)求a2，a3；(2)求an的通項(xiàng)公式.解(1)由題意得a2，a3.(2)由a(2an11)an2an10，得2an1(an1)an(an1).因?yàn)閍n的各項(xiàng)都為正數(shù)，所以.故an是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，因此an.2.已知數(shù)列an滿足a11，a24，an23an12an(nn*).(1)設(shè)bnan12an，證明：數(shù)列bn既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.(1)證明因?yàn)閍n23an12an，所以an22an1an12an，又bnan12an，所以bn1an22an1，因此對任意的nn*，bn1bn0(常數(shù))，又bnan12anan2an1a22a120，所以1(常數(shù))，根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義知，數(shù)列bn既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列.(2)解方法一由(1)知，an2an12， 由an23an12an，得an2an12(an1an)，又a2a13，所以數(shù)列an1an是首項(xiàng)為3，公比為2的等比數(shù)列，anan132n2(n2)， 聯(lián)立得，an32n12(n2)，經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)n1時(shí)也符合該式.故數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an32n12(nn*).方法二由(1)可得an12an2，即an122(an2)，所以數(shù)列an2是公比為2的等比數(shù)列，則an2(a12)2n132n1，即an32n12(nn*).3.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和sn滿足sn2an(1)n(nn*).(1)求數(shù)列an的前三項(xiàng)a1，a2，a3；(2)求證：數(shù)列為等比數(shù)列，并求出an的通項(xiàng)公式.(1)解在sn2an(1)n(nn*)中分別令n1，2，3，得解得(2)證明由sn2an(1)n(nn*)，得sn12an1(1)n1(n2)，兩式相減，得an2an12(1)n(n2)，an2an1(1)n(1)n2an1(1)n1(1)n(n2)，an(1)n2an1(1)n1(n2).故數(shù)列是以a1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.an(1)n2n1，an2n1(1)n(1)n.4.(2016全國)sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且a11，s728.記bnlg an，其中x表示不超過x的最大整數(shù)，如0.90，lg 991.(1)求b1，b11，b101；(2)求數(shù)列bn的前1 000項(xiàng)和.解(1)設(shè)an的公差為d，據(jù)已知有721d28，解得d1.所以an的通項(xiàng)公式為ann.b1lg 10，b11lg 111，b101lg 1012.(2)因?yàn)閎n所以數(shù)列bn的前1 000項(xiàng)和為1902900311 893.5.(2017日照一模)已知數(shù)列an，bn滿足a11，an11，bn，其中nn*.(1)求證：數(shù)列bn是等差數(shù)列，并求出數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)cn，求數(shù)列cncn2的前n項(xiàng)和tn.(1)證明bn1bn2，數(shù)列bn是公差為2的等差數(shù)列.又b12，bn2(n1)22n，2n，解得an.(2)解由(1)可得cn，cncn22，數(shù)列cncn2的前n項(xiàng)和為tn223.6.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn，a11，an0，anan1sn1，其中為常數(shù).(1)證明：an2an；(2)是否存在，使得an為等差數(shù)列？并說明理由.(1)證明由題設(shè)知，anan1sn1，an1an2sn11，兩式相減得an1(an2an)an1，由于an10，所以an2an.(2)解由題設(shè)知，a11，a1a2s11，可得a21.由(1)知，a31.令2a2a1a3，解得4.故an2an4，由此可得a2n1是首項(xiàng)為1，公差為4的等差數(shù)列，a2n14n3；a2n是首項(xiàng)為3，公差為4的等差數(shù)列，a2n4n1.所以an2n1，an1an2，因此存在4，使得數(shù)列an為等差數(shù)列.考點(diǎn)二數(shù)列的通項(xiàng)與求和方法技巧(1)根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系求通項(xiàng)的常用方法累加(乘)法形如an1anf(n)的數(shù)列，可用累加法；形如f(n)的數(shù)列，可用累乘法.構(gòu)造數(shù)列法形如an1，可轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造等差數(shù)列；形如an1panq(pq0)，可轉(zhuǎn)化為an1p構(gòu)造等比數(shù)列.(2)數(shù)列求和的常用方法倒序相加法；分組求和法；錯位相減法；裂項(xiàng)相消法.7.已知數(shù)列an的首項(xiàng)a11，前n項(xiàng)和為sn，且數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若bn(1)nan，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和tn.解(1)由已知得1(n1)22n1，所以sn2n2n.當(dāng)n2時(shí)，ansnsn12n2n2(n1)2(n1)4n3.而a11413滿足上式，所以an4n3，nn*.(2)(分組求和法)由(1)可得bn(1)nan(1)n(4n3).當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，tn(15)(913)(4n7)(4n3)42n；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，n1為偶數(shù)，tntn1bn12(n1)(4n1)2n1.綜上，tn8.設(shè)nn*，數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn，且sn1snan2，已知a1，a2，a5成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列bn滿足()，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和tn.解(1)由sn1snan2，得an1an2(nn*)，所以數(shù)列an是以a1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列.由a1，a2，a5成等比數(shù)列，即(a12)2a1(a18)，解得a11.所以an2n1(nn*).(2)(錯位相減法)由(1)可得bn(2n1)()2n(2n1)2n，所以tn121322523(2n1)2n， 2tn122323(2n3)2n(2n1)2n1. 由可得tn22(22232n)(2n1)2n1(2n3)2n16，所以tn(2n3)2n16.9.(2017廣東汕頭一模)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn，a12，an1sn2. (1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)已知bnlog2an，求數(shù)列的前n項(xiàng)和tn.解(1)an1sn2，ansn12(n2).兩式作差得an1ansnsn1an，所以an12an，即2(n2).又當(dāng)n1時(shí)，a2s124，2成立.數(shù)列an是公比為2，首項(xiàng)為2的等比數(shù)列，ana1qn12n (nn*).(2)由(1)可得bnlog2ann，tn1.10.(2016浙江)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn，已知s24，an12sn1，nn*.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列|ann2|的前n項(xiàng)和.解(1)由題意得則即a23a1.又當(dāng)n2時(shí)，由an1an(2sn1)(2sn11)2an，得an13an.所以，數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an3n1，nn*.(2)設(shè)bn|3n1n2|，nn*，b12，b21，當(dāng)n3時(shí)，由于3n1n2，故bn3n1n2，n3.設(shè)數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為tn，則t12，t23，當(dāng)n3時(shí)，tn3，當(dāng)x2時(shí)，滿足上式，所以tn11.已知數(shù)列an，bn滿足a1，anbn1，bn1.(1)求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)sna1a2a2a3a3a4anan1，求sn.解(1)bn1.a1，b1，因?yàn)閎n111，所以1，所以數(shù)列是以4為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，所以4(n1)n3，所以bn1.(2)因?yàn)閍n1bn，所以sna1a2a2a3anan1.12.已知數(shù)列an中，a11，an1(nn*).(1)求證：為等比數(shù)列，并求an的通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列bn滿足bn(3n1)an，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和tn.(1)證明a11，an1，1，即3，則為等比數(shù)列，公比q3，首項(xiàng)為1，則3n1，即3n1(3n1)，即an.(2)解bn(3n1)an，則數(shù)列的前n項(xiàng)和tn， tn， 兩式相減得tn122，則tn4.例(12分)下表是一個由n2個正數(shù)組成的數(shù)表，用aij表示第i行第j個數(shù)(i，jn*)，已知數(shù)表中第一列各數(shù)從上到下依次構(gòu)成等差數(shù)列，每一行各數(shù)從左到右依次構(gòu)成等比數(shù)列，且公比都相等.已知a111，a31a619，a3548.a11a12a13a1na21a22a23a2na31a32a33a3nan1an2an3ann(1)求an1和a4n；(2)設(shè)bn(1)nan1(nn*)，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和sn.審題路線圖規(guī)范解答評分標(biāo)準(zhǔn)解(1)設(shè)第1列依次組成的等差數(shù)列的公差為d，設(shè)每一行依次組成的等比數(shù)列的公比為q.依題意a31a61(12d)(15d)9，d1，an1a11(n1)d1(n1)1n.2分又a31a112d3，a35a31q43q448，又q0，q2.又a414，a4na41qn142n12n1. 4分(2)bn(1)nan1(1)nn(1)nn(1)nn. 6分sn12345(1)nn.當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，sn1，8分當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，snsn1bn1n1(n3且n為奇數(shù)).經(jīng)驗(yàn)證，當(dāng)n1時(shí)，也滿足sn.11分綜上，數(shù)列bn的前n項(xiàng)和sn構(gòu)建答題模板第一步找關(guān)系：根據(jù)已知條件確定數(shù)列的項(xiàng)之間的關(guān)系.第二步求通項(xiàng)：根據(jù)等差或等比數(shù)列的通項(xiàng)公式或利用累加、累乘法求數(shù)列的通項(xiàng)公式.第三步定方法：根據(jù)數(shù)列表達(dá)式的結(jié)構(gòu)特征確定求和方法(常用的有公式法、裂項(xiàng)相消法、錯位相減法、分組法等).第四步寫步驟.第五步再反思：檢查求和過程中各項(xiàng)的符號有無錯誤，用特殊項(xiàng)估算結(jié)果.1.(2017包頭一模)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn，且sn2an3n (nn*).(1)求a1，a2，a3的值；(2)是否存在常數(shù)，使得數(shù)列an為等比數(shù)列？若存在，求出的值和通項(xiàng)公式an；若不存在，請說明理由.解(1)當(dāng)n1時(shí)，由s12a131，可得a13；當(dāng)n2時(shí)，由s22a232，可得a29；當(dāng)n3時(shí)，由s32a333，可得a321.(2)令(a2)2(a1)(a3)，即(9)2(3)(21)，解得3.由sn2an3n及sn12an13(n1)，兩式相減，得an12an3.由以上結(jié)論得an13(2an3)32(an3)，所以數(shù)列an3是首項(xiàng)為6，公比為2的等比數(shù)列，因此存在3，使得數(shù)列an3為等比數(shù)列，所以an3(a13)2n1，所以an3(2n1).2.設(shè)數(shù)列an滿足a12，an1an322n1.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)令bnnan，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和sn.解(1)由已知，當(dāng)n1時(shí)，an1(an1an)(anan1)(a2a1)a13(22n122n32)222(n+1)1.而a12，所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an22n1.(2)(錯位相減法)由bnnann22n1知，sn12223325n22n1，22sn123225327n22n+1，得(122)sn2232522n1n22n+1，即sn(3n1)22n+12.3.已知an是等比數(shù)列，前n項(xiàng)和為sn(nn*)，且，s663.(1)求an的通項(xiàng)公式；(2)若對任意的nn*，bn是log2an和log2an1的等差中項(xiàng)，求數(shù)列(1)nb的前2n項(xiàng)和.解(1)設(shè)數(shù)列an的公比為q.由已知，解得q2或q1.又由s6a163知，q1，所以a163，得a11.所以an2n1.(2)由題意，得bn(log2anlog2an1)(log22n1log22n)n，即bn是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列.設(shè)數(shù)列(1)nb的前n項(xiàng)和為tn，則t2n(bb)(bb)(bb)b1b2b3b4b2n1b2n2n2.4.已知數(shù)列an，a11，an2an11(n2，nn*).(1)求證：數(shù)列an1是等比數(shù)列；(2)若bn，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和sn；(3)求證：(nn*).(1)證明an12(an11)(n2)，2.又a112，數(shù)列an1是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.(2)解an12n，an2n1.bn.sn.(3)證明，(nn*).5.已知數(shù)列an中，a11，a39，且a