第十章 相關(guān)分析.doc

第10章 相關(guān)分析(Correlation Analysis)社會經(jīng)濟現(xiàn)象之間相互聯(lián)系和相互制約是社會經(jīng)濟現(xiàn)象的普遍規(guī)律。社會經(jīng)濟的發(fā)展總是與一定的經(jīng)濟變量的數(shù)量變化密切相關(guān)。一種經(jīng)濟變量的變化往往取決于其他變量的變化，或者影響其他變量的變化。要認(rèn)識和掌握客觀經(jīng)濟規(guī)律，就必須探究經(jīng)濟現(xiàn)象間經(jīng)濟變量的相互影響及其變化規(guī)律。變量之間的統(tǒng)計關(guān)系是經(jīng)濟變量變化規(guī)律的重要特征。根據(jù)各經(jīng)濟現(xiàn)象及經(jīng)濟變量之間關(guān)系的緊密程度，把這些經(jīng)濟現(xiàn)象和經(jīng)濟變量之間的關(guān)系通常分為兩類：一類是某一變量的變化完全取決于另一個或若干個其他變量的變化，即變量之間存在著唯一完全確定關(guān)系。這種關(guān)系稱為函數(shù)關(guān)系。例如，銀行的貸款利息為，貸款額為，則到期的本息為，可用函數(shù)式表示；銷售額與單位產(chǎn)品的價格及產(chǎn)品的銷售量之間存在函數(shù)關(guān)系等。另一類是變量之間存在著一定的關(guān)系，但它們關(guān)系的密切程度尚未達到由一個變量或若干變量完全確定另一個變量的程度。下面看幾個例子。人們的消費水平與其經(jīng)濟收入有密切的正比關(guān)系，通常收入越高消費越大，但人們的消費水平不僅受經(jīng)濟收入的影響，還受著人們的消費意識、銀行的利息、社會經(jīng)濟環(huán)境等因素的影響，所以無法用一個確定的函數(shù)式表達出來；又如，產(chǎn)品廣告費支出與產(chǎn)品的銷售額有關(guān)，廣告費支出越大，產(chǎn)品的銷售額越大，但產(chǎn)品的銷售額不僅受廣告費支出大小的影響，還受到廣告媒體的種類、消費者對該產(chǎn)品的反映等因素的影響。再如，糧食的產(chǎn)量與施肥量有關(guān)，但施肥量不能完全確定糧食的產(chǎn)量，它還受氣溫、降雨量等其他自然環(huán)境條件的影響。在數(shù)理統(tǒng)計中，我們把上述的變量間具有的密切聯(lián)系而又不能用精確的函數(shù)表達式來表示的關(guān)系稱作變量間的統(tǒng)計關(guān)系或相關(guān)關(guān)系?，F(xiàn)代統(tǒng)計學(xué)中關(guān)于相關(guān)關(guān)系的研究是數(shù)理統(tǒng)計研究的一個重要分支。相關(guān)分析相關(guān)系數(shù)偏相關(guān)系數(shù)次序相關(guān)系數(shù) 相關(guān)系數(shù)定義 樣本相關(guān)系數(shù) 相關(guān)系數(shù)檢驗 SAS分析程序（圖10-0）相關(guān)分析主要內(nèi)容示意圖 10.1相關(guān)系數(shù)的計算及其檢驗10.1.1樣本相關(guān)系數(shù)設(shè)是資料()的組觀測值(樣本)，則表示變量與變量線性關(guān)系的樣本相關(guān)系數(shù)定義如下。 (10-1)或 (10-2)式中：，樣本變量的方差: 樣本變量的方差: 樣本協(xié)方差:樣本相關(guān)系數(shù)的取值范圍為。若 ，則，關(guān)系很弱；若，則為中度相關(guān)；若，則，為高度相關(guān)。相關(guān)系數(shù)是衡量，兩個變量線性關(guān)系程度的尺度。其直觀意義可用下面的圖形表示。但解釋樣本的相關(guān)系數(shù)時，值得我們注意的是樣本的相關(guān)系數(shù)只表示，兩個變量的線性關(guān)系的程度，而不代表兩個變量的因果（cause and effect）關(guān)系。相關(guān)系數(shù) 的符號代表兩個變量線性關(guān)系的方向，相關(guān)系數(shù)的大小表示其相關(guān)強度。下圖是相關(guān)系數(shù)的幾種情況。圖10-1a和圖10-1b中，兩個變量，之間處于完全相關(guān)關(guān)系；圖10-1c和圖10-1d中兩個變量，之間處于相關(guān)關(guān)系，但不是完全相關(guān)關(guān)系；圖10-1e圖10-1h中，兩個變量，的散點圖都不相等，但它們的相關(guān)系數(shù)均為零。這是因為每個觀測點都對垂直或水平軸對稱。所以。rxy=1YX（圖10-1a）完全線性正相關(guān)rxy=1YX（圖10-1b）完全線性負(fù)相關(guān)rxy=0.8YXrxy= -0.6YX（圖10-1c）不完全線性正相關(guān)（圖10-1d）不完全線性負(fù)相關(guān)Yrxy=0X（圖10-1e）非線性正相關(guān)Yrxy=0X（圖10-1f）完全不相關(guān)Yrxy=0XYX（圖10-1g）完全不相關(guān)（圖10-1h）完全不相關(guān)rxy=010.1.2 相關(guān)系數(shù)的檢驗協(xié)方差（或相關(guān)矩）在統(tǒng)計分析中具有非常重要的意義。兩個變量的協(xié)方差可用下式來表示， (10-3)因為是量綱，其大小和變量的測量單位有關(guān)，所以不能直接利用來分析，兩個變量的相關(guān)關(guān)系。但是，如果把進行標(biāo)準(zhǔn)化，可用標(biāo)準(zhǔn)化的來表示兩個變量的相關(guān)關(guān)系，稱作總體的相關(guān)系數(shù)(population correlation coefficient)，以表示，即 (10-4)變量的標(biāo)準(zhǔn)差 變量的標(biāo)準(zhǔn)差也可用下式來表示： (10-5)在實際經(jīng)濟分析中，通常直接計算總體的相關(guān)系數(shù)是很困難的，所以常用樣本的相關(guān)系數(shù)來研究總體變量之間的相關(guān)程度。利用觀測值計算出的樣本相關(guān)系數(shù)說明兩個總體變量是否具有線性相關(guān)，通常還需要作假設(shè)檢驗。設(shè)兩個變量總體的相關(guān)系數(shù)為，則其檢驗步驟如下：提出原假設(shè)及替換假設(shè):原假設(shè): =0, 即兩個變量相互獨立，不存在線性關(guān)系。替換假設(shè):0，即兩個變量相互影響，存在線性關(guān)系。檢驗統(tǒng)計量: (10-6)若原假設(shè)成立，則檢驗統(tǒng)計量T*服從自由度為2的-分布。檢驗統(tǒng)計決策。若，則原假設(shè)成立，兩個變量線性關(guān)系不顯著。若，則拒絕原假設(shè)，兩個變量間的線性關(guān)系是顯著的。-值計算1）在SAS程序中只要能計算統(tǒng)計量T*，則自動計算出其相應(yīng)的p-值。）； 下面介紹一下相關(guān)分析中經(jīng)常遇到的皮爾遜相關(guān)系數(shù)(Pearson correlation coefficient)和斯皮爾曼相關(guān)系數(shù)(Spearman correlation coefficient)。皮爾遜相關(guān)系數(shù)(Pearson correlation coefficient)觀測值(), (), ( )的Pearson樣本相關(guān)系數(shù)定義如下： (10-7)變量,服從雙變量正態(tài)分布(bivariate normal distribution)的假設(shè)條件下，可檢測相關(guān)系數(shù)。 在正態(tài)分布中，如果變量,相互獨立，則其相關(guān)系數(shù)=0。所以檢測變量,的相互獨立與否取決于變量,的相關(guān)系數(shù)是否等于零。皮爾遜相關(guān)系數(shù)的檢驗統(tǒng)計量-值。 (10-8)原假設(shè): =0，即兩個變量相互獨立，不存在線性關(guān)系。替換假設(shè)：0，即相互影響，存在線性關(guān)系。若原假設(shè)成立，則檢驗統(tǒng)計量T*服從自由度為2的-分布。斯皮爾曼相關(guān)系數(shù)(Spearman correlation coefficient)皮爾遜相關(guān)系數(shù)是以正態(tài)分布為前提條件。但是，當(dāng)已確認(rèn)樣本不服從正態(tài)分布時，不能采用皮爾遜相關(guān)系數(shù)來檢驗兩個變量的獨立（或相關(guān)）問題，這時我們必須采用斯皮爾曼相關(guān)系數(shù)來檢驗兩個變量之間的獨立性問題。斯皮爾曼相關(guān)系數(shù)所采用的不是觀測值的大小，而是采用觀測值的秩次(rank)。斯皮爾曼相關(guān)系數(shù)的計算公式如下： (10-9)式中：斯皮爾曼相關(guān)系數(shù)代表變量Xi的秩次 代表變量Yi的秩次代表Ri的平均 代表Si的平均10.1.3 相關(guān)系數(shù)SAS分析程序分析相關(guān)系數(shù)的SAS程序的基本形式如下：(a) PROC CORR DATA=dsn option; (b) VAR 變量; (c) WITH 變量; (d) PARTIAL 變量; (e) WEIGHT 變量; (f) FREQ 變量; (g) BY 變量; (a)PROC CORRPROC CORR是分析相關(guān)系數(shù)的基本命令。Option:- DATA =dsn: 分析對象資料名。- PEARSON: 分析皮爾遜相關(guān)系數(shù)。- SPEARMAN: 分析斯皮爾曼相關(guān)系數(shù)。- NOSIMPLE: 不打印（輸出）各變量的描述性統(tǒng)計量。- NOPROB: 省略檢驗統(tǒng)計量p-值。- COV(covariance):打印協(xié)方差（矩陣）。- NOCORR: 儲存時省略相關(guān)系數(shù)。- OUTP=dsn: 把皮爾遜相關(guān)關(guān)系儲存到資料dsn名下。- OUTS=dsn: 把斯皮爾曼相關(guān)系數(shù)儲存到資料dsn名下。(b)VAR變量指定分析相關(guān)系數(shù)的變量。(c)WITH變量計算WITH指定的變量與VAR指定的變量之間的相關(guān)系數(shù)。例）PROC CORR; VAR Y Z; WITH X;計算XY, XZ的相關(guān)系數(shù)。(d)PARTIAL變量計算PARTIAL所指定的變量的偏相關(guān)系數(shù)。(e)WEIGHT變量計算加權(quán)相關(guān)系數(shù)時，把加權(quán)數(shù)指定為行變量。(f)FREQ變量當(dāng)指定的變量以頻數(shù)輸入時，如果使用FREQ，則按頻數(shù)重復(fù)處理。(g)BY變量以BY指定的變量為基準(zhǔn)，計算VAR指定的變量之間的相關(guān)系數(shù)。案例分析10-1：某中學(xué)從580名學(xué)生中隨機抽出20名學(xué)生，作了體重(weight)，每分鐘心臟跳動頻數(shù)(pulse)，拉單杠(chins)，仰臥起坐(situp)，跳高(jump)等體力調(diào)查。試分析這些體力調(diào)查項目之間的相關(guān)關(guān)系及體重和其它體力調(diào)查項目之間的相關(guān)關(guān)系。（其體力調(diào)查資料直接編入到分析程序） (表10-1) 體力調(diào)查表 Weight pulse chins situps jumps Weight pulse chins situps jumps190 50 5 162 60247 50 1 50 50189 52 2 110 60193 46 6 70 31193 58 12 101 101202 62 12 210 120162 62 12 105 37176 54 4 60 25189 46 13 155 58157 52 11 230 80182 56 4 101 42156 54 15 225 73211 56 8 101 42 138 68 2 110 43167 60 6 125 40166 52 13 210 115 176 74 15 200 40154 64 14 215 105154 56 17 251 250169 50 17 120 38SAS PROGRAM：OPTION PS = 60 NODATE; DATA fit; INPUT Weight pulse chins situps jumps ;給Weight等5個變量輸入數(shù)據(jù)CARDS;190 50 5 162 60 247 50 1 50 50 154 56 17 251 250 169 50 17 120 38RUN;PROC CORR DATA=fit PEARSON SPEARMAN KENDALL; VAR chins situps jumps; WITH weight pulse; RUN; 利用fit的數(shù)據(jù)，計算VAR指定的chins situps jumps變量和WITH指定的weight pulse 變量之間的皮爾遜系數(shù)，斯皮爾曼相關(guān)系數(shù)，KENDALL的Tau-b PROC CORR DATA=fit PEARSON; VAR CHINS SITUPS JUMPS; WITH WEIGHT; PARTIAL PULSE; RUN; 利用fit的數(shù)據(jù)，計算VAR指定的chins situps jumps變量和weight之間的皮爾遜系數(shù)及固定pulse后的偏相關(guān)系數(shù)運行結(jié)果及解釋：基礎(chǔ)統(tǒng)計量。Correlation Analysis 2 WITH Variables: WEIGHT PULSE 3 VAR Variables: CHINS SITUPS JUMPS Simple Statistics Variable N Mean Std Dev Median Minimum Maximum WEIGHT 20 178.5500 24.6651 176.0000 138.0000 247.0000 PULSE 20 56.1000 7.2104 55.0000 46.0000 74.0000 CHINS 20 9.4500 5.2863 11.5000 1.0000 17.0000 SITUPS 20 145.5500 62.5666 122.5000 50.0000 251.0000 JUMPS 20 70.5000 51.1525 54.0000 25.0000 250.0000打印皮爾遜的相關(guān)系數(shù)及其相應(yīng)的p-值。從分析結(jié)果中可以看出，體重和chins,situps, jump存在負(fù)的相關(guān)關(guān)系，相關(guān)系數(shù)的顯著性水準(zhǔn)（p-值）分別為0.0907，0.0268，0.3486。每分鐘心臟跳動頻數(shù)和chins, situps, jump存在正的相關(guān)關(guān)系。但體重和jumps，心臟跳動頻數(shù)和chins, situps, jump之間相關(guān)系數(shù)的顯著性水準(zhǔn)p值分別為0.3486，0.5261，0.3401，0.8837,比較大，似乎不存在密切的相關(guān)關(guān)系。Pearson Correlation Coefficients / Prob |R| under Ho: Rho=0 / N = 20 CHINS SITUPS JUMPS WEIGHT -0.38830 -0.49415 -0.22124 相關(guān)系數(shù) 0.0907 0.0268 0.3486 p-值 PULSE 0.15065 0.22504 0.03496 0.5261 0.3401 0.8837打印斯皮爾曼的相關(guān)系數(shù)及其相應(yīng)的p-值。從分析結(jié)果看，體重和situps有比較密切的相關(guān)關(guān)系（p值0.0076），體重和chins有一定的相關(guān)關(guān)系（p值0.0076），其余的變量之間似乎不存在相關(guān)關(guān)系。Spearman Correlation Coefficients / Prob |R| under Ho: Rho=0 / N = 20 CHINS SITUPS JUMPS WEIGHT -0.38020 -0.57774 -0.15680 相關(guān)系數(shù) 0.0982 0.0076 0.5091p-值 PULSE 0.13662 0.17924 0.08781 0.5657 0.4496 0.7128KENDALL的相關(guān)系數(shù)及顯著性水準(zhǔn)和皮爾遜、斯皮爾曼的分析結(jié)果很相似。Kendall Tau b Correlation Coefficients / Prob |R| under Ho: Rho=0 / N = 20 CHINS SITUPS JUMPS WEIGHT -0.27795 -0.42588 -0.06971 0.0956 0.0100 0.6721PULSE 0.12257 0.15430 0.07674 0.4699 0.3587 0.6467在心臟跳動頻數(shù)固定不變的條件下，計算weight, chins, situp, jumps之間的偏相關(guān)系數(shù)。weight和situp的偏相關(guān)系數(shù)為0.45423，比前面的相關(guān)系數(shù)0.49415小，其顯著性水平也提高了0.0515，這說明weight和situp的相關(guān)系數(shù)受pulse的影響。特別是weight和chins的相關(guān)系數(shù)的顯著性水平變得沒有顯著性差別。 Pearson Partial Correlation Coefficients / Prob |R| under Ho: Partial Rho=0 / N = 20 CHINS SITUPS JUMPS WEIGHT -0.36215 -0.45423 -0.22403 0.1276 0.0507 0.3565案例分析10-2：生產(chǎn)效率與工資增加率間的相關(guān)分析某企業(yè)按職工的生產(chǎn)性（效率）決定其工資增加率。為了分析職工的生產(chǎn)性和其工資增加率之間的關(guān)系，從職工中隨機抽出20名作了調(diào)查。其調(diào)查資料如表10-2。 試做職工的生產(chǎn)性(X)和工資增加率(Y)之間的散點圖。 試求兩個變量的樣本相關(guān)系數(shù)，并解釋其意義。 試對相關(guān)系數(shù)的顯著性進行檢驗。(=0.05)（表10-2）工資率增加及生產(chǎn)性生產(chǎn)性工資增加率生產(chǎn)性工資增加率生產(chǎn)性工資增加率474.2595.9545.9718.1676.9766.3646.8565.7535.7354.3675.7404.0435.0575.4475.2607.5697.5232.2384.7383.8SAS PROGRAMDATA ONE;INPUT X Y ;CARDS;47 4.2 71 8.1 64 6.8 35 4.3 43 5.0 60 7.5 38 4.7 59 5.9 67 6.9 56 5.7 67 5.7 57 5.4 69 7.5 38 3.8 54 5.9 76 6.3 53 5.7 40 4.0 47 5.2 23 2.2RUN;PROC PLOT; PLOT Y*X=*; 作以職工的生產(chǎn)性為橫軸，工資增加率為縱軸的散點圖。RUN;PROC CORR NOSIMPLE; VAR X Y; RUN; 計算變量X，Y之間的樣本相關(guān)系數(shù)及其統(tǒng)計量的p-值。利用命令NOSIMPLE不打印描述性統(tǒng)計量 運行結(jié)果及解釋： Y 9 * 8 * * 7 * * * 6 * * * * * * * 5 * * * * 4 * * 3 * 2 20 30 40 50 60 70 80 X由X,Y的散點圖可以看出，隨著生產(chǎn)性(X)的增加，其工資率也增加，并且X,Y之間有明顯的相關(guān)關(guān)系，接近一條直線。但這些樣本點又不都在一條直線上，這表明變量X與Y的關(guān)系并沒有確切到給定X值就可以唯一確定值的程度。事實上，對工資的增加率產(chǎn)生影響的因素很多。如企業(yè)的生產(chǎn)狀況，資金周轉(zhuǎn)情況等。這些對Y的取值都有隨機性影響。每個樣本與直線間的偏差就可以看作是其他隨機因素的影響。Correlation Analysis2 VAR Variables: X YPearson Correlation Coefficients / Prob |R| under Ho: Rho=0 / N = 20X YX 1.00000 0.89017 0.00000 0.0001Y 0.89017 1.00000 0.0001 0.0由上面的相關(guān)分析結(jié)果可知，變量與間的樣本相關(guān)系數(shù)為rxy=0.89017。這說明變量與之間有明顯的相關(guān)關(guān)系。相關(guān)系數(shù)rxy=0.89017，其意義是，職工的生產(chǎn)性（情報）對該職工的工資增加率變化的貢獻率為79.2%(rxy2=0.890170.89017)。相關(guān)系數(shù)檢驗統(tǒng)計量的p值為0.0001，比給定的顯著性水平=0.05小，所以變量X與Y沒有顯著的相關(guān)關(guān)系的原假設(shè)（xy0）被拒絕。案例分析10-3：年薪，年齡，工齡之間的相關(guān)分析。某大企業(yè)為了分析職工的年薪、年齡之間的關(guān)系，從職工中隨機抽出10名職工進行了調(diào)查，其調(diào)查資料如表10-3。（表10-3）年薪和年齡資料職工12345678910年薪（Y）52354528426031383348年齡（X1）52473825445536403250工齡（X2）33211431830815727畫出年薪(Y)，年齡(X1)，工齡(X2)的散點圖，觀察并說明各變量之間的關(guān)系。試求三個變量(Y，X1，X2)的相關(guān)行列，并解釋其意義。試對相關(guān)系數(shù)進行顯著性檢驗。(=0.05)SAS PROGRAMDATA ONE;INPUT Y X1 X2 ;CARDS;52 52 33 35 47 21 45 38 14 28 25 3 42 44 18 60 55 30 31 36 8 38 40 15 33 32 7 48 50 27RUN;PROC PLOT HPERCENT=50; PLOT Y* (X1 X2)=* X1*X2=*; RUN;作散點圖PROC CORR NOSIMPLE; VAR Y X1 X2; RUN;不打印描述性統(tǒng)計量，對命令VAR所指定的三個變量Y X1 X2，計算相關(guān)行列及其p值。PROC CORR NOSIMPLE; VAR X1 X2; WITH Y; RUN; 只計算變量Y與兩個變量X1 ,X2之間的相關(guān)系數(shù)。運行結(jié)果及解釋：由下面的年薪Y(jié)與年齡X1的散點圖(Plot of Y*X1)和年薪Y(jié)與工齡X2的散點圖(Plot of Y*X2)中可知，年薪和年齡、工齡之間有明顯的相關(guān)關(guān)系，接近線性關(guān)系。再由年齡和工齡的散點圖(Plot of X1*X2)中可知，年齡與工齡之間有十分明顯的相關(guān)關(guān)系，接近直線。Plot of Y*X1. Plot of Y*X2. Symbol used is * Symbol used is * Y Y 60 * 60 * 50 * 50 * * * * *40 40 * * * * * *30 * 30 * * * 20 30 40 50 60 0 10 20 30 40 X1 X2Plot of X1*X2. Symbol used is *.X1 *55 * * * 45 * * 35 * * 25 * 0 10 20 30 40 X2Correlation Analysis 3 VAR Variables: Y X1 X2 Pearson Correlation Coefficients / Prob |R| under Ho: Rho=0 / N = 10 Y X1 X2 Y 1.00000 0.85187 0.87897 0.0 0.0018 0.0008 X1 0.85187 1.00000 0.97005 0.0018 0.0 0.0001 X2 0.87897 0.97005 1.00000 0.0008 0.0001 0.0上面計算結(jié)果是三個變量（Y，X1， X2）的相關(guān)行列表。此33相關(guān)行列以對角元素為中心相對稱。這是因為Y與X1的相關(guān)系數(shù)和X1與Y的相關(guān)系數(shù)相等；同理，Y與X2的相關(guān)系數(shù)和X2與Y的相關(guān)系數(shù)相等。年薪和年齡，工齡之間的相關(guān)系數(shù)分別為ryx=0.85187，ryx=0.87897，具有明顯的相關(guān)性。隨著年齡和工齡的增加，其年薪接近直線上升。年齡與工齡的相關(guān)系數(shù)為=0.97005，具有相當(dāng)明顯的相關(guān)關(guān)系，完全接近直線。這說明年齡和工齡兩個變量所具有的情報完全類似。對該企業(yè)來說，年齡對工齡的貢獻率可以看作94%( =0.970050.97005)。相關(guān)系數(shù)驗統(tǒng)計量的p-值分別為0.0018，0.0008，0.0001，都比顯著性水平0.05小，因此變量間沒有顯著的相關(guān)性的原假設(shè)被拒絕。Correlation Analysis1 WITH Variables: Y2 VAR Variables: X1 X2 Pearson Correlation Coefficients / Prob |R| under Ho: Rho=0 / N = 10 X1 X2 Y 0.85187 0.87897 0.0018 0.0008上面的計算結(jié)果是年薪與年齡及工齡的相關(guān)系數(shù)。10.3 偏相關(guān)系數(shù)的計算及檢驗上面討論的是兩個變量之間的相關(guān)問題。但在實際經(jīng)濟生活中，我們所遇到的經(jīng)濟現(xiàn)象變化很多，經(jīng)常是幾個重要因素相互作用的結(jié)果。如果我們所研究的經(jīng)濟變量為個(3)，在這個變量中，只有一個是因變量，其余個(=1)為獨立變量,而且這個獨