第三講 行列式按行按列展開.doc

教 學(xué) 內(nèi) 容 課堂組織單位：理學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)物理系計(jì)算數(shù)學(xué)教研室批準(zhǔn)： 日期： 年 月 日 任課教員：劉 靜班 次上課日期節(jié)次上課時(shí)數(shù)累計(jì)時(shí)數(shù)教學(xué)場(chǎng)所06級(jí)電子信息3班07. 09.21342620#B10206級(jí)合訓(xùn)7、8班07.11.193426236課程名稱：線 性 代 數(shù)章節(jié)名稱：第一章 行列式課 題：第三講 行列式按行按列展開目的、要求：1. 行列式的按行按列展開法則；2. 掌握行列式的計(jì)算方法。難點(diǎn)、重點(diǎn)：行列式按行按列展開法則及其應(yīng)用。器材設(shè)備：多媒體設(shè)備課 前 檢 查序號(hào)題 目學(xué)員姓名成績(jī)1行列式的定義2行列式的6條重要性質(zhì)- 8 -教學(xué)內(nèi)容、方法、步驟教學(xué)內(nèi)容：本講主要介紹：1. 行列式的按行（列）展開法則；2. 掌握行列式的計(jì)算方法。教學(xué)方法與思路：1. 首先介紹余子式和代數(shù)余子式的概念；2. 對(duì)于三階行列式，容易驗(yàn)證：可見一個(gè)三階行列式可以轉(zhuǎn)化成三個(gè)二階行列式的計(jì)算。由此容易想到：一個(gè)n 階行列式是否可以轉(zhuǎn)化為若干個(gè) n1 階行列式來(lái)計(jì)算？3. 給出一個(gè)特殊的n階行列式的計(jì)算方法，從而給出一個(gè)引理； 4. 進(jìn)而介紹行列式的按行（列）展開法則。教學(xué)中運(yùn)用多媒體手段，講解、板書與教學(xué)課件相結(jié)合，以講解為主。教學(xué)步驟：1. 介紹余子式和代數(shù)余子式的概念；2. 引理；3. 行列式的按行（列）展開法則；4. 應(yīng)用舉例。5. 小結(jié)并布置作業(yè)。6 行列式按行按列展開一、行列式的按行按列展開法則以三階行列式為例，容易驗(yàn)證：?jiǎn)栴}：一個(gè)n 階行列式是否可以轉(zhuǎn)化為若干個(gè) n1 階行列式來(lái)計(jì)算？對(duì)于高階行列式也有同樣的結(jié)論。 1余子式：在階行列式中，將元素所在的行與列的元素劃去，其余元素按照原來(lái)的相對(duì)位置構(gòu)成的階行列式，稱為元素的余子式，記作 2代數(shù)余子式：元素的代數(shù)余子式3. 引理： 一個(gè)n階行列式，如果其中第i行所有元素除外都為零，那末這行列式等于與它的代數(shù)余子式的乘積，即這里首先舉一個(gè)實(shí)例說(shuō)明其含義。(見多媒體)給出證明(見多媒體)。 定理3 證明：1）假定行列式D的第一行除外都是 0，即由行列式定義，D 中僅含下面形式的項(xiàng)其中恰是的一般項(xiàng)，所以2）設(shè) D 的第 i 行除了外都是0，即把 D 的第i行依次與第i-1行，第i-2行，第2行，第1行進(jìn)行交換；再將第列與第列，第列，第2列，第1列交換，這樣共經(jīng)過(guò)次交換行與交換列的步驟。由性質(zhì)2，行列式互換兩行（列）行列式變號(hào)，得3）一般情形證畢。定理：行列式的任一行（列）的元素與另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式的乘積之各為零，即。證明：由定理知，行列式等于某一行的元素分別與它們代數(shù)余子式的乘積之和。在中，如果令第 i 行的元素等于另外一行，譬如第 k 行的元素，則右端的行列式含有兩個(gè)相同的行，值為 0 。綜上，得公式二、應(yīng)用舉例例5: 計(jì)算行列式。解：例6 計(jì)算n階行列式解：將按第一行展開，得遞推公式改寫為 而 ，于是有 ，整理得將上述等式兩端分別乘以，然后再相加，得到即得，整理得例7 證明范得蒙行列式證明：用數(shù)學(xué)歸納法證。 (1) 當(dāng)n=2時(shí), (2) 設(shè)n1階范德蒙德行列式成立，往證n階也成立。上式右端的行列式是一階范得蒙行列式，故原式 證畢。例8 計(jì)算Dn=det(aij),其中。解：例9 ，求第一行各元素的代數(shù)余子式之和 解：第一行各元素的代數(shù)余子式之和可以表示成板書標(biāo)題于中央12min一般說(shuō)來(lái)，低階行列式的計(jì)算比高階行列式的計(jì)算要簡(jiǎn)便，行列式的按行（按列）展開則可以實(shí)現(xiàn)將高階行列式轉(zhuǎn)化為低階行列式，這正是研究該問題的主要目的。注：行列式的每個(gè)元素都分別對(duì)應(yīng)著一個(gè)余子式和一個(gè)代數(shù)余子式。25min此定理叫做行列式的按行按列展開定理在計(jì)算數(shù)字行列式時(shí)，直接應(yīng)用行列式展開公式并不一定簡(jiǎn)化計(jì)算，因?yàn)榘岩粋€(gè)n階行列式換成n個(gè)（n1）階行列式的計(jì)算并不減少計(jì)算量，只是在行列式中某一行或某一列含有較多的零時(shí)，應(yīng)用展開定理才有意義。但展開定理在理論上是重要的。把D轉(zhuǎn)化為1)的情形利用行列式按行按列展開定理，并結(jié)合行列式性質(zhì)，可簡(jiǎn)化行列式計(jì)算：計(jì)算行列式時(shí)，可先用行列式的性質(zhì)將某一行（列）化為僅含1個(gè)非零元素，再按此行（列）展開,變?yōu)榈鸵浑A的行列式，如此繼續(xù)下去，直到化為三階或二階行列式。8min課間休息6mi