第5講 正方形.doc

第5講 正方形知識(shí)要點(diǎn)：1 有一組鄰邊相等并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形是正方形.正方形是各邊都相等的矩形，正方形是各角都相等的菱形，正方形既是菱形又是矩形，它具有矩形和菱形的一切性質(zhì).2 矩形、菱形、正方形都是特殊的四邊形，它們的概念交錯(cuò)，關(guān)系復(fù)雜，性質(zhì)有許多相似之處.所以在學(xué)習(xí)中要注重概念的理解，著眼于概念間的區(qū)別與聯(lián)系.3 連正方形的對(duì)角線，能得到特殊三角形、全等三角形，由于正方形常常與直角三角形聯(lián)系在一起，所以在解有關(guān)正方形問(wèn)題時(shí)要用到直角三角形性質(zhì).典型例題：例1 如圖，若將正方形分成k個(gè)全等的矩形，其中上、下各橫排兩個(gè)，中間豎排若干個(gè)，則k的值為（ ）A6 B8 C10 D12答案：B分析：要求k的值，需列出k的方程，因k個(gè)矩形組成正方形，則可由正方形的面積及邊長(zhǎng)列方程組.解：設(shè)矩形的長(zhǎng)、寬分別為x,y.則解得：k=8.例2 證明：兩個(gè)邊長(zhǎng)不等的正方形一定可以拼成一個(gè)大正方形.證明：如圖，四邊形ABCD、BEFG是邊長(zhǎng)分別為a、b（ab）的正方形.在AB上取AP=b，沿DP、PF剪開(kāi)，把處，再把處，則拼成了正方形DPFQ.證明如下：由于.因此是菱形.例3 如圖，正方形ABCD中，DC的中點(diǎn)為E，F(xiàn)為CE的中點(diǎn)，求證：分析：作要證結(jié)論成立，需證而E是CD中點(diǎn)，故需證G為BC的中點(diǎn).證明：作 設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為4a，則 AD=AB，例4 如圖，正方形ABCD中，E、F是AB、BC邊上兩點(diǎn)，且EF=AE+FC，求證：DG=DA分析：利用旋轉(zhuǎn)的思想構(gòu)造AE+FC的線段是解本例的關(guān)鍵， 證明：延長(zhǎng)BC至H點(diǎn)，使CH=AE，連結(jié)DE、DF、DH，由進(jìn)而推證例5 如圖,在正方形ABCD中,E、F分別是BC、CD邊上的點(diǎn),滿足EF=BE+DF. AE、AF分別與對(duì)角線BD交于M、N.(1)求證: (2)求證: 證明：（1）將處，易得C、D、H三點(diǎn)共線. 易證得（SSS）從而易證 （2）作AQ=AM，連結(jié)NQ、DQ 易證（SAS）、，從而QN=MN，BM=DQ 例6 如圖，點(diǎn)A、D在OM上，點(diǎn)A、D在OM上，點(diǎn)B、C在ON上，且AD=BC，點(diǎn)E、F、G、H分別是AB、AC、DC、BD的中點(diǎn).求證：四邊形EFGH是正方形例6 分析：題設(shè)中中點(diǎn)較多，由中位線定理容易證出EFGH的四條邊相等，要證鄰邊互相垂直，可利用平行及已知直角來(lái)證.證明：GH/BC，同理HG=EF.同理GF/OD.四邊形EFGH是平行四邊形.，HG=GF.，四邊形EFGH是正方形.例7 如圖，EFGH是正方形ABCD的內(nèi)接四邊形，都是銳角，已知EG=3，F(xiàn)H=4，四邊形EFGH的面積為5，求正方形ABCD的面積.解：過(guò)E、F、G、H分別作對(duì)邊的垂線，則四邊形PQRT為矩形，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，由勾股定理得則.例8 如圖，E為正方形ABCD的BC邊上的一點(diǎn)，CG平分DCF，連結(jié)AE，并在CG上取一點(diǎn)G，使EG=AE.求證：AEEG.分析：由于CG是角平分線，CA是BCD的平分線，于是我們可以斷定ACG=90，因而只要證明AEG=ACG即可，從圖中可以看出，只要證明1=G就可以得到所求證的結(jié)論.證明：連結(jié)AC，并延長(zhǎng)AC到M，使CM=CG，連結(jié)EM.四邊形ABCD是正方形AC平分BCD ECM=135又CG平分DCF， GCF=45ECG=135，ECG=ECM.而EC=EC，CG=CM. ECMECG.M=G，EM=EG而EA=EG，EA=EM，1=M1=G而2=3 AEG=ACG又ACD=45，DCG=45ACG=90，AEG=90，即AEEC.例9 如圖，正方形ABCD被兩條與邊平行的線段EF、GH分割成四個(gè)小矩形，P是EF與GH的交點(diǎn)，若矩形PECH的面積恰是矩形AGPE面積的2倍.試確定的大小并證明你的結(jié)論.分析：因?yàn)榕c正方形有關(guān)的角有,要證這一結(jié)論,可將旋轉(zhuǎn)至的位置,則,若能證,則結(jié)論成立.證明：連結(jié)FH，延長(zhǎng)CB到M，使BM=DH，連結(jié)AM.則，AM=AH.設(shè)則由（1）得，把（2）代入，得.則FM=FH.又，又例10 如圖，正方形ABCD和正方形CGEF（CGBC），連結(jié)AE，取線段AE的中點(diǎn)M.求證：FM證明：過(guò)E作EH/AD，交DM的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，交DC的延長(zhǎng)線于H，連結(jié)FN、DF.易證從而得DM=NM，AD=EN，再證從而DF=FN，可得，從而可得為等腰直角三角形，故課后訓(xùn)練：1P是線段AB上的一點(diǎn)，AB=1，以AP和BP為邊分別作兩個(gè)正方形，當(dāng)這個(gè)正方形面積的差的絕對(duì)值為時(shí)，AP的長(zhǎng)是（ ）（A） （B） （C） （D）1解：A2如圖，“L形”紙片由六個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形組成，過(guò)A點(diǎn)切一刀，刀痕是線段EF，若陰影部分面積是紙片面積的一半，試求EF的長(zhǎng).1 解：過(guò)E作EN/KA交AR于N，過(guò)F作，易知四邊形PQMF、ENRS均為矩形.由于的面積為3，于是又，由故 所以，3如圖，EF為正方形ABCD的對(duì)折線，將A沿著DK折疊，使它的頂點(diǎn)A落在EF上的G點(diǎn)，則DKG的度數(shù)是_.3解： 4正方形ABCD中，E是AD的中點(diǎn)，BD與CE相交于F，求證：4證明：易證得ABEDCE，ADFCDF，從而 又5如圖，E是邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD的對(duì)角線BD上一點(diǎn)，且BE=BC，P為CE上任意一點(diǎn)，PQ+PR的值為（ ）A B C D5解：A.提示：過(guò)E作BC邊上的高EF，運(yùn)用等腰三角形中PR+PQ=EF.6如圖，已知正方形ABCD的面積為256，點(diǎn)F在AD上，點(diǎn)E在AB的延長(zhǎng)線上，的面積為200，則BE的值是（ ）A15 B12 C11 D106解：B提示：DFCBEC，CF=CE，CEF為等腰直角三角形.7如圖，正方形ABCD中，AB=，點(diǎn)E、F分別在BC、CD上，且求AEF的面積.7解：延長(zhǎng)CB至G，使BG=DF，連結(jié)AG，則ABGADF，AG=AF，GEAFAE，EF=EG，在在（）.故8如圖，在正方形ABCD內(nèi)任取一點(diǎn)E，連結(jié)AE、BE，在ABE外分別以AE、BE為邊作正方形AEMN和正方形EBFG，連結(jié)NC、AF.求證：NC=AF. 8分析：連結(jié)DN，要證NC=AF，考慮證CDNABF.證明：連結(jié)ND、CF.又CF=AE. 同理，DN=BE， DN=BF，CN=AF.9如圖，E、