解三角形(總結+題+解析).doc

266班6組 解三角形1 正弦定理：=2R，其中R是三角形外接圓半徑.正弦定理的如下變形常在解題中用到1.(1) a=2RsinA (2) b=2RsinB (3) c=2RsinC2.(1) sinA=a/2R (2) sinB=b/2R (3) sinC=c/2R3.a：b：c=sinA：sinB:sinC適用類型（1） AAS（2） SSA二余弦定理：1. a2 = b2 + c2 - 2bccosA 2. b2 = a2 + c2 - 2accosB 3. c2 = a2 + b2 - 2abcosC 余弦定理的如下變形常在解題中用到1. cosC = (a2 + b2 - c2) / (2ab) 2. cosB = (a2 + c2 - b2) / (2ac) 3. cosA = (c2 + b2 - a2) / (2bc）適用類型1. SSA2. SAS3. SSS3 余弦定理和正弦定理的面積公式SABC=absinC=bcsinA=acsinB（常用類型：已知三角形兩邊及其夾角）判斷解的個數(shù)判斷三角形的形狀有兩種途徑：（1） 將已知的條件統(tǒng)一化成邊的關系，用代數(shù)求和法求解（2） 將已知的條件統(tǒng)一化成角的關系，用三角函數(shù)法求解 三解三角形的實際應用測量中相關的名稱術語仰角：視線在水平線以上時，在視線所在的垂直平面內，視線與水平線所成的角叫做仰角。俯角： 視線在水平線以下時，在視線所在的垂直平面內，視線與水平線所成的角叫俯角方向角：從指定方向線到目標方向的水平角測距離的應用測高的應用(一)已知兩角及一邊解三角形例1已知在ABC中，c10，A45，C30，求a、b和B.B=180-30-45=105a=10sin45/sin30=102sin105=sin(60+45)=2/2(3/2+1/2)=(6+2)/41/sin105=6-2b=10sin45/sin105=52(6-2)=10(3-1)（二）已知兩邊和其中一邊對角解三角形例2在ABC中，已知角A，B，C所對的邊分別為a，b，C，若a=23，b=6，A=45，求邊長C由余弦定理，得b+c-2bccosA-a=06+c-23c-12=0c-23c-6=0根據(jù)求根公式，得c=33又c0所以c=3+3（三）已知兩邊及夾角，解三角形例3ABC中，已知b3，c3，B30，求角A，角C和邊a.解：由余弦定理得a2-9a+18=0，得a=3或6當a=3時，A=30，C=120當a=6時，由正弦定理A=90C=60。例四：在ABC中，若B=30, AB=2, AC=2, 則ABC的面積是解：由，C=60或120，當C=60時，A=90，SABC=；當C=120時，A=30，SABC=ABACsinA。例五.判斷三角形的形狀（1） 正弦定理判斷在ABC中，若a2tanBb2tanA，試判斷ABC的形狀解：sin2A*sinB/cosB=sin2B*sinA/cosA.sinA0,cosB0,等式兩邊同約去sinA*sinB公因式。sinA/cosB=sinB/cosA.sinAcosA=sinBcosB.sinAcosA=(1/2)*(2sinAcosA)=(1/2)sin2A.【2sinAcosA=sin2A(公式)】同理，sinBsinB=(1/2)*2sinBcosB=(1/2)sin2B.（1/2)sin2A=(1/2)sin2B. 【兩邊約去（1/2)】后得：sin2A=sin2B.2A=2B.（1）；sin2A=sin(180-2B) (2) 【同名三角函數(shù)值相等，其角度相等，或互補】由（1)式得： A=B.ABC為等腰三角形；由(2)式得：2A=180-2B,2A+2B=180,A+B=90.ABC為直角三角形。（2）余弦定理判斷在ABC中，若b2sin2Cc2sin2B2bccosBcosC，試判斷三角形的形狀由正弦定理得sin2C/c2=sin2B/b2得b2sin2C=c2sin2Bsin2Bsin2C=sinBsinCcosBcosC sinBsinC0, sinBsinC=cosBcosC,即 cos(B + C)=0, B + C=90, A=90,故ABC是直角三角形.例六 判斷解得個數(shù)不解三角形，判斷下列三角形的解的個數(shù)：（1）a=5,b=4,A=120度有一解（2）a=7,b=14,A=150度無解（3）a=9,b=10,A=60度有兩解（4）c=50,b=72,C=135度無解例七在某海濱城市附近海面有一臺風，據(jù)監(jiān)測，當前臺風中心位于城市O（如圖）的東偏南方向300 km的海面P處，并以20 km/h的速度向西偏北45方向移動.臺風侵襲的范圍為圓形區(qū)域，當前半徑為60 km，并以10 km/h的速度不斷增大.問幾小時后該城市開始受到臺風的侵襲？若在時刻t城市O受到臺風的侵襲,則OQ10t+60.由余弦定理知OQ2=PQ2+PO2-2PQPO cosOPQ.由于PO=300,PQ=20t,cosOPQ=cos(-45)=coscos45+sinsin45=.=202t2-9600t+3002.202t2-9600t+3002(10t+60)2.即t2-36t+2880,解得12t24.故12小時后該城市開始受到臺風的侵襲.例八。某巡邏艇在A處發(fā)現(xiàn)北偏東45相距9海里的C處有一艘走私船，正沿南偏東75的方向以10海里/小時的速度向我海岸行駛，巡邏艇立即以14海里/小時的速度沿著直線方向追去，問巡邏艇應該沿什么方向去追？需要多少時間才追趕上該走私船？例九。如圖，要測量河對岸A、B兩點間的距離，今沿河岸選取相距40米的C、D兩點，測得ACB=60，BCD=45，ADB=60，ADC=30，則AB的距離是（ D ）A.20 B.20 C.40 D.20例十如圖，ABC中，AB=AC=2，BC=，點