成賢教材-高數(shù)B下§7.1 空間直角坐標系及向量運算的坐標表示.doc

第7章 向量代數(shù)與空間解析幾何7.1 空間直角坐標系及向量運算的坐標表示711空間直角坐標系（一）空間直角坐標系1.空間直角坐標系的建立（1）點坐標原點；（2）三條互相垂直的數(shù)軸、坐標軸；（3）面、面、面坐標平面。2空間點的坐標 （1）。 （2）：； ； 。3特殊點的坐標（1）原點O（0，0，0）；（2）坐標軸上的點；（3）坐標平面上的點。 4卦限（1）卦限的概念（2）各卦限中點的坐標的符號 卦限坐標一二三 四五六七八+-+-+-+-+- 5與點分別關(guān)于各坐標平面、各坐標軸及原點對稱的點的坐標。解：（1）； （4）； （7）。6空間兩點間的距離（1）設(shè)，為空間兩點，則 。（2）點到原點的距離。例1求點到原點及各坐標軸的距離。解：，的垂線，垂足分別為，則它們的坐標分別為，。則所求距離分別為 ， ， 。7坐標軸的平移 設(shè)有兩個坐標系，且這兩個坐標系的各軸對應(yīng)平行且指向相同。設(shè)點的舊坐標為，新坐標為，新坐標系的原點在舊坐標系中的坐標為，則 或。7.2向量及其坐標表示7.2.1向量的概念向量：既有方向又有大小的量稱為向量。如力、位移、速度、加速度等。AB常用有向線段來表示向量。 以A為起點，B為終點的有向線段所表示的向量，記作或。向量的模：向量的大小，。單位向量：模等于1的向量。與非零單位向量稱為，。零向量：模等于零的向量。，其方向不定。負向量：模為相反的向量，。若方向相同或相反，平行或共線，。顯然零向量都平行。 不論起點是否一致，若方向相同，模相等，則稱相等，記作。即經(jīng)平行移動后，兩向量完全重合。允許平行移動的向量稱為自由向量，本書討論的向量均為自由向量。 7.2.2向量的線性運算1）向量的加法與減法+以兩個的平行四邊形的對角線所表示的向量，稱為兩向量的和向量，。-若以向量起點，則由的向的和向量。此法則可以推廣到任意有限個向量相加的情形。減法是加法的逆運算，若，則稱的差，或，分別記為或。 將的起點重合，由。+ 向量加法滿足下列運算率（1）（交換律）；（2）（結(jié)合律）；（3）；（4）；（5）。2）向量與數(shù)的乘法（數(shù)乘） ，的乘積（簡稱數(shù)乘）仍是一個向量，記作，且（1）； （2）的方向 當(dāng)或時，規(guī)定。數(shù)乘向量滿足下列運算率（1）；（2）；（3）；其中都是數(shù)量。（4）， 從而. 3定理：，則的充分必要條件是：存在，。例1試用向量證明：三角形兩邊中點的連線平行于第三邊且為第三邊長度的一半。解：如圖，設(shè)D是AB的中點，E是AC的中點，則， ， 且。7.2.3向量在軸上的投影1）兩個向量的夾角OAB，作，規(guī)定不超過（設(shè)）稱為的夾角，記為，即。 若中有一個是零向量，則規(guī)定它們的夾角可在任意取值。 類似地可以規(guī)定向量與一軸的夾角或空間兩軸的夾角。2）向量在軸上的投影設(shè)有向量，過，分別作垂直，它們與軸分別交于，則有向線段，稱為投影，記為，即，稱為投影軸。 注意：向量是一個數(shù)量而不是向量。這個數(shù)絕對值等于有向線段長度，這個數(shù)的符號由的 方向決定，當(dāng)，其值為正；反向時，其值為負。 向量在軸上的投影，等于該向量的模乘以這個向量與軸的夾角的余弦，即 。易見，。由此可知，兩個相等向量在同一軸上的投影相等。7.2.4 向量的坐標表示 1向量的坐標（1） 基向量（或基本坐標向量） 與、的正向同向的單位向量，分別，稱為基向量。（2） 向量的坐標表示式 設(shè)為空間一點，作向量，分別為點上，上，上的投影點，則在上的坐標，在上的坐標，ABCQMy在上的坐標，則有 ，同理，。 由向量的加法得 。 稱為向量坐標表示式，記作或，其中稱為向量。 一般地，設(shè)，使其起點移到，因平移后的向量與原向量相等，故它在坐標軸上的投影，故坐標表示式為： 。ABy（3）以為起點，為終點的向量的坐標表示式。 解： +）-+） +， 得的坐標依次為 ；，即 。 由此可知，起點不在坐標原點的向量的坐標，恰好等于向量相應(yīng)的終點坐標與起點坐標之差。2向量的模和方向余弦 設(shè)非零向量的起點為坐標原點，終點為，則，。 的方向可由該向量與三坐標軸正向的夾角（其中，或這三個角的余弦來表示。、稱為向量方向角； 、稱為向量方向余弦。MBAC ，都是直角三角形， ， ， ， 且 。 向量的模等于1， 由方向余弦所組成的向量是單位向量，即。例2已知、，的方向余弦以及與。 解：， ， ， 。.例3設(shè)兩個方向余弦為，又，。 解： ， 。 ， ， ， 或 。例4設(shè)有兩點和，有向線段分成兩個部分，使，求的坐標。解：設(shè)的坐標為，則有， 即， 故有，解之得的坐標：，。當(dāng)時，得的坐標：，。3. 向量運算的坐標表示 利用向量的坐標表示式、向量加法的交換律和結(jié)合律，以及數(shù)乘向量的結(jié)合律和分配律，可以將向量的運算轉(zhuǎn)化為普通的代數(shù)運算。設(shè) ，即 ，則（1）， （2）.兩個非零向量的充要條件是，則可寫成 或。 例5已知，求，。 解：； ； 。 7.3 向量的數(shù)量積、向量積、混合積7.3.1 向量的數(shù)量積AB1數(shù)量積的概念 作用下沿某直線移動，。其中。定義3 兩向量夾角余弦的乘積，稱為，即 。數(shù)量積也叫點積或內(nèi)積。 由數(shù)量積的定義，上述作功問題可表示為。 ， .2數(shù)量積的性質(zhì)（1）；（，即.）（2）設(shè)是兩個非零向量，則 ；（3）設(shè)是兩個非零向量，則 。（1）交換律：；（2）結(jié)合律：；（3） 分配律：。例1試用向量證明余弦定理。證：如圖，作，則有。 .例2已知兩兩垂直，且，求的長度，及其的夾角。解：， ，。 ，。 3數(shù)量積的坐標表示 若， 則 ，兩向量的數(shù)量積等于它們對應(yīng)坐標乘積之和。4兩非零向量夾角余弦的坐標表示式 設(shè)，均為非零向量，則 。例3已知，求、。 解：， ； ； 。例4求在平面上與向量垂直的單位向量。解：，設(shè)所求的單位向量為，則有，=0， ，或。7.3.2 向量的向量積1。向量積的概念OPM 設(shè)，。由力學(xué)可知，力的大小與力臂的乘積，即，而所決定的平面，按右手法則從握拳時，大拇指的指向就是。定義 設(shè)由向量： 所決定的平面，其方向按右手法則確定； ，則稱向量的向量積，記為。向量積也稱為叉積或外積。 向量積的模的幾何意義：等于以、為鄰邊的平行四邊形的面積。上述力對支點O的力矩，可表示為。（1），；（2）；（3）若，則 。2向量積的運算性質(zhì)（1） （反交換律）；（2）（分配律）；（3）=（與數(shù)乘向量的結(jié)合律）。例5如圖，設(shè)平行四邊形的對角線，其中， ，求平行四邊形的。解：設(shè)平行四邊形的兩相鄰邊分別為，則，。 從而， ， 。3向量積的坐標表示 設(shè)，則 ， 即。 若、為兩非零向量，則 （其中都不為零。） 當(dāng)中出現(xiàn)零時，仍用式表示，但約定相應(yīng)的分子為零，例如 ，應(yīng)理解為=0，。例6求以，為頂點的三角形的面積。 解：由向量積的定義可知的面積 ， ， =，。問：如何求？例7求同時垂直于向量的單位向量。 解：取，。 =， 與平行的單位向量有兩個：，。 7.3.3 向量的混合積1混合積的定義 稱為向量的混合積，常記為，即。 2混合積的幾何意義 在幾何上表示以為邊的， ，其中。 設(shè)以為棱的平行六面體的體積為，其底面積為，高為，當(dāng)為右手系時，為銳角，所以；當(dāng)為左手系時，為鈍角，所以。綜上討論可知 。故混合積的幾何意義是：其絕對值表示以為棱的平行六面體的體積，其符號由成右手系還是成左手系而定。3混合積的性質(zhì)（1）三向量共面；三向量不共面。（2）， 或?；旌戏e輪換因子的順序，其值不變，對換兩因子的位置，只改變一個符號。例8已知，證明：共面。分析：要證共面，只要證即可。已知，無混合積，可設(shè)法“造”