十九世紀幾何學統(tǒng)一的途徑.doc

長治學院學士學位論文摘 要非歐幾何的出現(xiàn)打破了長期以來只有一種幾何學即歐幾里得幾何學的局面。十九世紀中葉以后，通過否定歐氏幾何中這樣或那樣的公理、公設(shè)，產(chǎn)生了各種新的幾何學，加上與非歐幾何并行發(fā)展的射影幾何、微分幾何以及較晚出現(xiàn)的拓撲學等，這個時期的幾何學出現(xiàn)了百花齊放的局面。由此，用統(tǒng)一的觀點解釋它們便成為數(shù)學家們的重要任務(wù)?？巳R因以變換群的思想統(tǒng)一幾何學，但該思想?yún)s未能包括所有的幾何學領(lǐng)域。希爾伯特提出了另一條對現(xiàn)代數(shù)學影響深遠的統(tǒng)一幾何學的途徑公理化方法，這種方法已經(jīng)遠遠超出幾何學的范圍而和集合論思想成為現(xiàn)代數(shù)學統(tǒng)一化趨勢的兩大推手。關(guān)鍵詞：幾何學的統(tǒng)一；非歐幾何；公理化方法I長治學院學士學位論文The Way of Unifying Geometry in the 19th Century Abstract The non-Euclid geometry appearance has broken the situation of the only kind of geometry that is Euclidean geometry for a long time. After the middle of the nineteenth century, by denying all justice and axiom of Euclidean geometry, all sorts of new geometry, projective geometry, differential geometry which is parallel with non-Euclid geometry and topology which emerged later emerged, in this period geometry possessed infinite and wide development prospects. Thus, using unified view to explain their will become an important task of mathematicians. Klein unified geometry by the thought of the transformation group, but the thought failed to include all of the geometry. Hilbert put forward another way to unify geometry which influenced modern mathematics profoundly. The method that is axiomatic method has gone far beyond the scope of the geometry. Axiomatic method and set theory thought became two big push unified trend of modern mathematics.Key word: The unity of the geometry; Non-Euclid geometry; Axiomatic metI十九世紀幾何學統(tǒng)一兩種途徑張俊青18世紀數(shù)學發(fā)展的主流是微積分學的擴展，它與力學和天文學等應(yīng)用問題緊密交織在一起，開創(chuàng)了許多數(shù)學研究新領(lǐng)域，成為由近代數(shù)學向現(xiàn)代數(shù)學過渡的重要階段。但這個時期的數(shù)學家將數(shù)學與天文和力學等同起來的反映論數(shù)學觀也使數(shù)學漸漸走入了死胡同，數(shù)學內(nèi)部積累的邏輯和現(xiàn)實的矛盾逐漸醞釀新的變革，并于19世紀初導致了數(shù)學研究的井噴式發(fā)展，幾何、代數(shù)、分析各分支出現(xiàn)如雨后春筍般的竟相發(fā)展。這一時期的幾何學經(jīng)歷了由歐氏到非歐、由綜合到解析、由平直到彎曲、由具體到抽象的革命性進展，在非歐幾何、射影幾何、微分幾何、拓撲學等領(lǐng)域做出開創(chuàng)性的成績。這些進展使數(shù)學沖破了反映論、真理符合論的束縛，剝離了其同客觀現(xiàn)實的關(guān)系，進而使其走下“真理的神壇”，逐漸轉(zhuǎn)向抽象、可能的形式推理和計算的途徑，表現(xiàn)出數(shù)學中的語言學轉(zhuǎn)向。1不僅如此，除了各種非歐幾何外，數(shù)學家們還開創(chuàng)了諸如非阿基米德幾何、非勒讓德幾何、非黎曼幾何等新的研究方向和分支，將二維、三維幾何學推廣到n維、無限維幾何學，空間元素也不再局限為點，而可以是線、圓、曲面等。然而，幾何學這種研究對象的擴展、研究手段的多樣性以及層出不窮的研究成果也使其變得支離破碎，被分割成為許多幾乎互不相干的分科，其中每一個分科幾乎都是獨立地發(fā)展著。 2在這樣的形勢下，尋找不同幾何學分支之間的內(nèi)在聯(lián)系，用統(tǒng)一的思想和觀點來統(tǒng)攝它們，便成為數(shù)學家迫切要解決的問題。一、愛爾蘭根綱領(lǐng)變換群的觀點統(tǒng)一幾何學的第一個大膽計劃是由德國數(shù)學家克萊因提出的。18651871年間，在普呂克、凱萊等數(shù)學家的工作的影響下，克萊茵首先借用凱萊絕對形的概念，將幾種非歐幾何統(tǒng)一在射影幾何下，溝通了非歐幾何與射影幾何的聯(lián)系，使得在射影幾何的框架內(nèi)也能研究非歐幾何。他把凱萊的絕對形二次曲面的性質(zhì)具體化，當充當絕對形二次曲面是實橢球面，或?qū)崣E圓拋物面，或?qū)嶋p葉雙曲面時，便得到羅巴切夫斯基非歐幾何；而當絕對形二次曲面是虛的時，便得到狹義黎曼非歐幾何（正的常曲率）；如果絕對形是球面虛圓，便得到通常的歐幾里得幾何。于是歐幾里得幾何、羅巴切夫斯基非歐幾何和狹義黎曼非歐幾何等幾種度量幾何都被統(tǒng)一于射影幾何而成為其特例。在此背景下克萊因還把上述幾何學予以重新命名，他把羅巴切夫斯基幾何叫做雙曲幾何，正的常曲率曲面上的黎曼幾何叫做橢圓幾何，而把歐幾里得幾何稱為拋物幾何，克萊因?qū)?種幾何學的重新命名體現(xiàn)了他追求幾何理論統(tǒng)一性的思想。進一步，以他和數(shù)學家S李關(guān)于群論的工作為基礎(chǔ)，1872年克萊因在受聘為愛爾蘭根大學教授的就職演說中提出了將群論應(yīng)用于幾何學，對幾何學進行重新定義，并在此基礎(chǔ)上整理分類的思想，開辟了研究幾何學的新途徑和方法，這就是后來所稱的愛爾蘭根綱領(lǐng)。克萊因首先對變換群的概念做了較為明確的描述，即從集合S到它自身的所有變換的集合T如果對其上元素的乘積封閉，且包含任意變換的逆變換，則構(gòu)成一個乘法運算下的群，簡稱為變換群。在此概念基礎(chǔ)上，他對幾何學的定義是：幾何學是當集合S中的元素在某變換群T中所包含的變換作用下保持不變的性質(zhì)或不變量的研究，相應(yīng)的幾何學可記為G(S,T)。3正是這個演講中，克萊因基于自己早些時候的工作以及挪威數(shù)學家李在群論方面的工作，闡述了幾何學統(tǒng)一的思想：所謂幾何學，就是研究幾何圖形對于某類變換群保持不變的性質(zhì)的學問，或者說任何一種幾何學只是研究與特定的變換群有關(guān)的不變量。這樣一來，不僅19世紀涌現(xiàn)的幾種重要的、表面上互不相干的幾何學被聯(lián)系到一起，而且變換群的任何一種分類也對應(yīng)于幾何學的一種分類。6歐幾里得幾何研究的是長度、角度、面積等這些在平面中的平移和旋轉(zhuǎn)下保持不變的性質(zhì)。平面中的平移和旋轉(zhuǎn)（也稱剛性運動）構(gòu)成一個變換群，可以用代數(shù)式表示為：其中這些式子構(gòu)成了一個群的元素，而將這種元素結(jié)合在一起的“運算”就是依次進行這種類型的變換。容易看出，如果在進行上述變換后緊接著進行第二個變換：其中那么相繼進行這兩個變換的結(jié)果，就等價于某個單一的這一類型的變換將點（x, y）變成點（）。 如果在上述變換中，將限制用更一般的要求來代替，那么這種新變換也構(gòu)成一個群。然而，在這樣的變換下，長度和面積不再保持不變，不過一個已知種類的圓錐曲線（橢圓，拋物線或雙曲線）經(jīng)過變換后仍是同一種類的圓錐曲線。這樣的變換稱為仿射變換，它們所刻畫的幾何稱為仿射幾何。因此，按照克萊因的觀點，歐幾里得幾何只是仿射幾何的一個特例。仿射幾何則是更一般的幾何射影幾何的一個特例。一個射影變換可以寫成如下形式：其中的行列式必須不為零。射影變換下的不變量有線性、共線性、交比、調(diào)和點組以及保持圓錐曲線不變等。顯然，如果并且，射影變換就成了仿射變換。以射影幾何為基礎(chǔ)的克萊因幾何學分類中，一些主要幾何間的關(guān)系為：射影幾何分為仿射幾何、單重橢圓幾何、雙重橢圓幾何（黎曼幾何）、雙曲幾何（羅巴切夫斯基幾何）；仿射幾何又分為拋物幾何（歐幾里得幾何）、其他仿射幾何。在克萊因的分類中，還包括了當時的代數(shù)幾何和拓撲學，克萊因?qū)ν負鋵W的定義是“研究由無限小變形組成的變換的不變性”。這里“無限小變形”就是一一對應(yīng)的雙方連續(xù)變換。拓撲學在20世紀才獲得獨立的發(fā)展并成為現(xiàn)代數(shù)學的核心學科之一，克萊因在1872年就提出把拓撲學作為一門重要的幾何學科。確實是有遠見的看法。艾爾朗根綱領(lǐng)的提出，正意味著對幾何認識的深化。它把所有幾何化為統(tǒng)一的形式，使人們明確了古典幾何所研究的對象，同時顯示出如何建立抽象空間所對應(yīng)幾何的方法。并非所有的幾何都能納入克萊因的方案，例如今天的代數(shù)幾何和微分幾何，然而克萊因的綱領(lǐng)的確能給大部分的幾何提供一個系統(tǒng)的分類方法，對幾何思想的發(fā)展產(chǎn)生了持久的影響。二、幾何基礎(chǔ)公理化方法克萊因發(fā)表愛爾朗根綱領(lǐng)時年僅23歲。1886年，他受聘到哥廷根大學擔任教授。他的到來，使哥廷根這座具有高斯、黎曼傳統(tǒng)的德國大學更富科學魅力，在被引向哥廷根的許多年輕數(shù)學家中，最重要的一位是希爾伯特。正是這位希爾伯特，在來到哥廷根3年以后，提出了另一條對現(xiàn)代數(shù)學影響深遠的統(tǒng)一幾何學的途徑公理化方法。公理化方法始于歐幾里得，然而當19世紀數(shù)學家們重新審視原本中的公理體系時，卻發(fā)現(xiàn)它有許多隱蔽的假設(shè)，模糊的定義及邏輯的缺陷，這就使他們著手重建歐氏幾何以及其他包含同樣弱點的幾何的基礎(chǔ)。這項探索從一開始就是在對幾何學作統(tǒng)一處理的觀點下進行的。在所有這些努力中，希爾伯特在幾何基礎(chǔ)中使用的公理化方法最為成功。希爾伯特在總結(jié)了整個幾何學發(fā)展的基礎(chǔ)上提出了自己的公理系統(tǒng)和組織公理系統(tǒng)的原則。在數(shù)學史上, 希爾伯特的方法被稱為現(xiàn)代公理化方法, 以區(qū)別于歐幾里得的公理化方法。希爾伯特在幾何基礎(chǔ)中列出5組公理，分別是：1）選擇公理；2)順序公理(含4個公理)；3)合同公理(含5個公理)；4)平行公理；5)連續(xù)公理在這樣自然的劃分公理之后，希爾伯特在歷史上第一次明確的提出了選擇和組織公理系統(tǒng)的原則，即：1、相容性。從系統(tǒng)的公理出發(fā)不能推出矛盾，故亦稱“無矛盾性”；2、獨立性。系統(tǒng)的每一條公理都不能是其余公理的邏輯推論；3、完備性。系統(tǒng)中所有的定理都可由該系統(tǒng)的公理推出。在這樣組織起來的公理系統(tǒng)中，通過否定或者替換其中的一條或幾條公理，就可以得到相應(yīng)的某種幾何。例如用羅巴切夫斯基平行公理替代歐幾里得平行公理，而保持其余所有公里不變，就可以得到雙曲幾何；如果在拋棄歐氏平行公理的同時，添加任意兩條直線都有一個公共點或至少有一個公共點的公理，并適當改變另外一些公理，就分別得到單重與雙重橢圓幾何等等。這樣的做法，不僅給出了已有幾門非歐幾何的統(tǒng)一處理，而且還可以引出新的幾何學。最有趣的例子便是“非阿基米德幾何”，即通過忽略連續(xù)公理（亦稱阿基米德公理）而建造的幾何學，這是希爾伯特本人的創(chuàng)造，幾何基礎(chǔ)用整整5章的篇幅來展開這種新的幾何學。希爾伯特所發(fā)展的這種形式公理化方法在20世紀已遠遠超出了幾何學的范圍而成為現(xiàn)代數(shù)學甚至某些物理領(lǐng)域中普遍應(yīng)用的科學方法。在數(shù)學科學領(lǐng)域, 它孕育了抽象代數(shù)、實變函數(shù)論與泛函分析、拓撲學、公理化概率論等20 世紀的純粹數(shù)學核心領(lǐng)域。在物理學領(lǐng)域，它影響了量子力學和相對論的產(chǎn)生與發(fā)展。在經(jīng)濟學中，也引進了公理化，例如一般經(jīng)濟均衡理論的公理化基礎(chǔ)。當然，公理化方法也有其自身的局限。公理化方法屬于演繹思維的范疇。演繹思維是重要的思維方式，但當然不是惟一的方式，它為人類提供了嚴格推理的模式，但也存在局限性。笛卡兒就曾在他的一部生前未正式發(fā)表的著作探求真理的指導原則中深刻地批判了傳統(tǒng)的、主要是希臘的研究方法，他認為古希臘人的演繹推理只能用來證明已經(jīng)知道的事物，卻不能幫助我們發(fā)現(xiàn)未知的事情。7從方法論角度看, 解析幾何顯然不是演繹思維和公理化方法的產(chǎn)物。因此，演繹思維和公理化方法需要與其他科學思維方法相輔相成，相得益彰，科學的進步和發(fā)展是不同思維方法的交響樂。1 結(jié)語克萊因的幾何學群論思想，以簡單明了的方式把相當多的幾何學統(tǒng)一了起來。他給已有的多種幾何學提供了一個系統(tǒng)的分類方法，并提示了許多可供研究的問題。它引導以后的幾何學家的研究工作達50年之久，對幾何學的發(fā)展產(chǎn)生了深刻的影響。德國數(shù)學家希爾伯特于20世紀初發(fā)起了公理化運動，提出以“公理系統(tǒng)”作為統(tǒng)一各門數(shù)學的基礎(chǔ)，更是極大地促進了數(shù)學的發(fā)展。這種影響一直持續(xù)至今，成為數(shù)學家構(gòu)建數(shù)學體系的典范。統(tǒng)一幾何學的思想在20世紀被進一步延伸到整個數(shù)學領(lǐng)域中。20世紀30年代，美國數(shù)學家伯克霍夫提出用“格”來統(tǒng)一代數(shù)系統(tǒng)的理論；其后，法國的布爾巴基學派繼承公理化運動，提出“數(shù)學結(jié)構(gòu)”的思想，把數(shù)學的核心部分統(tǒng)一在結(jié)構(gòu)概念之下，使之成為一個有機整體。這些都是統(tǒng)一性思想和方法在數(shù)學領(lǐng)域獲得的成功。當然，數(shù)學正像那棵枝繁葉茂的大樹，如果硬是要刨根問底尋求原來的種子，那將永遠也找不到了，也許會在結(jié)出的碩果中找到新的根基。8我個人認為，幾何學或是數(shù)學最終不能達到絕對的統(tǒng)一，因為隨著時代的進步，隨著數(shù)學家們對數(shù)學問題的不斷提出和探索，數(shù)學問題會不斷增多，即使現(xiàn)在可以找到一個統(tǒng)一點，之后也會被新問題所否定。所以，我們只能說某個時間段數(shù)學是統(tǒng)一的，但永遠不能達到最終統(tǒng)一。參考文獻1張俊青.數(shù)學的裂變基于后現(xiàn)代的視閾.哈爾濱工業(yè)大學學報(社會科學版),2010（2）.2李文林.數(shù)學史教程M