（挑戰(zhàn)）中考數(shù)學(xué)壓軸題精講特訓(xùn) 因動點產(chǎn)生的相似三角形問題（含試題含詳解）.doc

第一部分 函數(shù)圖象中點的存在性問題 因動點產(chǎn)生的相似三角形問題 例1 2013年上海市中考第24題如圖1，在平面直角坐標系xoy中，頂點為m的拋物線yax2bx（a0）經(jīng)過點a和x軸正半軸上的點b，aobo2，aob120（1）求這條拋物線的表達式；（2）連結(jié)om，求aom的大小；（3）如果點c在x軸上，且abc與aom相似，求點c的坐標圖1 動感體驗請打開幾何畫板文件名“13上海24”，拖動點c在x軸上運動，可以體驗到，點c在點b的右側(cè)，有兩種情況，abc與aom相似請打開超級畫板文件名“13上海24”，拖動點c在x軸上運動，可以體驗到，點c在點b的右側(cè)，有兩種情況，abc與aom相似點擊按鈕的左部和中部，可到達相似的準確位置。思路點撥1第（2）題把求aom的大小，轉(zhuǎn)化為求bom的大小2因為bomabo30，因此點c在點b的右側(cè)時，恰好有abcaom3根據(jù)夾角相等對應(yīng)邊成比例，分兩種情況討論abc與aom相似滿分解答（1）如圖2，過點a作ahy軸，垂足為h在rtaoh中，ao2，aoh30，所以ah1，oh所以a因為拋物線與x軸交于o、b(2,0)兩點，設(shè)yax(x2)，代入點a，可得 圖2所以拋物線的表達式為（2）由，得拋物線的頂點m的坐標為所以所以bom30所以aom150（3）由a、b(2,0)、m，得，所以abo30，因此當(dāng)點c在點b右側(cè)時，abcaom150abc與aom相似，存在兩種情況：如圖3，當(dāng)時，此時c(4,0)如圖4，當(dāng)時，此時c(8,0) 圖3 圖4考點伸展在本題情境下，如果abc與bom相似，求點c的坐標如圖5，因為bom是30底角的等腰三角形，abo30，因此abc也是底角為30的等腰三角形，abac，根據(jù)對稱性，點c的坐標為(4,0)圖5例2 2012年蘇州市中考第29題如圖1，已知拋物線（b是實數(shù)且b2）與x軸的正半軸分別交于點a、b（點a位于點b是左側(cè)），與y軸的正半軸交于點c（1）點b的坐標為_，點c的坐標為_（用含b的代數(shù)式表示）；（2）請你探索在第一象限內(nèi)是否存在點p，使得四邊形pcob的面積等于2b，且pbc是以點p為直角頂點的等腰直角三角形？如果存在，求出點p的坐標；如果不存在，請說明理由；（3）請你進一步探索在第一象限內(nèi)是否存在點q，使得qco、qoa和qab中的任意兩個三角形均相似（全等可看作相似的特殊情況）？如果存在，求出點q的坐標；如果不存在，請說明理由圖1動感體驗請打開幾何畫板文件名“12蘇州29”，拖動點b在x軸的正半軸上運動，可以體驗到，點p到兩坐標軸的距離相等，存在四邊形pcob的面積等于2b的時刻雙擊按鈕“第（3）題”，拖動點b，可以體驗到，存在oqab的時刻，也存在oqab的時刻思路點撥1第（2）題中，等腰直角三角形pbc暗示了點p到兩坐標軸的距離相等2聯(lián)結(jié)op，把四邊形pcob重新分割為兩個等高的三角形，底邊可以用含b的式子表示3第（3）題要探究三個三角形兩兩相似，第一直覺這三個三角形是直角三角形，點q最大的可能在經(jīng)過點a與x軸垂直的直線上滿分解答（1）b的坐標為(b, 0)，點c的坐標為(0, )（2）如圖2，過點p作pdx軸，pey軸，垂足分別為d、e，那么pdbpec因此pdpe設(shè)點p的坐標為(x, x)如圖3，聯(lián)結(jié)op所以s四邊形pcobspcospbo2b解得所以點p的坐標為()圖2 圖3（3）由，得a(1, 0)，oa1如圖4，以oa、oc為鄰邊構(gòu)造矩形oaqc，那么oqcqoa當(dāng)，即時，bqaqoa所以解得所以符合題意的點q為()如圖5，以oc為直徑的圓與直線x1交于點q，那么oqc90。因此ocqqoa當(dāng)時，bqaqoa此時oqb90所以c、q、b三點共線因此，即解得此時q(1,4)圖4 圖5考點伸展第（3）題的思路是，a、c、o三點是確定的，b是x軸正半軸上待定的點，而qoa與qoc是互余的，那么我們自然想到三個三角形都是直角三角形的情況這樣，先根據(jù)qoa與qoc相似把點q的位置確定下來，再根據(jù)兩直角邊對應(yīng)成比例確定點b的位置如圖中，圓與直線x1的另一個交點會不會是符合題意的點q呢？如果符合題意的話，那么點b的位置距離點a很近，這與ob4oc矛盾例3 2012年黃岡市中考模擬第25題如圖1，已知拋物線的方程c1： (m0)與x軸交于點b、c，與y軸交于點e，且點b在點c的左側(cè)（1）若拋物線c1過點m(2, 2)，求實數(shù)m的值；（2）在（1）的條件下，求bce的面積；（3）在（1）的條件下，在拋物線的對稱軸上找一點h，使得bheh最小，求出點h的坐標；（4）在第四象限內(nèi)，拋物線c1上是否存在點f，使得以點b、c、f為頂點的三角形與bce相似？若存在，求m的值；若不存在，請說明理由圖1動感體驗請打開幾何畫板文件名“12黃岡25”，拖動點c在x軸正半軸上運動，觀察左圖，可以體驗到，ec與bf保持平行，但是bfc在無限遠處也不等于45觀察右圖，可以體驗到，cbf保持45，存在bfcbce的時刻思路點撥1第（3）題是典型的“牛喝水”問題，當(dāng)h落在線段ec上時，bheh最小2第（4）題的解題策略是：先分兩種情況畫直線bf，作cbfebc45，或者作bf/ec再用含m的式子表示點f的坐標然后根據(jù)夾角相等，兩邊對應(yīng)成比例列關(guān)于m的方程滿分解答（1）將m(2, 2)代入，得解得m4（2）當(dāng)m4時，所以c(4, 0)，e(0, 2)所以sbce（3）如圖2，拋物線的對稱軸是直線x1，當(dāng)h落在線段ec上時，bheh最小設(shè)對稱軸與x軸的交點為p，那么因此解得所以點h的坐標為（4）如圖3，過點b作ec的平行線交拋物線于f，過點f作ffx軸于f由于bcefbc，所以當(dāng)，即時，bcefbc設(shè)點f的坐標為，由，得解得xm2所以f(m2, 0)由，得所以由，得整理，得016此方程無解圖2 圖3 圖4如圖4，作cbf45交拋物線于f，過點f作ffx軸于f，由于ebccbf，所以，即時，bcebfc在rtbff中，由ffbf，得解得x2m所以f所以bf2m2，由，得解得綜合、，符合題意的m為考點伸展第（4）題也可以這樣求bf的長：在求得點f、f的坐標后，根據(jù)兩點間的距離公式求bf的長例4 2010年義烏市中考第24題如圖1，已知梯形oabc，拋物線分別過點o（0，0）、a（2，0）、b（6，3）（1）直接寫出拋物線的對稱軸、解析式及頂點m的坐標；（2）將圖1中梯形oabc的上下底邊所在的直線oa、cb以相同的速度同時向上平移，分別交拋物線于點o1、a1、c1、b1，得到如圖2的梯形o1a1b1c1設(shè)梯形o1a1b1c1的面積為s，a1、 b1的坐標分別為 (x1，y1)、(x2，y2)用含s的代數(shù)式表示x2x1，并求出當(dāng)s=36時點a1的坐標；（3）在圖1中，設(shè)點d的坐標為(1，3)，動點p從點b出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿著線段bc運動，動點q從點d出發(fā)，以與點p相同的速度沿著線段dm運動p、q兩點同時出發(fā)，當(dāng)點q到達點m時，p、q兩點同時停止運動設(shè)p、q兩點的運動時間為t，是否存在某一時刻t，使得直線pq、直線ab、x軸圍成的三角形與直線pq、直線ab、拋物線的對稱軸圍成的三角形相似？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由 圖1 圖2動感體驗請打開幾何畫板文件名“10義烏24”，拖動點i上下運動，觀察圖形和圖象，可以體驗到，x2x1隨s的增大而減小雙擊按鈕“第（3）題”，拖動點q在dm上運動，可以體驗到，如果gafgqe，那么gaf與gqe相似思路點撥1第（2）題用含s的代數(shù)式表示x2x1，我們反其道而行之，用x1，x2表示s再注意平移過程中梯形的高保持不變，即y2y13通過代數(shù)變形就可以了2第（3）題最大的障礙在于畫示意圖，在沒有計算結(jié)果的情況下，無法畫出準確的位置關(guān)系，因此本題的策略是先假設(shè)，再說理計算，后驗證3第（3）題的示意圖，不變的關(guān)系是：直線ab與x軸的夾角不變，直線ab與拋物線的對稱軸的夾角不變變化的直線pq的斜率，因此假設(shè)直線pq與ab的交點g在x軸的下方，或者假設(shè)交點g在x軸的上方滿分解答（1）拋物線的對稱軸為直線，解析式為，頂點為m（1，）（2） 梯形o1a1b1c1的面積，由此得到由于，所以整理，得因此得到當(dāng)s=36時， 解得 此時點a1的坐標為（6，3）（3）設(shè)直線ab與pq交于點g，直線ab與拋物線的對稱軸交于點e，直線pq與x軸交于點f，那么要探求相似的gaf與gqe，有一個公共角g在geq中，geq是直線ab與拋物線對稱軸的夾角，為定值在gaf中，gaf是直線ab與x軸的夾角，也為定值，而且geqgaf因此只存在gqegaf的可能，gqegaf這時gafgqepqd由于，所以解得 圖3 圖4考點伸展第（3）題是否存在點g在x軸上方的情況？如圖4，假如存在，說理過程相同，求得的t的值也是相同的事實上，圖3和圖4都是假設(shè)存在的示意圖，實際的圖形更接近圖3例5 2009年臨沂市中考第26題如圖1，拋物線經(jīng)過點a(4，0)、b（1，0)、c（0，2）三點（1）求此拋物線的解析式；（2）p是拋物線上的一個動點，過p作pmx軸，垂足為m，是否存在點p，使得以a、p、m為頂點的三角形與oac相似？若存在，請求出符合條件的 點p的坐標；若不存在，請說明理由；（3）在直線ac上方的拋物線是有一點d，使得dca的面積最大，求出點d的坐標,圖1動感體驗 請打開幾何畫板文件名“09臨沂26”，拖動點p在拋物線上運動，可以體驗到，pam的形狀在變化，分別雙擊按鈕“p在b左側(cè)”、“ p在x軸上方”和“p在a右側(cè)”，可以顯示pam與oac相似的三個情景雙擊按鈕“第(3)題”， 拖動點d在x軸上方的拋物線上運動，觀察dca的形狀和面積隨d變化的圖象，可以體驗到，e是ac的中點時，dca的面積最大思路點撥1已知拋物線與x軸的兩個交點，用待定系數(shù)法求解析式時，設(shè)交點式比較簡便2數(shù)形結(jié)合，用解析式表示圖象上點的坐標，用點的坐標表示線段的長3按照兩條直角邊對應(yīng)成比例，分兩種情況列方程4把dca可以分割為共底的兩個三角形，高的和等于oa滿分解答 （1）因為拋物線與x軸交于a(4，0)、b（1，0)兩點，設(shè)拋物線的解析式為，代入點c的 坐標（0，2），解得所以拋物線的解析式為（2）設(shè)點p的坐標為如圖2，當(dāng)點p在x軸上方時，1x4，如果，那么解得不合題意如果，那么解得此時點p的坐標為（2，1）如圖3，當(dāng)點p在點a的右側(cè)時，x4，解方程，得此時點p的坐標為解方程，得不合題意如圖4，當(dāng)點p在點b的左側(cè)時，x1，解方程，得此時點p的坐標為解方程，得此時點p與點o重合，不合題意綜上所述，符合條件的 點p的坐標為（2，1）或或 圖2 圖3 圖4（3）如圖5，過點d作x軸的垂線交ac于e直線ac的解析式為設(shè)點d的橫坐標為m，那么點d的坐標為，點e的坐標為所以因此當(dāng)時，dca的面積最大，此時點d的坐標為（2，1） 圖5 圖6考點伸展第（3）題也可以這樣解：如圖6，過d點構(gòu)造矩形oamn，那么dca的面積等于直角梯形camn的面積減去cdn和adm的面積設(shè)點d的橫坐標為（m，n），那么由于，所以例6 2008年蘇州市中考第29題圖1動感體驗請打開幾何畫板文件名“08蘇州29”，拖動表示a的點在y軸上運動，可以體驗到，當(dāng)拋物線經(jīng)過點e1和e3時，直線ne1、ne3和直線ab交于同一個點g，此時pobpgn當(dāng)拋物線經(jīng)過點e2和e4時，直線ne2、ne4和直線ab交于同一個點g，可以體驗到，這個點g在點n右側(cè)較遠處思路點撥1求等腰直角三角形oab斜邊上的高oh，解直角三角形poh求k、b的值2以dn為邊畫正方形及對角線，可以體驗到，正方形的頂點和對角線的交點中，有符合題意的點e，寫出點e的坐標，代入拋物線的解析式就可以求出a3當(dāng)e在x軸上方時，gnp45，pobpgn，把轉(zhuǎn)化為4當(dāng)e在x軸下方時，通過估算得到大于10滿分解答（1），（2）由拋物線的解析式，得點m的坐標為，點n的坐標為因此mn的中點d的坐標為（2，0），dn3因為aob是等腰直角三角形，如果dne與aob相似，那么dne也是等腰直角三角形如圖2，如果dn為直角邊，那么點e的坐標為e1（2，3）