第五章 圓(二).doc

第五章 圓（二）五、圓內接四邊形1、名稱：外接圓，圓內接四邊形。2、性質：對角互補。外角等于內對角。共圓的四個點所連成同側共底的兩個三角形的頂角相等。3、四點共圓的判定：證四點共圓是建立在四邊形的基礎上，是平面幾何中化未知為已知的過程。從被證共圓的四點中先選出三點作一圓，然后證另一點也在這個圓上，若能證明這一點，即可肯定這四點共圓。一組對角互補的四邊形，四頂點共圓。一外角等于內對角的四邊形，四頂點共圓。把被證共圓的四個點連成共底邊的兩個三角形，且兩三角形都在這底邊的同側，若能證明其頂角相等(同弧所對的圓周角相等），從而即可肯定這四點共圓 （若能證明其兩頂角為直角，即可肯定這四個點共圓，且斜邊上兩點連線為該圓直徑。）把被證共圓的四點兩兩連成相交的兩條線段，若能證明它們各自被交點分成的兩線段之積相等，即可肯定這四點共圓（相交弦定理的逆定理）；或把被證共圓的四點兩兩連結并延長相交的兩線段，若能證明自交點至一線段兩個端點所成的兩線段之積等于自交點至另一線段兩端點所成的兩線段之積，即可肯定這四點也共圓（割線定理的逆定理）證被證共圓的點到某一定點的距離都相等，從而確定它們共圓既連成的四邊形三邊中垂線有交點，即可肯定這四點共圓。同斜邊的兩個Rt三角形的四個頂點共圓，其斜邊為圓的直徑。例1 求證：銳角三角形三邊上中點和一邊上高的垂足四點共圓。已知：如圖 在ABC中，D、E、F分別是BC、CA、AB的中點。APBC于P求證：D、P、E、F四點共圓。證明：D、E、F分別是BC、CA、AB的中點 DCEF是平行四邊形 EFD=C又APBC EP=EC EPC=C EPC=EFD D、P、E、F四點共圓。例2 已知在ABC中，ADBC于D，DEAC于E，DFAB于F。求證：F、B、C、E四點共圓證明：DFAB,DEACAFDE共圓ADF=AEF又ADBCADF+BDF=90 又B+BDF=90ADF=B AEFBF、B、C、E四點共圓作業(yè)：求證：鈍角三角形各邊中點和夾鈍角的一邊上的高的垂足四點共圓。對角線互相垂直的四邊形各邊中點四點共圓。M、N是ABC的AB、AC上的中點，MQAB交AC于Q，NPAC交AB于P，求證：P、B、C、Q四點共圓。六、直線和圓的位置關系1、位置關系相離 沒有交點 dr 相切 一個交點 d=r相交 兩個交點dr2、切線判定：有一個交點d=r過半徑外端且垂直于半徑的直線是切線。性質：過圓心垂直于半徑的直線必經過切點。過切點垂直于切線的直線必經過圓心。切線垂直于過切點的半徑。切線長定理：從圓外一點向圓引切線，這兩條切線長相等。推論：從圓外一點向圓引兩條切線，這點和圓心的連線平分這兩條切線所成的角。推論：從圓外一點向圓引兩條切線，這點和圓心的連線垂直平分連接兩切點的弦。從圓外一點向圓引切線的方法：以圓外一點P到圓心O的距離為直徑作圖。(略)在已知線段上作含有已知弓形角的?。裕?、圓冪定理：和圓有關的成比例線段定理。相交弦定理：圓內的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等，即PAPB=PCPD。 切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項,即PT2=PAPB。 割線定理：從圓外一點P引兩條割線與圓分別交于A、B；C、D，則有 PAPB=PCPD。 統(tǒng)一歸納：過任意不在圓上的一點P引兩條直線L1、L2，L1與圓交于A、B（可重合，即切線），L2與圓交于C、D（可重合），則有PAPB=PCPD?？偨Y：過任意不在圓上的一點P引一條直線與圓交于AB兩點，PAPB為定值。以直徑為底邊的圓內接三角形中的射影定理（略）。七、圓和圓的位置關系1、位置關系：相離 沒有交點dR+r外切 一個交點d=R+r相交 兩個交點dR+r內切 一個交點d=R-r內含 沒有交點dR-r定理：兩圓相交，連心線垂直平分共弦。定理：兩圓相切，連心線經過切點。定理：兩圓相切，連心線垂直于過切點的公切線。2、公切線：定理：兩內公切線的長相等。定理：兩外公切線的長相等。定理：連心線經過兩公切線的交點。定理：連心線平分兩公切線所成的角。注意：兩圓相交時，公共弦是一重要的輔助線。兩圓相切時，過切點的公切線是一重要的輔助線。 作業(yè)：如圖，已知EP切O1于P，PAC交O2于C，PBD交O2于D，求證：CDEP提示：作公共弦AB八、正多邊形1、定義：各邊相等、各角也相等的多邊形。2、將圓n等分，則 依次連接各分點所成的圖形是圓內接正多邊形。過各分點作圓的切線得圓外切正多邊形。任何正多邊形都有一個內切圓和一個外接圓。這兩個圓是同心圓，這個圓心叫正多邊形的中心。外接圓的半徑叫正多邊形的半徑，用Rn表示，內切圓的半徑叫正多邊形的邊心距，用rn表示。正多邊形每一條邊所對的圓心角叫正多邊形的中心角，用n表示。3、有關計算：若正多邊形的邊數(shù)、邊長、半徑、邊心距、中心角、周長、面積分別用n、a、R、r、L、S表示。則= a=Rsin R2=r2+()2 r=Rcos L=na S=ar正n邊形的內角和=（n2)180 正n邊形的一個內角=(n-2)180n. 正n邊形外角和等于n180(n2)180=360 所以正n邊形的一個外角為：360n. 所以正n邊形的一個內角也可以用這個公式：180-360n. 4、正多邊形的對角線和對稱軸對角線：在一個正多邊形中，一個點可以與除了與他相鄰的所有點連線，那么這個正多邊形就可以從一個頂點引(n-3)條對角線，也就成了(n-2)個三角形。三角形內角和=180度，所以把邊數(shù)減2乘上180度，就是這個正多邊形的內角和。 對角線數(shù)量的計算公式：n(n-3)2。對稱軸：奇數(shù)邊：連接一個頂點和頂點所對的邊的中點，即為對稱軸；偶數(shù)邊：連接相對的兩個邊的中點，或者連接相對稱的兩個頂點，都是對稱軸。正n邊形邊數(shù)為對稱軸的條數(shù)為n。5、圓的等分：3、6、12；4、8、16；5、10、20在正多邊形中，只有三種能用來鋪滿一個平面而中間沒有空隙，這就是正三角形、正方形、正六邊形。因為正三角形的每一個角等于60度，六個正三角形拼在一起時，在公共頂點上的六個角之和等于360度；正方形的每個角等于90度，所以四個正方形拼在一起時，在公共頂點上四個角的和也剛好等于360度；正六邊形的每個角等于120度，三個正六邊形拼在一起時，在公共頂點上的三個角之和也等于360度，如果用別的正多邊形，就不能達到這個要求。例如正五邊形的每只角等于108度，把三個正五邊形拼在一起，在公共頂點上三個角之和是108度*3=324度，小于360度有空隙。而空隙處又放不下第四個正五邊形，因為108度*4=432度，大于360度。6、黃金分割（中外比）的尺規(guī)作圖。以AB為一條直角邊作RtABC使另一條直角邊BC=AB，以C為圓心，CB為半徑畫弧交CA于D，以A為圓心，AD為半徑畫弧交AB于P。P就是AB的黃金分割點。將圓的半徑黃金分割，長段就是正十邊形的邊長。7、圓周長、弧長、圓面積、扇形面積、弓形面積、圓環(huán)面積C=2r=d l=n S圓=r2S扇=nr2/360 S弓= nr2/360-S S環(huán)=S大圓-S小圓8、點的軌跡：點按照一定條件運動，所遺留下的痕跡。軌跡的條件：連貫、位置、大小、形狀。軌跡命題的結構：前提-是-結論。圓：到定點距離等于定長的點的軌跡是以定點為圓心、定長為半徑的圓。角平分