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談數學史與數學文化11會計學一班 蔡世杰 11101101摘要：數學的思想、精神、文化對于人類歷史文化變革有著重要的影響。我們正是在這一意義下來學習、討論、研究數學文化的。關鍵字：數學方法 數學發(fā)展 三次數學危機 數學美 數學與哲學一、智慧展現數學方法和數學思想數學方法和數學思想將數學的智慧和魅力展現得淋漓盡致。數學的方法是貫穿了整個數學，也是學習數學的基礎。數學的很多方法是有辯證性的，比如具體與抽象；演繹與歸納；發(fā)現與證明；分析與綜合；這些方法之間有聯系又有區(qū)別。（一）、具體與抽象：具體是社會實踐，是客觀存在的東西，因為數學是源于社會實踐的。同時數學是一種利用自身已有的概念、定理、公設，借助已知的相互關系，通過推理、計算而獲得新發(fā)現的學科。數學的概念是抽象的，數學的方法也是抽象的。愛因斯坦相對論的發(fā)現恰恰是借助于數學的方法論路徑去實現的，如果沒有非歐幾何人類可能還要在牛頓的時空觀中走過許多年才能尋找到相對論。數學方法的抽象是借助數學概念、公理、定理、公設等，把所有涉及研究對象的概念以及研究對象的抽象性歸并匯集在一起，找出他們更具體抽象、統一的結論。這種抽象方法，人們一般冠以公理化方法。它大大拓寬了人們的視野，從只抽象個別對象擴展到抽象整個數學理論的邏輯結構?，F在，數學研究的對象已不是具體、特殊的對象，而是抽象的數學結構。（二）、演繹與歸納：演繹法是由一般到特殊的推理，它有三段論的表現形式，由一般的判斷，特殊判斷，結論三部分組成。歸納與演繹不同，歸納是這樣一種推理：其中所得到的結論超越了經驗材料所提供的東西的一種經驗猜想?？雌饋須w納與演繹很有區(qū)別的，事實歸納與演繹是相依而存、互為發(fā)展、對立統一的。恩格斯在自然辯證法中說：“我們用世界上的一切歸納法都永遠不能把歸納過程弄清楚，只有對這個過程的分析才能做到這一點歸納與演繹，正如分析與綜合一樣是必然相互聯系著的，不應當犧牲一個而把另一個捧上天，應當把每一個用到該用的地方，而要做到這一點，就只有注意它們的相互聯系，它們的相互補充?！保ㄈl(fā)現與證明：發(fā)現實際上就是定律的發(fā)現和理論地提出問題，最主要是通過假說，猜想。猜想是提出新思想，一個猜想可以帶出或生出一個新的學科方向。比如，對歐氏第五公設的證明產生了非歐幾何理論，四色猜想對開辟數學研究新途徑有重要意義。在數學史上有很多有名猜想，人們熟悉的費馬猜想，曾是一個懸賞10萬馬克的定理，實際上，它是源于幾千年前的勾股定理。德國數學家曾宣稱：當n大于2時，不存在一個整數n次冪是另外兩個整數n次冪之和。數學家韋爾斯花了34年心血來解這道難題，并獲得沃爾夫獎。許許多多數學猜想是由簡單到復雜無休無止地產生出來。一個猜想解決了，又猜想出來了，數學家們總有解決不完的猜想。許多重要猜想，總能吸引眾多數學家為此皓首窮經。在證明各個猜想的過程中，數學們會取得一系列重要理論成果。（四）、分析與綜合:分析是由未知去推導已知，在假定的前提下導出結論，而這一結論恰恰是已給出的條件或已知的命題。綜合是由已知命題開始，通過演繹、歸納能一連串來導出未有的命題，或解決所要給出的問題的解。善于結合運用這些數學方法可以更好的來解決數學問題和體會數學的內涵。二、成長與磨礪數學的發(fā)展 寫關于數學文化不得不寫數學的發(fā)展。數學是人類最古老的科學知識之一，它主要是研究現實生活中數與數、形與形，以及數與形之間相互關系的一門學科。他們發(fā)展也經歷的很多的坎坷，在磨礪中也得以不斷的成長。 首先是數學的萌芽階段，在這一時代的杰出代表是古巴比倫數學、中國數學、埃及數學、印度數學等。古埃及文化可追溯到公元前4000年，在那里，公元前3200年就已有了統一的國家。公元前2900年，開始建筑金字塔，就金字塔的建筑來講，已經具備一些初等幾何的知識；巴比倫文化可以上溯到公元前2000年左右的蘇美爾文化，這一時期，人們基于對量的認識，經建立了數的概念。從大約公元前1800年開始，巴比倫已經使用較為系統的以60為基數的數系；另一個重要的是古希臘數學，希臘文化在世界文明史上的貢獻是至高無上的。它廣泛的吸取了其他文明中的有價值的東西，創(chuàng)立了自己的文明與文化，對西方文明乃至世界文明的發(fā)展起了重要作用；同時，在中亞和東方也創(chuàng)造了燦爛的數學文化。自公元前8世紀起，印度已有一些豐富的數學知識。中國數學是世界數學史中的瑰寶，在仰韶文化中，已經出土的陶器上已刻有用 |，|，|，|等表示1，2，3，4的記號。西安半坡出土的陶器中就有用圓點堆成的三角形或正多邊形。然后是常數學階段，這時期，數位希臘數學家取得輝煌成就，在2000年時間內，希臘人創(chuàng)造的文明一直延續(xù)到牛頓時代。M.克萊因在評價希臘人的幾何原本和圓錐曲線時說：“從這些精心撰述的著作中，我們看得出此前三百年間數學上的創(chuàng)造性工作，或此后數學史上關系重大的一些問題?！闭f道希臘時代的輝煌，不得不提到希臘璀璨的數學家們。畢達哥拉斯，曾被人們認為是一個神秘主義者，他把證明引入了數學，這也是他最偉大的功績之一。畢達哥拉斯還提出了抽象，抽象引發(fā)了幾何的思辨，從實物的數與形，抽象到數學上的數與形，本身就把數學推向科學的開始。在希臘數學時期還有芝諾的四個簡單悖論，這四個簡單悖論震驚了哲學界。在希臘數學里最主要的工作精華和最大的光榮落在了歐幾里德和阿波羅尼奧斯的頭上。歐幾里德撰寫的幾何原本是古希臘數學的集大成，它充分發(fā)揮了希臘哲學的優(yōu)勢，借助演繹推理，展現給人們一個完整的典范的學科系統。阿波羅尼奧斯的突出工作是圓錐曲線論，圓錐曲線論的杰出工作，幾乎將圓錐曲線的所有性質開采殆盡，以至使后代許多幾何學工作者至少是在笛卡爾之前的近2000年間，不敢對此再有發(fā)言權。后人提到評價圓錐曲線，評價阿波羅尼奧斯，就聯想到我國李白登黃鶴樓時，看到崔顥詩后的“眼前有景道不得，崔顥題詩在上頭”的那樣一種心情。還有阿基米德的得意之作論球與圓柱，也是數學上的杰作。中國著作九章算術給出了三元一次方程組的解法，同時在世界歷史上第一次使用負數，敘述了對負數進行運算的規(guī)則，也給出了求平方根和立方根的方法。 然后就進入了變量數學建立時期，有笛卡爾著作幾何學，以及牛頓和萊布尼茲創(chuàng)立的微積分，在數學發(fā)展史上是很重要的一個里程碑。在大一的時候就學了微積分，微分及其中的變量、函數和極限等概念，運動、變化等思想，是辯證法滲入了全部數學：并使數學成為精確表述自然科學和技術的規(guī)律及有效地解決問題的有力工具。最后是現代數學時期，其中比較突出的問題是高于四次的代數方程的根式求解問題、歐幾里德幾何中平行線公設的證明問題和微積分方法的邏輯基礎問題。代數、幾何、分析領域中這些問題得以研究和解決，數學學科的分支得以迅速發(fā)展。順著時間的發(fā)展將數學史大概說了下，現在說說在數學史上出現的三次數學危機。第一次數學危機：由畢達哥拉斯提出的著名命題“萬物皆數”和“一切數均可表成整數或整數之比”。畢達哥拉斯定理提出后，其學派中的一個成員希帕索斯考慮了一個問題：邊長為1的正方形其對角線長度是多少呢？他發(fā)現這一長度既不能用整數，也不能用分數表示，而只能用一個新數來表示。希帕索斯的發(fā)現導致了數學史上第一個無理數2 的誕生。小小2的出現，卻在當時的數學界掀起了一場巨大風暴。它直接動搖了畢達哥拉斯學派的數學信仰，使畢達哥拉斯學派為之大為恐慌。 第二次數學危機導源于微積分工具的使用。伴隨著人們科學理論與實踐認識的提高，十七世紀幾乎在同一時期，微積分這一銳利無比的數學工具為牛頓、萊布尼茲各自獨立發(fā)現。這一工具一問世，就顯示出它的非凡威力。許許多多疑難問題運用這一工具后變得易如翻掌。但是不管是牛頓，還是萊布尼茲所創(chuàng)立的微積分理論都是不嚴格的。兩人的理論都建立在無窮小分析之上，但他們對作為基本概念的無窮小量的理解與運用卻是混亂的。因而，從微積分誕生時就遭到了一些人的反對與攻擊。 羅素悖論與第三次數學危機：十九世紀下半葉，康托爾創(chuàng)立了著名的集合論， 1903年，英國數學家羅素提出著名的羅素悖論。羅素構造了一個集合S：S由一切不是自身元素的集合所組成。然后羅素問：S是否屬于S呢？根據排中律，一個元素或者屬于某個集合，或者不屬于某個集合。因此，對于一個給定的集合，問是否屬于它自己是有意義的。但對這個看似合理的問題的回答卻會陷入兩難境地。如果S屬于S，根據S的定義，S就不屬于S；反之，如果S不屬于S，同樣根據定義，S就屬于S。無論如何都是矛盾的。羅素悖論一提出就在當時的數學界與邏輯學界內引起了極大震動，引起的巨大反響則導致了第三次數學危機。 三、數學韻味數學的美說到數學美。數學美可以分為形式美和內在美。數學中的公式、定理、圖形等所呈現出來的簡單、整齊以及對稱的美是形式美的體現。數學中有字符美和構圖美還有對稱美，數學中的對稱美反映的是自然界的和諧性，。數學中的簡潔美，數學具有形式簡潔、有序、規(guī)整和高度統一的特點，許多紛繁復雜的現象，可以歸納為簡單的數學公式。數學的內在美有數學的和諧美，數量的和諧，空間的協調是構成數學美的重要因素。數學中的嚴謹美，嚴謹美是數學獨特的內在美，我們通常用“滴水不漏”來形容數學。它表現在數學推理的嚴密，數學定義準確揭示概念的本質屬性，數學結構系統的協調完備等等四、內涵數學與哲學在數學的發(fā)展中，形成許多哲學的觀點，有以羅素為代表的邏輯主義，以布勞威爾為代表的直覺主義，以希爾伯特為代表的形式主義三大學派。 （一）、邏輯主義羅素在1903年出版的數學的原理中對于數學的本性發(fā)表了自己的見解。他說：“純粹數學是所有形如p蘊涵q的所有命題類，其中p和q都包含數目相同的一個或多個變元的命題，且p和q除了邏輯常項之外，不包含任何常項。所謂邏輯常項是可由下面這些對象定義的概念：蘊涵，一個項與它所屬類的關系，如此這般的概念，關系的概念，以及象涉及上述形式一般命題概念的其他概念。除此之外，數學使用一個不是它所考慮的命題組成部分的概念，即真假的概念?！保ǘ⒅庇X主義 直覺主義有著長遠的歷史，它植根于數學的構造性當中。古代數學大多是算，只是在歐幾里得幾何學中邏輯才起一定作用。到了十七世紀解析幾何和微積分發(fā)明之后，計算的傾向大大超過了邏輯傾向。十七、十八世紀的創(chuàng)造，并不考慮邏輯的嚴格，而只是醉心于計算?，F代直覺主義的奠基人是布勞威爾， 布勞威爾是從哲學中得出自己觀點的，基本的直覺是按照時間順序出現的感覺，而這形成自然數的概念。（三）、形式主義 一般認為形式