2019_2020學(xué)年高中數(shù)學(xué)第1章計(jì)數(shù)原理1.2.2組合第1課時組合與組合數(shù)公式學(xué)案新人教A版.docx

第1課時組合與組合數(shù)公式學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)核 心 素 養(yǎng)1.理解組合與組合數(shù)的概念(重點(diǎn))2.會推導(dǎo)組合數(shù)公式，并會應(yīng)用公式求值(重點(diǎn))3.理解組合數(shù)的兩個性質(zhì)，并會求值、化簡和證明(難點(diǎn)、易混點(diǎn))1.通過學(xué)習(xí)組合與組合數(shù)的概念，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)抽象的素養(yǎng)2.借助組合數(shù)公式及組合數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算的素養(yǎng).1組合的概念一般地，從n個不同元素中取出m(mn)個元素合成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合思考1：怎樣理解組合，它與排列有何區(qū)別？提示(1)組合要求n個元素是不同的，被取的m個元素也是不同的，即從n個不同的元素中進(jìn)行m次不放回地取出(2)取出的m個元素不講究順序，也就是說元素沒有位置的要求，無序性是組合的特點(diǎn)(3)辨別一個問題是排列問題還是組合問題，關(guān)鍵看選出的元素與順序是否有關(guān)，若交換某一問題中某兩個元素的位置對結(jié)果產(chǎn)生影響，則是排列問題，否則就是組合問題2組合數(shù)的概念從n個不同元素中取出m(mn)個元素的所有不同組合的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)思考2：如何理解組合與組合數(shù)這兩個概念？提示同“排列”與“排列數(shù)”是兩個不同的概念一樣，“組合”與“組合數(shù)”也是兩個不同的概念，“組合”是指“從n個不同元素中取m(mn)個元素合成一組”，它不是一個數(shù)，而是具體的一件事；“組合數(shù)”是指“從n個不同元素中取出m(mn)個元素的所有不同組合的個數(shù)”，它是一個數(shù)例如，從3個不同元素a，b，c中每次取出兩個元素的組合為ab，ac，bc，其中每一種都叫一個組合，這些組合共有3個，則組合數(shù)為3.3組合數(shù)公式及其性質(zhì)(1)公式：C.(2)性質(zhì)：CC，CCC.(3)規(guī)定：C1.1下面幾個問題中屬于組合問題的是()由1,2,3,4構(gòu)成的雙元素集合；5個隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)足球比賽的分組情況；由1,2,3構(gòu)成兩位數(shù)的方法；由1,2,3組成無重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù)的方法ABCDC取出元素與順序無關(guān)，取出元素與順序有關(guān)2若C28，則n()A9B8C7D6BC28，解得n8.3甲、乙、丙三地之間有直達(dá)的火車，相互之間的距離均不相等，則車票票價的種數(shù)是_3甲、乙、丙三地之間的距離不等，故票價不同，同距離兩地票價相同，故該問題為組合問題，不同票價的種數(shù)為C3.4C_，C_.1518C15，CC18.寫出問題的組合【例1】已知A，B，C，D，E五個元素，寫出每次取出3個元素的所有組合解法一：可按ABACADBCBDCD順序?qū)懗?，即所以所有組合為ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE.法二：畫出樹形圖，如圖所示由此可以寫出所有的組合：ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE.1此類列舉所有從n個不同元素中選出m個元素的組合，可借助本例所示的“順序后移法”(如法一)或“樹形圖法”(如法二)，直觀地寫出組合做到不重復(fù)不遺漏2由于組合與順序無關(guān)故利用“順序后移法”時箭頭向后逐步推進(jìn)，且寫出的一個組合不可交換位置如寫出ab后，不必再交換位置為ba，因?yàn)樗鼈兪峭唤M合畫“樹形圖”時，應(yīng)注意頂層及下枝的排列思路，防止重復(fù)或遺漏1已知a，b，c，d這四個元素，寫出每次取出2個元素的所有組合解可按abcd順序?qū)懗?，即所以所有組合為ab，ac，ad，bc，bd，cd.組合數(shù)公式的應(yīng)用【例2】(1)計(jì)算CCA；(2)計(jì)算CC.思路點(diǎn)撥解答此類問題要恰當(dāng)選擇組合數(shù)公式，并注意使用組合數(shù)公式的隱含條件解(1)原式(321)2102100.(2)由得n4或5.當(dāng)n4時，原式CC5，當(dāng)n5時，原式CC16.1在具體選擇公式時，要根據(jù)原題的特點(diǎn)，一般地，公式C常用于n為具體數(shù)的數(shù)目，偏向于組合數(shù)的計(jì)算，公式C常用于n為字母的題目，偏向于解不等式或證明恒等式2解題時，一定不要忘記組合數(shù)的意義2求值：CC.解由組合數(shù)的公式的性質(zhì)，可得解得n6.所以，原式CCCC121931.簡單的組合問題【例3】現(xiàn)有10名教師，其中男教師6名，女教師4名(1)現(xiàn)要從中選2名去參加會議有多少種不同的選法？(2)選出2名男教師或2名女教師參加會議，有多少種不同的選法？(3)現(xiàn)要從中選出男、女教師各2名去參加會議，有多少種不同的選法？思路點(diǎn)撥解(1)從10名教師中選2名去參加會議的選法種數(shù)，就是從10個不同元素中取出2個元素的組合數(shù)，即C45種(2)可把問題分兩類情況：第1類，選出的2名是男教師有C種方法；第2類，選出的2名是女教師有C種方法根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，共有CC15621種不同選法(3)從6名男教師中選2名的選法有C種，從4名女教師中選2名的選法有C種，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有不同的選法CC90種本例其他條件不變，問題變?yōu)閺闹羞x2名教師參加會議，至少有1名男教師的選法是多少？最多有1名男教師的選法又是多少？解至少有1名男教師可分兩類：1男1女有CC種，2男0女有C種由分類加法計(jì)數(shù)原理知有CCC39種最多有1名男教師包括兩類：1男1女有CC種，0男2女有C種由分類加法計(jì)數(shù)原理知有CCC30種解簡單的組合應(yīng)用題的策略1解簡單的組合應(yīng)用題時，首先要判斷它是不是組合問題，組合問題與排列問題的根本區(qū)別在于排列問題與取出元素之間的順序有關(guān)，而組合問題與取出元素的順序無關(guān)2要注意兩個基本原理的運(yùn)用，即分類與分步的靈活運(yùn)用提醒：在分類和分步時，一定注意有無重復(fù)或遺漏3(1)集合0,1,2,3含有3個元素的子集的個數(shù)是()A4B5C7D8(2)五個點(diǎn)中任何三點(diǎn)都不共線，則這五個點(diǎn)可以連成_條線段；如果是有向線段，共有_條(1)A(2)1020(1)由于集合中的元素是沒有順序的，一個含有3個元素的子集就是一個從0,1,2,3中取出3個元素的組合，這是一個組合問題，組合數(shù)是C4.(2)從五個點(diǎn)中任取兩個點(diǎn)恰好連成一條線段，這兩個點(diǎn)沒有順序，所以是組合問題，連成的線段共有C10(條)再考慮有向線段的問題，這時兩個點(diǎn)的先后排列次序不同則對應(yīng)不同的有向線段，所以是排列問題，排列數(shù)是A20.所以有向線段共有20條排列與組合的相同點(diǎn)與不同點(diǎn)名稱排列組合相同點(diǎn)都是從n個不同元素中取m(mn)個元素，元素?zé)o重復(fù)不同點(diǎn)1.排列與順序有關(guān)；2.兩個排列相同，當(dāng)且僅當(dāng)這兩個排列的元素及其排列順序完全相同1.組合與順序無關(guān)；2.兩個組合相同，當(dāng)且僅當(dāng)這兩個組合的元素完全相同1判斷(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)兩個組合相同的充要條件是其中的元素完全相同()(2)從a1，a2，a3三個不同元素中任取兩個元素組成一個組合，所有組合的個數(shù)為C.()(3)從甲、乙、丙3名同學(xué)中選出2名去參加某兩個鄉(xiāng)鎮(zhèn)的社會調(diào)查，有多少種不同的選法是組合問題()(4)從甲、乙、丙3名同學(xué)中選出2名，有3種不同的選法()(5)現(xiàn)有4枚2015年抗戰(zhàn)勝利70周年紀(jì)念幣送給10人中的4人留念，有多少種送法是排列問題()答案(1)(2)(3)(4