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2017春高中數(shù)學 第1章 解三角形 1.2 應用舉例 第1課時 距離問題課時作業(yè) 新人教B版必修5基 礎 鞏 固一、選擇題1海上有A、B兩個小島相距10 n mile,從A島望C島和B島成60的視角,從B島望C島和A島成75的視角,則B、C間的距離是(D) A10 n mileB10 n mileC5 n mileD5 n mile解析如圖,由正弦定理,得,BC5.2某人向正東方向走x km后,他向右轉150,然后朝新方向走3 km,結果他離出發(fā)點恰好 km,那么x的值為(C)AB2C2或D3解析由題意畫出三角形如圖則ABC30,由余弦定理,得cos30,x2或.3兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離都等于a km,燈塔A在觀察站C的北偏東20,燈塔B在觀察站C的南偏東40,則燈塔A與燈塔B的距離為(B)Aa kmBa kmCa kmD2a km解析ACB120,ACBCa,由余弦定理可得ABa(km)4有一長為10 m的斜坡,它的傾斜角是75,在不改變坡高和坡頂?shù)那疤嵯?,通過加長坡面的方法將它的傾斜角改為30,則坡底要延伸(C)A5 mB10 mC10 mD10 m解析如圖,在ABC中,由正弦定理,得,x10 m.5江岸邊有一炮臺高30 m,江中有兩條船,由炮臺頂部測得俯角分別為45和30,而且兩條船與炮臺底部連線成30角,則兩條船相距(D)A10 mB100 mC20 mD30 m解析設炮臺頂部為A,兩條船分別為B、C,炮臺底部為D,可知BAD45,CAD60,BDC30,AD30.分別在RtADB、RtADC中,求得BD30,DC30.在DBC中,由余弦定理,得BC2DB2DC22DBDCcos30,解得BC30.6海上的A、B兩個小島相距10 n mile,從A島望C島和B島成60的視角,從B島望C島和A島成75的視角,則B島與C島之間的距離是(D)A10 n mileBn mileC5 n mileD5 n mile解析在ABC中,C180607545,由正弦定理,得,解得BC5 n mile.二、填空題7兩船同時從A港出發(fā),甲船以每小時20 n mile的速度向北偏東80的方向航行,乙船以每小時12 n mile的速度向北偏西40方向航行,一小時后,兩船相距28n mile. 解析如圖,ABC中,AB20,AC12,CAB4080120,由余弦定理,得BC220212222012cos120784,BC28(n mile)8湖中有一小島,沿湖有一條南北方向的公路,在這條公路上的一輛汽車上測得小島在南偏西15方向,汽車向南行駛1 km后,又測得小島在南偏西75方向,則小島到公路的距離是 km.解析如圖,CAB15,CBA18075105,ACB1801051560,AB1 km.由正弦定理,得BC(km)設C到直線AB的距離為d,則dBCsin75(km)三、解答題9如圖,甲船以每小時30 n mile的速度向正北方向航行,乙船按固定方向勻速直線航行當甲船位于A1處時,乙船位于甲船的北偏西105方向的B1處,此時兩船相距20 n mile.當甲船航行20 min到達A2處時,乙船航行到甲船的北偏西120方向的B2處,此時兩船相距10 n mile,問乙船每小時航行多少n mile?解析解法一:如圖,連接A1B2,由已知,A2B210,A1A23010,A1A2A2B2,又A1A2B218012060,A1A2B2是等邊三角形,A1B2A1A210.由已知,A1B120,B1A1B21056045,由A1B2B1中,由余弦定理,得B1BA1BA1B2A1B1A1B2cos45202(10)222010200.B1B210.乙船的速度的大小為6030n mile/h.答:乙船每小時航行30 n mile.解法二:如圖,連接A2B1.由已知,A1B120,A1A23010,B1A1A2105,cos105cos(4560)cos45cos60sin45sin60.sin105sin(4560)sin45cos60cos45sin60.在A2A1B1中,由余弦定理,得A2BA1BA1A2A1B1A1A2cos105(10)220221020100(42)A2B110(1)由正弦定理,得sinA1A2B1sinB1A1A2,A1A2B145,即B1A2B2604515,cos15sin105.在B1A2B2中,由已知,A2B210,由余弦定理,得B1BA2BA2B2A2B1A2B2cos15102(1)2(10)2210(1)10200.B1B210,乙船速度的大小為6030 n mile/h,答:乙船每小時航行30 n mile.能 力 提 升一、選擇題1如圖,一貨輪航行到M處,測得燈塔S在貨輪的北偏東15,與燈塔S相距20 n mile,隨后貨輪按北偏西30的方向航行30 min后,又測得燈塔在貨輪的東北方向,則貨輪的速度為(B)A20() n mile/hB20() n mile/hC20() n mile/hD20() n mile/h解析由題意可知NMS45,MNS105,則MSN1801054530.而MS20,在MNS中,由正弦定理,得,MN10()貨輪的速度為10()20()n mile/h.2如圖,一艘海輪從A處出發(fā),以每小時40 n mile的速度沿南偏東40的方向直線航行,30 min后到達B處C處有一座燈塔,海輪在A處觀察燈塔,其方向是南偏東70,在B處觀察燈塔,其方向是北偏東65,那么B、C兩點間的距離是(A)A10 n mileB10 n mileC20 n mileD20 n mile解析由題目條件,知AB20 n mile,CAB30,ABC105,所以ACB45.由正弦定理,得,所以BC10 n mile,故選A二、填空題3甲船在島A的正南B處,以4 km/h的速度向正北航行,AB10 km,同時乙船自島A出發(fā)以6 km/h的速度向北偏東60的方向駛去,當甲、乙兩船相距最近時,它們所航行的時間為 min.解析如圖,當兩船航行t h時,甲船到D處,乙船到C處,則AD104t,AC6t,CAD120,若AD4t10,AC6t,CAD60,所以CD2(6t)2(104t)226t(104t)()28t220t100,當t h時,CD2最小,即兩船最近,th min.4一船以24 km/h的速度向正北方向航行,在點A處望見燈塔S在船的北偏東30方向上,15 min后到點B處望見燈塔在船的北偏東65方向上,則船在點B時與燈塔S的距離是5.2 km.(精確到0.1 km)解析作出示意圖如圖由題意知,則AB246,ASB35,由正弦定理,得,可得BS5.2 km.三、解答題5碧波萬頃的大海上,“藍天號”漁輪在A處進行海上作業(yè),“白云號”貨輪在“藍天號”正南方向距“藍天號”20 n mile的B處現(xiàn)在“白云號”以每小時10 n mile的速度向正北方向行駛,而“藍天號”同時以每小時8n mile的速度由A處向南偏西60方向行駛,經(jīng)過多少小時后,“藍天號”和“白云號”兩船相距最近.解析如右圖,設經(jīng)過t h,“藍天號”漁輪行駛到C處,“白云號”貨輪行駛到D處,此時“藍天號”和“白云號”兩船的距離為CD則根據(jù)題意,知在ACD中,AC8t,AD2010t,CAD60.由余弦定理,得CD2AC2AD22ACADcos60(8t)2(2010t)228t(2010t)cos60244t2560t400244(t)2400244()2,當t時,CD2取得最小值,即“藍天號”和“白云號”兩船相距最近答:經(jīng)過 h后,“藍天號”和“白云號”兩船相距最近6已知海島B在海島A的北偏東45方向上,A、B相距10 n mile,小船甲從海島B以2海里/小時的速度沿直線向海島A移動,同時小船乙從海島A出發(fā)沿北偏西15方向也以2 n mile/ h的速度移動.(1)經(jīng)過1 h后,甲、乙兩小船相距多少海里?(2)在航行過程中,小船甲是否可能處于小船乙的正東方向?若可能,請求出所需時間,若不可能,請說明理由解析(1)經(jīng)過1 h后,甲船到達M點,乙船到達N點,AM1028,AN2,MAN60,所以MN2AM2AN22AMANcos6064428252.所以MN2.所以經(jīng)過1 h后,甲、乙兩小船相距2 n mile.(2)設經(jīng)過t(0t5)小時小船甲處于小船乙的正東方向,則甲船與A距離為AE(102t)n mile,乙船與A距離為AF2t n mile,EAF60,EFA75,則由正弦定理,得,即,則t5.答:經(jīng)過小時小船甲處于小船乙的正東方向7.如圖,游客從某旅游景區(qū)的景點A處下山至C處有兩種路徑一從A沿直線步行到C,另一種是從A沿索道乘纜車到B,然后從B沿直線步行到C現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處下山,甲沿AC勻速步行,速度為50 m/min.在甲出發(fā)2 min后,乙從A乘纜車到B,在B處停留1 min后,再從B勻速步行到C、假設纜車勻速直線運動的速度為130 m/min,山路AC長為1 260 m,經(jīng)測量,cos A,cos C.(1)求索道AB的長;(2)問:乙出發(fā)多少分鐘后,乙在纜車上與甲的距離最短?(3)為使兩位游客在C處互相等待的時間不超過3 min,乙步行的速度應控制在什么范圍內(nèi)?解析(1)在ABC中,因為cos A,cos C,所以sin A,sin C.從而sin Bsin(AC)sin(AC)sin Acos Ccos AsinC.由正弦定理,得ABsin C1 040(m)所以索道AB的長為1 040 m.(2)假設乙出發(fā)t分鐘后,甲、乙兩游客距離為d,此時,甲行走了(10050t) m,乙距離A處130t m,所以由余弦定理得
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