高中數(shù)學(xué)第一講不等式和絕對(duì)值不等式一不等式3三個(gè)正數(shù)的算術(shù)幾何平均不等式學(xué)案.docx

3三個(gè)正數(shù)的算術(shù)幾何平均不等式1.探索并了解三個(gè)正數(shù)的算術(shù)幾何平均不等式的證明過(guò)程2.會(huì)用平均不等式求一些式子或函數(shù)的最大(小)值3會(huì)用平均不等式解決實(shí)際中的應(yīng)用問(wèn)題,學(xué)生用書(shū)P9)1三個(gè)正數(shù)的算術(shù)幾何平均不等式(定理3)如果a，b，cR，那么，當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)，等號(hào)成立2基本不等式的推廣對(duì)于n個(gè)正數(shù)a1，a2，an，它們的算術(shù)平均不小于它們的幾何平均，即，當(dāng)且僅當(dāng)a1a2an時(shí)，等號(hào)成立1判斷(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)任意n個(gè)數(shù)的算術(shù)平均值不小于它們的幾何平均值()(2)只對(duì)n2和n3的情形適用()(3)算數(shù)幾何平均不等式是針對(duì)n個(gè)正數(shù)而言的，否則不一定成立()答案：(1)(2)(3)2若a，b，c都是正數(shù)且abc6，則abc的最大值為()A2B27C8 D3解析：選C.因?yàn)閍0，b0，c0，abc6，所以abc8，當(dāng)且僅當(dāng)abc2時(shí)“”成立3函數(shù)y2x2(xR)的最小值為()A6 B7C8 D9答案：A用三個(gè)正數(shù)的算術(shù)幾何平均不等式證明不等式學(xué)生用書(shū)P9已知實(shí)數(shù)a，b，c，d滿足abcd，求證：.【證明】因?yàn)閍bcd，所以ab0，bc0，cd0，ad0，所以(ad)(ab)(bc)(cd)339，即，當(dāng)且僅當(dāng)abbccd時(shí)，等號(hào)成立證明不等式的方法(1)首先觀察所要證的式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)及題目所給條件，看是否滿足“一正、二定、三相等”的條件若滿足即可利用平均不等式證明(2)若題目不滿足該條件，則可靈活利用已知條件構(gòu)造出能利用三個(gè)正數(shù)的平均不等式的式子 1.已知x0，y0，證明：(1xy2)(1x2y)9xy.證明：因?yàn)閤0，y0，所以1xy230，1x2y30，故(1xy2)(1x2y)339xy.2已知x，y均為正數(shù)，且xy，求證：2x2y3.證明：因?yàn)閤0，y0，xy0，所以2x2y2(xy)(xy)(xy)33，等號(hào)成立的條件是xy，即xy1.所以2x2y3.利用三個(gè)正數(shù)的算術(shù)幾何平均不等式求最值學(xué)生用書(shū)P10求函數(shù)yx(x1)的最小值【解】因?yàn)閤1，所以x10，yx(x1)(x1)1314，當(dāng)且僅當(dāng)(x1)(x1)，即x3時(shí)等號(hào)成立即ymin4.用平均不等式求最值的注意點(diǎn)(1)應(yīng)用平均不等式，要注意三個(gè)條件，即“一正、二定、三相等”同時(shí)具備時(shí)，方可取得最值其中定值條件決定著平均不等式應(yīng)用的可行性，獲得定值需要一定的技巧，如配系數(shù)、拆項(xiàng)、分離常數(shù)、平方變形等 (2)當(dāng)不具備使用平均不等式的條件時(shí)，求函數(shù)的最值可考慮利用函數(shù)的單調(diào)性若x0，求函數(shù)y4x2的最小值解：因?yàn)閤0，所以y4x24x23 3.當(dāng)且僅當(dāng)4x2(x0)，即x時(shí)，取“”，所以當(dāng)x時(shí)，y4x2(x0)的最小值為3.應(yīng)用三個(gè)正數(shù)的算術(shù)幾何平均不等式解決實(shí)際問(wèn)題學(xué)生用書(shū)P10如圖所示，在一張半徑是2米的圓桌的正中央上空掛一盞電燈眾所周知，燈掛得太高，桌子邊緣處的亮度就??；掛得太低，桌子的邊緣處仍然是不亮的由物理學(xué)知道，桌子邊緣一點(diǎn)處的燈光亮度E和電燈射到桌子邊緣的光線與桌子的夾角的正弦成正比，而和這一點(diǎn)到光源的距離r的平方成反比，即Ek.這里k是一個(gè)和燈光強(qiáng)度有關(guān)的常數(shù)，那么究竟應(yīng)該怎樣選擇燈的高度h，才能使桌子邊緣處最亮？【解】因?yàn)閞，所以Ek(00，y0，z0，且4(xyz)72，即xyz18.所以體積Vxyz216.當(dāng)且僅當(dāng)xyz6時(shí)，Vmax216.因此當(dāng)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高均為6 cm時(shí)，其體積最大，最大值為216 cm3.2已知圓錐的底面半徑為R，高為H，求圓錐的內(nèi)接圓柱體的高h(yuǎn)為何值時(shí)，圓柱的體積最大？并求出這個(gè)最大的體積解：設(shè)圓柱體的底面半徑為r，如圖，由相似三角形的性質(zhì)可得，所以r(Hh)所以V圓柱r2h(Hh)2h(0h0，b0，c0，等號(hào)成立的條件是abc.(2)與都是的特例，它們統(tǒng)稱為均值不等式因此與基本不等式的應(yīng)用是一樣的(3)將不等式a3b3c33abc中的a，b，c分別以，代替就可得到.2定理3的兩個(gè)推論(1)當(dāng)abc為定值時(shí)：abc3，當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)取等號(hào)(2)當(dāng)abc為定值時(shí)：abc，當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)取等號(hào)3用定理3求最值時(shí)的關(guān)注點(diǎn)一“正”：項(xiàng)或因式為正二“定”：項(xiàng)(因式)的和或積為定值三“相等”：各項(xiàng)相等或各因式相等時(shí)等號(hào)成立1正實(shí)數(shù)x，y，z滿足xyz2，則()Axyz的最大值是3Bxyz的最大值是3Cxyz的最小值是3Dxyz的最小值是3解析：選D.由三個(gè)正數(shù)的算術(shù)幾何平均不等式，得xyz33，當(dāng)且僅當(dāng)xyz時(shí)，xyz取得最小值3.2設(shè)a，bR，且ab3，則ab2的最大值為()A2B3C4 D6解析：選C.因?yàn)閍b24a444134，當(dāng)且僅當(dāng)a1時(shí)，等號(hào)成立即ab2的最大值為4.3已知0x，則x2(12x)的最大值為_(kāi)解析：因?yàn)?x，所以12x0，則x2(12x)xx(12x).當(dāng)且僅當(dāng)x12x，即x時(shí)等號(hào)成立故x