（基礎(chǔ)數(shù)學(xué)專業(yè)論文）量子環(huán)面上斜導(dǎo)子李代數(shù)模的導(dǎo)子.pdf

量子環(huán)面上斜導(dǎo)子李代數(shù)模的導(dǎo)子 i i i 摘要 記l 。為兩個變量的量子環(huán)面上的s k e w 導(dǎo)子李代數(shù)文【l t l 】中構(gòu)造了族從 特殊線性李代數(shù)s f 。一模v 到l 。一模的函子礙，給出曰) 的結(jié)構(gòu)的完整刻劃； 然后證明了下述結(jié)論：對任意有限維s l 。一模y 和，如果q 是p 次本原單位根， 那么l 。一模蠕( 礦) 與碟( ) 同構(gòu)的充要條件是 n p r ，9 2 ( s ) 三，( n p ，s ) g l ( s ) ，vs r 而且s 1 2 一模y 與w 同構(gòu)當(dāng)q 不是單位根時，工。就是口類似v i r a s o r o - l i k e 代數(shù)本 文第三章從另個角度，直接由維向量空間y 構(gòu)造了一類q 類似v i r a s o r o - l i k e 代 數(shù)工。一模m ( q a 2 ) ，并刻畫了m ( 0 ，0 1 f n 2 ) 的結(jié)構(gòu)，同時還給出了模m ( n 2 ) 的導(dǎo)子，以及一上同調(diào)群h - ( l 。，m ( “，n 。) ) 當(dāng)q 是p 次本原單位根時，本文第 四章給出了文 l t l 中的模譬) 的導(dǎo)子，以及一上同調(diào)群h 1 ( l 。，四( y ) ) 關(guān)鍵詞：s k e w 導(dǎo)子李代數(shù)、q 類似v i r a s o r o - l i k e 代數(shù)、模的導(dǎo)子 量子環(huán)面上斜導(dǎo)子李代數(shù)模的導(dǎo)子 a b s t r a c t d e n o t et h es k e wd e r i v a t i o nl i ea l g e b r ao v e rt h er a n k2q u a n t u r nt o r u sb y k i n l t l ，t h ea u t h o r sc o n s t r u c t e dac l a s so ff l m c t o r s 譬f r o ms 1 2 一m o d u l e s t ol q - m o d u l e s t h e ys t u d i e dt h es t r u c t u r eo fl q - m o d u l e s 四a n dg i v e da n e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o no fi s o m o r p h i s mb e t w e e nt h el g - m o d u l e s 喀( v ) a n d 碟( w ) i fq i sn o tar o o to fu n i t y , t h e nl qi saq - a n a l o go f t h ev i r a s o r o - l i k ea l g e b r a i nc h a p t e rt h r e e ，w ec o n s t r u c tac l a s so fm o d u l e s m ( a l ，a l ，a 2 ) o ft h eq - a n a l o gv i r a s o r o - l i k ea l g e b r aa n ds t u d yt h es t r u c t u r eo f t h em o d u l e sm ( q ，a l ，a 2 ) i nc h a p t e rf o u r ，w es t u d yt h ed e r i v a t i o n sf r o ml 口 t ol q - m o d u l e s 露( v ) a n dg i v et h ef i r s tc o h o m o l o g yg r o u ph 1 ( k ，f 2 ( y ) ) ， w h e r eqi sap - t hr o o to fu n i t y k e y w o r d s ：s k e w d e r i v a t i o nl i ea l g e b r a ，q - a n a l o gv i r a s o r o - l i k ea l g e b r a ，d e r i v a - t i o n so fam o d u l e 廈門大學(xué)學(xué)位論文著作權(quán)使用聲明 本人完全了解廈門大學(xué)有關(guān)保留、使用學(xué)位論文的規(guī)定。廈 門大學(xué)有權(quán)保留并向國家主管部門或其指定機(jī)構(gòu)送交論文的紙 質(zhì)版和電子版，有權(quán)將學(xué)位論文用于非贏利目的的少量復(fù)制并允 許論文進(jìn)入學(xué)校圖書館被查閱，有權(quán)將學(xué)位論文的內(nèi)容編入有關(guān) 數(shù)據(jù)庫進(jìn)行檢索，有權(quán)將學(xué)位論文的標(biāo)題和摘要匯編出版。保密 的學(xué)位論文在解密后適用本規(guī)定。 本學(xué)位論文屬于 l 、保密() ，在年解密后適用本授權(quán)書。 2 、不保密( ) ( 請在以上相應(yīng)括號內(nèi)打“”) 作者簽名：、良貿(mào)球日期：加。已年r 月，6 日 導(dǎo)師簽名：日期：年月日 量子環(huán)面上斜導(dǎo)子李代數(shù)模的導(dǎo)子 第一章引言 李代數(shù)出現(xiàn)于1 9 世紀(jì)末，最初是作為研究李群的代數(shù)工具而引進(jìn)的所謂李 群就是可微分的群或者連續(xù)變換群李群理論是1 8 7 0 年左右挪威數(shù)學(xué)家l m 在研 究微分方程的積分曲線族在什么變換下不變時發(fā)現(xiàn)并且建立起來的，其最初的想 法是試圖對于微分方程建立起個與g m o i s 理論類似的理論微分的基本想法就 是在無窮小的層面上的線性化，因此可以自然地想到李群的結(jié)構(gòu)應(yīng)該具有它的線 性化所得的一種“無窮小群”的結(jié)構(gòu)，這就是l i e 在可微分的群的結(jié)構(gòu)理論上的 重大成就；他認(rèn)識到關(guān)于可微群的大量信息已被包含在它的“群的無窮小變換” 的代數(shù)中，而且這種代數(shù)做為線性對象在許多方面都比可微群自身更容易研究 當(dāng)時人們使用“群的無窮小變換”和“無窮小群”等術(shù)語來稱呼這種數(shù)理模型 大約在1 9 3 4 年w 剛把這種數(shù)理模型叫做李代數(shù)，而李群理論第個近代化的敘 述則是由邦德列雅金于1 9 3 8 年給出的。 在研究有限維復(fù)半單李代數(shù)的結(jié)構(gòu)和表示的過程中，k i l l i n g 第一個給出有限 維復(fù)單李代數(shù)的分類；c a r t a n 進(jìn)一步研究了復(fù)半單李代數(shù)的結(jié)構(gòu)，而且他還對它 們的有限維不可約表示進(jìn)行了分類，并且證明了：有限維復(fù)半單李代數(shù)的一個不 可約表示是有限維的當(dāng)且僅當(dāng)它是以支配整權(quán)為其最高權(quán)的最高權(quán)表示；w e y l 進(jìn) 步發(fā)展了k i l f i n g _ c ”t a n 理論并且得到了復(fù)半單李代數(shù)的有限維不可約表示的特 征標(biāo)公式及有限維表示的完全可約性定理，他還提出并研究了緊半單李群的類 特殊的無窮維表示一正則表示，該表示包含了c 8 r t a n 分類中的所有表示； 1 9 4 8 年c h e 1 1 e v 在* c o m p t e 8r e n d u s8 上發(fā)表了一篇短文這篇短文不僅包含了c ”t a n 關(guān)于有限維復(fù)半單李代數(shù)表示的上述定理的統(tǒng)一的代數(shù)證明，而且還提出了許多 重要的概念，這些概念成為2 0 年后出現(xiàn)的k ”- m o o d y 代數(shù)的基本概念；1 9 6 6 年 j p s e “e 進(jìn)步證明并給出了有限維復(fù)半單李代數(shù)的統(tǒng)一實現(xiàn) 在研究有限維李代數(shù)的同時，數(shù)學(xué)家們也開始對無窮維李代數(shù)的研充在1 9 6 8 年v k a c 和r m o o d y 各自獨立地引入了k a c - m o o d y 代數(shù)k a c - m o o d y 代數(shù)是近 代數(shù)學(xué)中發(fā)展極為迅速的一個分支近年來，k a c - m o o d y 代數(shù)引起了許多數(shù)學(xué)家 和數(shù)學(xué)物理學(xué)家的關(guān)注，這主要是因為k ”一m o o d y 代數(shù)與許多不同的數(shù)學(xué)和物理 分支有著緊密的聯(lián)系，它在d u mr e s o u r c em o d e l 中，在孤立子理論、k d v 方程和 第一章引言 2 其它可積系統(tǒng)的構(gòu)造等方面有許多的應(yīng)用 在無窮維李代數(shù)中v i r a s o r o 代數(shù)是另一類非常重要的代數(shù)從數(shù)學(xué)的角度來 看，v i r a s o r o 代數(shù)不外是單變量的羅朗多項式環(huán)上的導(dǎo)子李代數(shù)的泛中心擴(kuò)張 單變量的羅朗多項式環(huán)上的導(dǎo)子李代數(shù)也被稱為w i t t 代數(shù)，它可看成是圓周上的 微分同胚所構(gòu)成的群w i t t 代數(shù)與v i r a s o r o 代數(shù)在物理學(xué)的許多分支中都扮演著 極其重要的角色v h - a s o r o 代數(shù)的表示理論已得到了非常詳細(xì)的研究( 見i ( r 1 ) ， 在【m 1 】中m a t h i e u 給出了它的h a r i s h - c h a n d r a 模的分類v i r a s o r o 代數(shù)的表示在 頂點算子代數(shù)理論以及對m o n s t e rg r o u p 的研究中也扮演著極其重要的角色，它在 理論物理中的d u a lr e s o n a n c em o d e l 和共形場理論中也有許多重要應(yīng)用因此，在 上個世紀(jì)六十年代，理論物理學(xué)家就對它進(jìn)行了大量的研究，并發(fā)現(xiàn)它隱含在任 何具有共形不變量的2 維時空理論中，【f m s 中的第1 3 章到第1 8 章詳細(xì)解釋了 物理學(xué)與v i r a s o r o 代數(shù)和仿射k a c - m o o d y 李代數(shù)的表示理論之間的關(guān)系 在量子群研究工作的推動下，人們也對量子環(huán)面c 。及其導(dǎo)子李代數(shù)d e r ( c 。) 進(jìn)行了研究1 9 9 4 年，k i r k m a n 等人研究了2 秩量子環(huán)面在q 為g e n e r i c 的情形下 內(nèi)導(dǎo)子李代數(shù)的結(jié)構(gòu)，并發(fā)現(xiàn)了它與d e r a 的一類李子代數(shù)( v i r a s o r o - l i k e 代數(shù)) 之間的關(guān)系，并把他所研究的代數(shù)稱為q 類似v i r a s o r o - l i k e 代數(shù)證明了這兩種李 代數(shù)都存在非平凡的中心擴(kuò)張事實上，所謂v i r a s o r o - l i k e 代數(shù)也被稱為b l o c k 代 數(shù)，在 b 1 1 】、【a 】和 d jz 】中都對它進(jìn)行過研究由此可見，量子環(huán)面的導(dǎo)子李代 數(shù)與v i r a s o r o 代數(shù)的推廣存在著密切的聯(lián)系另一方面，由b e r m a n 、部云等人對 e a l a s 的結(jié)構(gòu)和分類的研究工作所獲得的成果，人們發(fā)現(xiàn)d e r ( c 。) 與e a l a s 的結(jié) 構(gòu)和表示也產(chǎn)生了深刻的聯(lián)系b e r m a n 、郜云等人還成功地構(gòu)造出以c 。為坐標(biāo) 代數(shù)的e a l a s 的主表示和齊次表示( 見 b s 】，【g 1 】和f g 2 】) ；在他們的構(gòu)造方法 中也可看出構(gòu)造d e r ( c 。) 模的重要性這些事實進(jìn)一步說明了對c 。和d e r ( c 。) 的 結(jié)構(gòu)和表示的研究具有重要的理論價值此外，j o r d a n 代數(shù)的導(dǎo)子李代數(shù)的表示 在t k k 代數(shù)的表示的構(gòu)造中也有重要的作用( 見f t 2 1 ) ，而量子環(huán)面的導(dǎo)子李代 數(shù)中又包含了t k k 代數(shù)的導(dǎo)子李代數(shù)為其特例但是，對d e r ( c 。) 的結(jié)構(gòu)特別是 它的表示的已有研究結(jié)果卻比較少，而且這些結(jié)果主要都集中在研究2 秩且q 是 g e n e r i c 的情形下的誘導(dǎo)模方面趙開明和張賀春在文( 【z z ) 中顯式地構(gòu)造了q 一類 似v i r a s o r o l i k e 代數(shù)( 即兩個變量的量子環(huán)面在q 不是單位根時的內(nèi)導(dǎo)子所構(gòu)成的 第一章引言3 李代數(shù)) 上分次空間維數(shù)不大于1 的z z 分次9 3 t - 研究了它的結(jié)構(gòu)和性質(zhì) 注意到量子環(huán)面包含了多變量的交換環(huán)面為其特例，而v i r a s o r o 代數(shù)克際e 可看成單變量的環(huán)面上的導(dǎo)子李代數(shù)( w i t t 代數(shù)) 的泛中心擴(kuò)張，因而人們對多 變量的交換環(huán)面的導(dǎo)子李代數(shù)d e r a 的結(jié)構(gòu)和表示已有較系統(tǒng)研究，并且成功地 構(gòu)造出d e r a 的許多有意義的顯式表示( 見 f r q 、 l x 、【l 2 、阻3 】、【l 4 】、 【p m s o 、田h s 】、 r s s l 、【s t 和阿1 ) 因此，自然有希望借鑒這些結(jié)果構(gòu)造出 d e r ( c 。) 的顯式表示事實上，在上個世紀(jì)八十年代末沈光宇構(gòu)造了交換結(jié)合代數(shù) 的導(dǎo)子李代數(shù)上的一大類模，并把他的構(gòu)造方法應(yīng)用于除冪代數(shù)的導(dǎo)子李代數(shù)的 模的研究，從而成功地刻劃了經(jīng)典的c a f t a n 型李代數(shù)及其上的分次模的結(jié)構(gòu)( 見 s 1 】、【s 2 】和 s 3 】) 隨后，胡乃紅進(jìn)步對這些模進(jìn)行了研究( 見 h u l 和【h u 2 ) ， 而張永正和劉文德則將該構(gòu)造方法應(yīng)用到模李超代數(shù)的研究中( 見 zl ) 另方 面，r a o 利用他在文 e m 】和【e m y l 】中所構(gòu)造的t o r o i d a l 李代數(shù)的頂點表示，發(fā) 現(xiàn)了兩個變量的環(huán)面上的導(dǎo)子李代數(shù)的類模并研究了其結(jié)構(gòu)( 見【e 1 ) 稍后他 發(fā)現(xiàn)所構(gòu)造的模恰好是l a r s s o n 在文 l 1 中所構(gòu)造的從9 1 ，模到d e r a 一模的函子 p 的像模的特例他在文 e 2 】中研究了在函子p 作用下有限維不可約g f 。模的 像模的結(jié)構(gòu)，證明了f “( y ( 砒6 ) ) 是不可約d e r a 模除非( 廿，6 ) = ( 以女) 或者( o 6 ) ， 其中靠，1 k 0 時，由上式對m 。作歸納，可得到 1 4 c j ( r ，m l e 。) = m 。g ( ”- 1 h 奶( r ，e 1 ) ( 37 ) 在( 3 1 ) 式中令m = e 1 + e 2 ，n = e ，并結(jié)合( 3 5 ) 式得到 奶( r ，一e 1 ) = 一q - 2 r 2 叱( r ，e 1 ) 當(dāng)m 。 0 ，其中f l 為余數(shù)，即m 1 ( m o d p ) = 1 1 ，則由( 4 1 9 ) 式對帥 作歸納，可得到 妒1 ( r ，m l e l ) = q r 2 ( m l - 1 ) ( f 1 1 ) 妒1 ( r ，e 1 ) + q r 2 ( 1 l - - 1 ) 廿l ( r ，( m l z l + 1 ) e 1 )( 4 2 1 ) 由( 4 2 0 ) 式可知 妒l ( r ，( m l f 1 + 1 ) e 1 ) = 妒l ( r ，e 1 ) + q “( m 1 一z 1 ) p 一1 ) 母2 ( r ，e 2 ) ( 4 2 2 ) 將( 4 2 2 ) t l x ( 42 1 ) 可得到 妒l ( r ，r t l e l ) = q “( “1 1 ) l l 妒l ( r ，e 1 ) + o z ，( 。1 1 1 ) 0 1 ) 妒2 ( r ，e 2 ) ( 4 2 3 ) 在( 4 1 0 1 ) 式中分別令m e 1 + e 2 ，n = 一e 1 和i n = e 1 ，n = e 2 可得 妒1 ( r ，e 2 ) = q 7 2 妒l ( r ，e 1 ) + q 一“妒l ( r ，e l + e 2 ) 將上面兩式中后式代入前式得到 妒1 ( r ，一e 1 ) = 一q2 r 2 ) 1 ( r ，e 1 ) ( 4 2 4 ) 在( 4 1 0 1 ) 式中分別令i n = m l e l + e 2 ，n = e 1 和i n = ( m 1 一1 ) e 1 ，n = e 2 可得 妒l ( r ，( m 1 1 ) e l + e 2 ) = g q m l 妒1 ( r ，一e 1 ) 十q r 2 妒1 ( r 7 q 1 , l e l + e 2 ) ，( 42 5 ) 妒1 ( r ，( , r r t l 1 ) e l + e 2 ) = g 2 ( ”- 1 妒1 ( r ，e 2 ) + 妒1 ( r ，( m 1 1 ) e 1 ) ，其中p x ( m 1 一1 ) ( 4 2 6 ) 當(dāng)p 2 m 1 時，將( 4 2 6 ) ( 4 1 6 1 ) ( 4 2 4 ) 代入( 4 2 5 ) 可得 妒l ( r 、m l e l ) = 9 7 2 ( ”1 1 妒1 ( r ，e 1 ) + 口1 妒l ( r ，( m 1 一1 ) e 1 ) 墨里主竺魚型魚二堡鯊! ! ! 竺蘭蘭 2 6 由上斌可得 妒1 ( r ，一m , l e l ) = q 一2 ( “1 + 1 ) 妒l ( r ，e 1 ) +