（運(yùn)籌學(xué)與控制論專業(yè)論文）利用松弛控制解決最優(yōu)控制存在性以及在生物模型中的運(yùn)用.pdf

中文摘要 摘要 文章考慮了一類變量與控制不分離的常微分系統(tǒng)在缺乏c e s a r i 條件下的最優(yōu) 控制問(wèn)題。利用相應(yīng)最優(yōu)松弛控制的存在性和最大值原理證明了某些條件下原 問(wèn)題最優(yōu)控制的存在性。然后利用這種思想解決了一個(gè)l o g i s t i c 模型最優(yōu)捕撈的 存在性和一個(gè)s i r 傳染病模型最優(yōu)控制的存在性。 關(guān)鍵詞：存在性，最優(yōu)控制，松弛控制，s i r 中圖分類號(hào)：0 2 3 2 墨苧塑墨 a b s t r a c t o p t i m a l c o n t r o lp r o b l e m sg o v e r n e db yo r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa r ec o n s i d e r e d n oc e s a r y t y p ec o n d i t i o n sa r ea s s u m e d b yt h ee x i s t e n c et h e o r e ma n dp o n t r y a g i n m a x i m u mp r i n c i p l ef o rt h ec o r r e s p o n d i n gr e l a x e dp r o b l e m s a ne x i s t e n c et h e o r e mo f o p t i m a lc o n t r o lo ft h eo r i g i n a lp r o b l e m i se s t a b l i s h e d e x i s t e n c eo fa no p t i m a lh a r v e s t i n go fal o g i s t i cm o d e la n da no p t i m a lc o n t r o lo fas i rm o d e la r es o l v e d k e yw o r d s ：e x i s t e n c e ，o p t i m a lc o n t r o l ，r e l a x e dc o n t r o l ，s i r c l cn u m b e r ：0 2 3 2 一 主要符號(hào)對(duì)照表 主要符號(hào)對(duì)照表 控制范圍 允許控制函數(shù)集 u 上概率測(cè)度全體 松弛控制函數(shù)集 控制函數(shù) 狀態(tài)函數(shù) 目標(biāo)泛函 對(duì)偶方程解 松弛控制函數(shù) 人口函數(shù) 易得病人口函數(shù) 染病人口函數(shù) 成本函數(shù) i i i f l + )j)j，u孵冗圳川川川川川 第一章介紹 第一章介紹 眾所周知，c e s a r i 條件是最優(yōu)控制存在性的一個(gè)重要條件在c e s a r i 條件滿足 的情況下，最優(yōu)控制的存在性已經(jīng)有了很多的結(jié)果可以參見c e s a r i 6 ，及李訓(xùn)經(jīng) 和雍炯敏 1 0 當(dāng)c e s a r i 條件不滿足時(shí)，松弛控制的方法顯示出它的優(yōu)勢(shì)對(duì)于有限維系統(tǒng)， 松弛控制已經(jīng)得到了系統(tǒng)的研究，可參考b e r k o v i t z 4 】和w a r g a 1 8 通過(guò)松弛控 制，控制集得到了延拓，使得缺乏c e s a r i 條件的原問(wèn)題相應(yīng)的松弛控制問(wèn)題擁有 了c e s a r i 條件通常最優(yōu)松弛控制的存在性定理與最大值原理是容易的這方面 工作可以參見c e s a r i 【5 】，【6 】已經(jīng)證明了一般情況下松弛控制可以用普通控制來(lái) 近似，這方面有限維的工作可參見 1 7 ，無(wú)限維的可參見【1 2 也就是當(dāng)不存在 最優(yōu)控制時(shí)，我們也可以通過(guò)最優(yōu)松弛控制而找到近似的“最優(yōu)控制”特別 的，在一些情況下，由最優(yōu)松弛控制可以推導(dǎo)出一個(gè)最優(yōu)控制，這方面有限維的工 作可參見r a y m o n d 【1 3 ，【1 4 ，b a l d a r 1 卜 3 】，無(wú)限維情形可參見r a y m o n d 1 5 以 及【1 6 ， 7 及樓紅衛(wèi)【8 】， 9 】通常，缺乏c e s a r i 條件時(shí)，所研究的系統(tǒng)與目標(biāo)泛函 是控制與狀態(tài)可分離的 以前的文章，都利用了端點(diǎn)定理將最優(yōu)松弛控制過(guò)渡到最優(yōu)控制在 8 】與 【9 】中，利用了最優(yōu)松弛控制的必要條件而推出了等價(jià)的最優(yōu)控制的存在性本文 在它們的基礎(chǔ)上利用最優(yōu)松弛控制的必要條件研究了范圍更廣的一類控制問(wèn)題， 在這類問(wèn)題中，系統(tǒng)并不是控制與狀態(tài)完全分離的但仍可利用與文【8 】，【9 】相似 的方法由最優(yōu)松弛控制的存在性與最大值原理推導(dǎo)出最優(yōu)控制的存在性本文 第二章介紹了松弛控制及需要的一些結(jié)論在第三章提出我們的最優(yōu)控制問(wèn)題 以及推導(dǎo)出這個(gè)問(wèn)題最優(yōu)控制的存在性，在第四章我們利用這個(gè)方法推導(dǎo)出一 個(gè)l o g i s t i c 模型最優(yōu)捕撈的存在性及一個(gè)s i r 傳染病傳播模型的最優(yōu)控制存在性， 說(shuō)明了該方法在較第三章更為廣泛的情形中運(yùn)用的可能性 第二章松弛控制介紹及相關(guān)引理 2 1 松弛控制 第二章松弛控制介紹及相關(guān)引理 本章中，我們將介紹一下松弛控制的理論及相關(guān)定理，為后面我們的工作做 準(zhǔn)備 給定實(shí)數(shù)t 0 ，以及度量空間u 給定可測(cè)函數(shù)“) ： 0 ，t r “xu 一 允許控制集d = 扣( - ) ： 0 ，t 一u i 札( ) 可測(cè)) 有以下最優(yōu)控制問(wèn)題： 問(wèn)題( i ) ：尋找百( ) 阮d 使得 j ( 面( ) ) = ，i n ； ，( u ( ) ) 【t 】d ( 2 1 ) 其中 j ( u ( - ) ) = ，o ( f ，z ( t ) ，u ( t ) ) d t ( 2 2 ) 其中z ( ) 是與控制函數(shù)u ( ) 對(duì)應(yīng)的的狀態(tài)函數(shù)，滿足： 掣_ ，( ( ) 州啪， a e te 0 1 明 ( 2 - 3 ) l 茹( o ) = m 下面介紹一下c e s a r i 條件： 定義2 i ：令y 是個(gè)b a n a c h 空間，( z ，d ) 是個(gè)距離空間a ：z + 2 y 是個(gè)多值函數(shù) 若a 滿足以下性質(zhì)： n 苞- a ( 0 6 ( 加) ) = h ( z o ) ， ( 2 4 ) 則稱多值函數(shù)a 滿足c a s e d 條件 定義集合： e ( t ，x ) = ( 。，z o ) r 正t 1 3 u 以使：o ，0 0 ，。，讓) ，z = f ( t ，衛(wèi)，u ) ) ( 2 5 ) 眾所周知，如果對(duì)幾乎所有的t 【0 ，“多值函數(shù)e ( t ，) ：r - - - - 42 r 。r 滿足c e s a r i 條 一2 一 第二章松弛控制介紹及相關(guān)引理 件，則問(wèn)題( i ) 至少存在一個(gè)最優(yōu)控制證明可見文【1 0 而當(dāng)c e s a r i 條件不滿足時(shí)， 我們可以用松弛控制的方法來(lái)討論最優(yōu)控制的存在性 我們先列出以下假設(shè)： n 1 1 ：u 是緊度量空間 ( 1 2 ) ：對(duì)任意的z 正r 及n u ，都有，( ，z ，u ) 可測(cè)且對(duì)任意 0 ，r 】，都 有，( t ，) 連續(xù)且存在l 0 ，使得對(duì)任意t 0 ，t i ，也u ，。1 ，x 2 r n ，都有 ，( t ，x l ，t ) 一f ( t ，x 2 ，u ) i l l x l z 2 1 ( 2 6 ) ( 1 3 ) ：除了式2 6 以外，f o ( ，) 也滿足( 1 2 ) 由( 1 2 ) 可得方程( 2 3 ) 解的存在性 然后我們介紹與問(wèn)題( i ) 對(duì)應(yīng)的松弛控制問(wèn)題 令 f ；( u ) 為礦上概率測(cè)度全體冗為 o ，t 到m ( u ) 上可測(cè)函數(shù)全體，即 冗= a ( ) ： 。，丁】一川i ( 擴(kuò)) l 對(duì)任意的 ( ) g ( 礦) ，t - f h u ) 盯( t ) ( 咖) 可測(cè) 稱7 己中元為松弛控制令g ( u ) + 和l 1 ( o ，??；g ( c ，) ) 分別為e ( u ) 和l 1 ( o ，t ；g ( ) 的 共軛空間，取+ 弱拓?fù)溆靡韵路椒▽ ，( u ) 與冗看成e ( u ) + 與三1 ( o ，t ；g ( 礦) ) + 的子集，即： 口( ) = ( ”) 日 ) ( d ”) ，v 目a 以；( u ) ，九e ( ，) d ( 9 ) = z 丁9 ( ) ( ) d ( t ) ( d ”) d ， v 6 佗，9 l 1 ( 。，t ；e ( u ) ) 且任對(duì)一個(gè)連續(xù)函數(shù) ：u r ，自然地把它延拓到m ( v ) 上： ( 口) = ( ”) 目( d ”) ，v 口 4 ( u ) 在這種意義上，與，0 可自然地延拓成 o ，卅x 正妒m ( u ) 到r “的映射 與問(wèn)題( i ) 對(duì)應(yīng)的松弛控制問(wèn)題如下： 第二章松弛控制介紹及相關(guān)引理 問(wèn)題( r i b 尋找最優(yōu)松弛控制瓦( ) 阮d 使得 j ( 引) - 非i n f 冗地( ) ) ( 2 7 ) 了( 口( ) ) = p ( t ，z p ) ，a ( t ) ) d t ( 2 8 ) 其中z ( ) 是與松弛控制盯( ) 對(duì)應(yīng)的狀態(tài)函數(shù)滿足： 掣- ，( ，) ) f 0 e 川?！?( 2 9 ) i 。( o ) = 2 ；0 2 2 最優(yōu)松弛控制存在性及最大值原理 本節(jié)中，我們將列出問(wèn)題( r i ) 的最優(yōu)控制存在性定理和最大值條件把( r p ) 看 成允許可取控制集為冗的一般的最優(yōu)控制問(wèn)題，然后利用我們所熟知的最優(yōu)控制 存在性定理和最大值原理，就可以得到下面的引理詳細(xì)證明見w a r g a 1 8 】 引理2 2 ：若假設(shè)( 1 1 ) 一( 1 4 ) 成立，則問(wèn)題( r i ) 至少存在一個(gè)最優(yōu)控制 引理2 3 ：若假設(shè)( 1 1 ) 一( 1 4 ) 成立，且問(wèn)題( r i ) 存在最優(yōu)對(duì)( i ( - ) ，西( ) ) ，則存 在幾乎處處可導(dǎo)函數(shù)訊) ，滿足： 雎研) = _ _ ( t ) 殺”，球m ) ) + 麥幾球) )( 2 1 0 ) i 妒( 丁) = 0 則有 h ( t ，。，“，砂) = 一，o ( ，z ，u ) ( 2 1 1 ) 仉= 叫u i h ( t ，i ( t ) ，w ，砂( t ) ) = n ! 野h ( t ，牙0 ) ，讓，妒( ) ) ( 2 1 2 ) “t u s u p p 萬(wàn)( t ) 以，o 息t 0 ，刀 ( 2 1 3 ) 4 第二章松弛控制介紹及相關(guān)引理 2 3 最優(yōu)松弛與經(jīng)典控制 本節(jié)我們將介紹一個(gè)【8 中的引理我們將通過(guò)它來(lái)利用最優(yōu)松弛控制來(lái)得 到最優(yōu)控制的存在性 引理2 4 ：若假設(shè)( 1 1 ) 一( 1 4 ) 成立，且問(wèn)題( r i ) 存在最優(yōu)對(duì)( _ ( ) ，萬(wàn)( ) ) ，且對(duì) 幾乎所有的o 0 ，t ，都有： f ( t ，蠆( t ) ，4 1 ) = ( t ，蠆( ) ，“2 ) ，v u i ，t 2 s u p p 萬(wàn)( t ) ( 2 1 4 ) 則問(wèn)題( i ) 至少存在一組最優(yōu)對(duì) 證明 由( 2 1 2 ) n ( 2 1 3 ) ，我們可以看到對(duì)任意的? z 1 ， 1 2es u p p 萬(wàn)( t ) ，都 有，o ( t ，z ( f ) ，u 1 ) = o ( t ，4 t ) ，u 2 ) 于是，顯然可以看到對(duì)任意的u s u p p f ( t ) ， 都有，( t ，。( t ) ，盯( t ) ) 一f ( t ，z ( t ) ，u ) 以及，o ( t ，z ( t ) ，盯( t ) ) = ，o ( ，4 t ) ，“) 而且， 1 9 f i l i p p o v b 理( 詳見【l o 】) ，我們得到，存在一個(gè)可測(cè)的u ( ) 阮d ，使對(duì)幾乎所 有的f 0 ，t ，都g u ( t ) s u p p f ( t ) 于是這個(gè)“( ) 就是問(wèn)題( i ) 的最優(yōu)控制 口 一5 一 第三章最優(yōu)控制的存在性 3 1 問(wèn)題與假設(shè) 第三章最優(yōu)控制的存在性 設(shè)t 為一實(shí)數(shù)，v 是個(gè)度量空間給定可測(cè)函數(shù)f ( ) ，h ( - ) ，f o ( ) ：r r 和g ( ) ， g o ( ) ：礦一r 允許控制集玩d = ! t ( ) ：【0 ，列一r l u 可測(cè)) 本章中我們考慮 以下最優(yōu)控制問(wèn)題最優(yōu)控制的存在性： 問(wèn)題( p ) ：尋找面( - ) 鞏d 使得 j ( 面( ) ) - ，嗽l ，( 札( ) ) “【】d 其中 一 j ( u ( ) ) = f o ( z ( t ) ) + g o ( u ( t ) ) 】出， 其中。( ) 是與u ( ) 一起滿足下式的對(duì)應(yīng)控制函數(shù)u ( ) 的狀態(tài)函數(shù)： 掣訓(xùn)刪州刪州啪，a e t e 0 列 iz ( o ) = m 我們列出以下假設(shè)： ( s 1 ) ：函數(shù)，( ) ， ( ) 幾乎處處可導(dǎo)，函數(shù)9 ( - ) 連續(xù) ( s 2 ) ：，( ) ， ，( ) ，9 ( - ) 都是有界函數(shù) ( s 3 ) ：函數(shù)，o ( ) 幾乎處處可導(dǎo)，函數(shù)9 0 ( ) 連續(xù) ( s 4 ) ：u 是緊距離空間 3 2 準(zhǔn)備工作 ( 3 i ) ( 3 2 ) ( 3 3 ) 本節(jié)中，我們將建立與問(wèn)題( p ) 相應(yīng)的最優(yōu)松弛控制問(wèn)題以及證明一些引理 與問(wèn)題( p ) 對(duì)應(yīng)的松弛控制問(wèn)題如下： 問(wèn)題( r p ) ：尋找最優(yōu)松弛控制霄( ) 玩d 使得 j ( 萬(wàn)( 。) ) 2 。( i n ) f 冗j ( 盯( ) ) 一6 一 ( 3 4 ) 第三章最優(yōu)控制的存在性 其中 ，t j ( 口( ) ) ：= ，o ( x c t ) ) + g o ( d 0 ) ) 】d ， ( 3 5 ) 其中z ( ) 是與松弛控制盯( - ) 對(duì)應(yīng)的一起滿足下式的狀態(tài)函數(shù)： 掣刊刪州刪9 ( 刪，a e t e 0 , t 1 ( 3 6 ) ix ( 0 ) = 。o 然后我們將敘述兩條 8 中的引理，它們對(duì)我們的工作也至關(guān)重要 引理3 1 ：u 是一個(gè)距離空間，g l ( ) ，9 2 ( ) 是任兩個(gè)u 到r 的函數(shù) 對(duì)。r ， 定義 k = 叫l(wèi) 口9 1 ( ) 一9 2 ( w ) = s u p ( o e g l ( u ) 一9 2 ( t ) ) ) ( 3 7 ) 則至多只有可列個(gè)。r ，使得 9 ( ”) i u k ) 至少有兩個(gè)元素 證明記 v = o i 9 1 ) l 叫k ) 至少有兩個(gè)元素) 若有口 盧v ，有“1 ，仳2 k ，w 1 ，w 2 ，滿足g l ( u , ) g l ( 釷2 ) ，g l ( w 1 ) g l ( w 2 ) 則由( 3 7 ) 得知： a 9 1 ( 訛) 一9 2 ( u 1 ) a 9 1 ( w j ) 一9 2 ( w j ) ，2 = 1 ，2 ，= 1 ，2 f 1 9 1 ( w j ) 一g ( t 吩) 口9 l ( 地) 一目2 ( u t ) ，i = 1 ，2 ，j = 1 ，2 兩式相加，就得到 a g l ( u i ) + 盧9 1 ( 札0 ) a g a ( w j ) + 盧9 1 ( u 。) ，i = 1 ，2 ，j = 1 ，2 化簡(jiǎn)得： ( o p ) ( 9 1 ( t “) 一9 i ( 叫，) ) 0 ， = 1 ，2 ，= 1 ，2 所以： 9 1 ( 札。) 9 1 ( 1 吩) ，i = 1 ，2 ，j = 1 ，2 一7 一 第三章最優(yōu)控制的存在性 所以有： 9 1 沁l ) g l ( u 2 ) 吼( t u l ) 哿l z m 一( 。) 或 或一矧 吲s u 。p ，刀妒m 一嬤志 。：晶挪) 以下是我們的最優(yōu)控制存在性定理 定理3 ，1 ：若假設(shè)( s 1 ) 一( s 6 ) 成立，則問(wèn)題( p ) 至少存在一個(gè)最優(yōu)控制 證明有引理( 2 1 ) 與( 2 2 ) ，我們得知問(wèn)題( r p ) 存在最優(yōu)控制萬(wàn)( ) ，對(duì)應(yīng)松弛軌 線為t ( ) 對(duì)偶方程如下： 丟孑( 于) = 一萬(wàn)( f ) 【，( 事o ) ) + 硝( 7 ) ) 9 ( 萬(wàn)( f ) ) 】+ ，( 蠆( t ) )( 3 1 7 ) i 砂( 丁) = 0 仉= w 礦阢) 啊伽( 叫) 一9 。( 訓(xùn)) 2 搿確啊咖( u ) 一帥) ) ( 3 1 8 ) s u p p 萬(wàn)( t ) 阢，n 最t 【0 ，卅 ( 3 1 9 ) 則由引理( 2 3 ) ，只需i i e n n 幾乎所有的f 0 ，t 1 ，都有婦( “) i 札鞏) 是單點(diǎn)集，則 可得問(wèn)題( p ) 至少有一個(gè)最優(yōu)控制 由引理( 3 1 ) 與( 2 1 ) 可知，僅當(dāng)可( t ) 危( 牙( f ) ) a 時(shí)，( g ( u ) l t f u d 不是單點(diǎn)集 又由引理( 3 3 ) 得知，對(duì)每個(gè)舟n ，對(duì)幾乎所有的t 滿足萬(wàn)( t ) ( 薯( t ) ) = q k ，都有： 曇( 確 ( z ( ) ) ) = o ( 3 - 2 0 ) 于是結(jié)合式( 3 3 ) 與( 3 1 7 ) 有： 丟母( 啪( 鄧) ) j ， 五d 州- 啊t ) ) + 確忡( t ) ) 面d 蠆( t ) 1 0 一 第三章最優(yōu)控制的存在性 = 一萬(wàn)( t ) ( j ( t ) ) ，7 ( 蠆( f ) ) 一萬(wàn)( f ) ( z ( ) ) 7 ( 面( ) ) 口( 萬(wàn)( t ) ) + 危( 蠆( t ) ) ，0 7 ( 蠆( t ) ) + 事( t ) ，。7 ( j g ) ) ，( _ 0 ) ) + 硒( ) 是( _ ( t ) ) 丸( j ( ) ) g ( 萬(wàn)0 ) ) ， = 一硒( t ) ( i ( t ) ) ，( z 0 ) ) + ( 蠆( t ) ) ，o ( i ( t ) ) + 萬(wàn)0 ) ( 蠆( t ) ) ，( i ( ) ) ， = 一萬(wàn)( ) 2 ( 面( t ) ) ，( 蠆( ) ) + h 2 ( 蠆( ) ) ，0 7 ( i ( t ) ) + ( 蠆 ) ) 萬(wàn) ) 九( i ( t ) ) ，( 蠆( t ) ) = 一n k ( ( 蠆 ) ) ，( j 0 ) ) 十危2 ( z 0 ) ) ，o ( z ) ) 4 - q ( 芽( t ) ) ，( 季( ) ) 由f 隉i r ( s s ) ，幾乎所有的使( 9 ( u ) i u 阢) 不是單點(diǎn)集的t ，都有i ( t ) x n k i n n ，k ) 對(duì)某一組( 仃，女) 再次應(yīng)用引理( 3 2 ) ，對(duì)蠆( t ) = x n k 的t 幾乎處處成立： ，( i ( t ) ) + h ( 苗( t ) ) 9 ( 萬(wàn)( t ) ) = 0 因此若 ( z 。b ) = 0 ，則有，( z 。k ) = o 以及n 女= ( z 。k ) 萬(wàn)( t ) 得h ( x 觸) 幾乎處處不為0 所以對(duì)幾乎所有的使蠆( ) = g g n k ，都有 黼) ) - 一剿 ( 3 2 1 ) 0 由( s 6 ) ，可 ( 3 2 2 ) 和 酗2 福o t k ( 3 2 3 ) 很容易得知，分別由( 3 。1 2 ) ，( 3 1 3 ) ，( 3 1 4 ) ，( 3 1 5 ) 所定義的霉。( t ) ，。( - ) ，。( ) ， 妒。t 。( ) ，分別是方程( 3 3 ) n ( 3 1 7 ) 1 拘解的上下界同樣，g 。與帥。分別是掃( 口) l p m 的上下界于是由( 3 2 2 ) ，( 3 2 3 ) n 假設(shè)( s 6 ) ，我們得n t l 面( t ) = x n k ) 是零測(cè)度 集 于是我們得n g ( u ) l u u d 對(duì)幾乎所有的t 【o ，叫都是單點(diǎn)集于是問(wèn) 題( p ) 至少存在一個(gè)最優(yōu)控制 口 第四章兩個(gè)生物最優(yōu)控制問(wèn)題及其最優(yōu)控制存在性 第四章兩個(gè)生物最優(yōu)控制問(wèn)題及其最優(yōu)控制存在性 4 1 l o g i s t i c 模型的最優(yōu)捕撈 考慮一個(gè)經(jīng)典的l o g i s t i c 生態(tài)模型。時(shí)間區(qū)域 o ，t i ，時(shí)間種群大小為( t ) ，初 始狀態(tài)0 o 矛盾于是可以得 到滿足方程( 4 11 ) 的( ) 恒正于是，對(duì)幾乎所有使( 4 1 5 ) 成立的t ，都有： a 萬(wàn)( t ) 丙0 ) e 乳+ p d p a m + p a n ( t ) = 0 ( 4 1 7 ) 一1 4 第四章兩個(gè)生物晟優(yōu)控制問(wèn)題及其最優(yōu)控制存在性 將( 4 11 ) 代入，得 a a e 乳+ p 6 一p a m + 2 p a n ( t ) = 0 ( 4 1 8 ) 所以，對(duì)幾乎所有使( 4 1 5 ) 成立的t ，都有： 剮= a a e 6 1 t - 廠p 5 + p a m 將其代入方程( 4 1 1 ) ，再由引理3 1 ，對(duì)幾乎所有使( 4 1 5 ) 成立的t 都有： 咧州刪= a ( m 一a a e 6 t - r p 6 + p a m ，x a a e 6 + p d + p a m 2 p 由叫小刪u ，我們得至| | ： 即 ( 4 1 9 ) 。 - - a a e 6 t 酉+ p 一6 + p a m q ( 4 2 。) 一p 6 一 p a m 一a a e 6 2 p a p j p a m ( 4 2 1 ) - 2 p a + _ p 5 + p a m 盤 y ( o ) 可見當(dāng)t 很大時(shí)，滿足該條件的 成本函數(shù)的范圍是相當(dāng)廣的 推論4 3 ：如果有 p 6 + 、p a m e 一6 t - 2 p a + _ p 6 一+ p a m ， ( 4 2 4 ) a 則問(wèn)題( q i ) 至少存在一個(gè)最優(yōu)控制 由定理( 4 1 ) ，這個(gè)結(jié)論是顯然的說(shuō)明，在三望竺生；叢絲 o 的情況下，只 要t 足夠大，最優(yōu)控制必定存在 4 2s l r 模型的最優(yōu)控制 考慮一個(gè)流行病傳染的s m 模型與前面所討論的不同的是，它是個(gè)二維的系 統(tǒng)但我們?nèi)詫⑹褂枚ɡ? 3 3 ) 的證明所使用的方法來(lái)討論它的最優(yōu)控制存在性 設(shè)我們考慮的時(shí)間區(qū)域?yàn)椤? ，t 1 一個(gè)疫區(qū)內(nèi)易感人數(shù)隨時(shí)間變化的函數(shù) 為s ( ) ，染病人數(shù)為，( t ) 初始狀態(tài)分別為島，矗，為兩個(gè)正實(shí)數(shù)p 為傳染率，r 為 治愈率與死亡率的總和，是兩個(gè)非零實(shí)數(shù)加上控制u ( t ) 為在時(shí)l t t 所接種的疫苗 一1 6 第四章兩個(gè)生物最優(yōu)控制問(wèn)題及其最優(yōu)控制存在性 己，r + 是一個(gè)有界緊集則，z ( ) d = ( “( ) i v t ( 0 ，t 】，“( t ) 且“( ) 可測(cè)) 我們的系統(tǒng)如下： f 4 2 5 ) 由常微分方程的理論可知，上系統(tǒng)有局部i i p c h i s z 條件，因此解唯一存在且連 續(xù)假如存在一點(diǎn)s ( t ) = 0 ，則由唯一性，可得到s ( o ) 0 ，與s ( o ) = s o o 矛盾 因此可以得到對(duì)方程解存在的范圍，都有s ( ) 0 同樣在，( ) 解的存在范圍內(nèi)都 有( ) 0 于是由( 4 2 5 ) ，兩式相加得 丟( 即) + m ) ) = 一躑) u 一州) y ( 0 ) ，則問(wèn)題( q 2 ) 存 一1 7 一 鄧啪 邛似i = 叫島h 州驢壚知鼽刪刪 第四章兩個(gè)生物最優(yōu)控制問(wèn)題及其最優(yōu)控制存在性 在至少一個(gè)最優(yōu)控制 證明先建立與問(wèn)題( q 2 ) 相應(yīng)的松弛最優(yōu)控制問(wèn)題集合m l 與冗的定義如第 二章問(wèn)題( r q 2 ) ：尋找面( ) 阮d 使得 t ，( _ ( ) ) _ 計(jì)i n l 冗f 如( ) ) f 4 2 8 ) 其中 r j j ( 盯( - ) ) = 【，( t ) + a v ( a ( t ) ) d t ( 4 2 9 ) j 0 其中z ( r ) 是與a ( ) 對(duì)應(yīng)的狀態(tài)函數(shù)滿足： 丟跚) = 一例啪 d i ( t ) = 盧s ( f ) ，( t ) 一 s ( o ) = s o ， i ( o ) = i o s ( t ) v a ( t ) ( d v ) ， j u ，( t ) ，( 4 3 0 ) 則首先，由引理2 1 得知，問(wèn)題( r q 2 ) 至少存在一組最優(yōu)控制設(shè)最優(yōu)松弛控制 為萬(wàn)( ) ，對(duì)應(yīng)的狀態(tài)函數(shù)為虧( ) ，了( ) 對(duì)偶方程如下： 嘏：；) = 一( 囂咄篇蚺c 咖憾；) + 0 ) 【妒l ( 丁) = 奶( 丁) = 0 瓦d - 妒。( ) = 廊( t ) 萬(wàn)。( t ) + ”萬(wàn)( 州如) 石。( t ) + 廊( t ) _ 2 ( 鞏( 4 , 3 2 ) 面d 妒- 2 ( t ) = 一? _ ( f ) 可l ( t ) 一廊( ) _ 2 ( ，) + r _ 2 ( t ) + 1 ( 4 3 3 ) 一1 8 第四章兩個(gè)生物最優(yōu)控制問(wèn)題及其最優(yōu)控制存在性 ，叭滬 一一c 曠州卅烈， 去掉與u 無(wú)關(guān)的項(xiàng)，得到： 以= w l 一剮砷) 叫一a y ( w ) - m a x 一剛碘) 札一a y ( 札) 】) ( 4 3 5 ) 由引理3 ，l 得知，至多只有可列個(gè)實(shí)數(shù)a t ，使得僅當(dāng)君0 ) 萬(wàn)。( t ) = k 時(shí)，不是單點(diǎn) 集再由引理3 2 ，得知： 裊君( t ) 珊) + 君( ) 荔d - 砂。( ) = o ，。息君( t ) 礬) = 。 ( 4 3 6 ) 將式( 4 3 2 ) 與( 4 3 0 ) 代入，得： 一口萬(wàn)( t ) 君o ) 了p ) 一可。o ) 否( t ) 廠w 于( t ) ( d ”) + 后零( ) 7 ( t ) 巧。( ) 矗 + _ ( 嘶1 ( f ) 叫州幽) + 廊2 珊) ， 療護(hù)( ) 玩( t ) 由口 o 以及s ( ) 0 ，我們得到對(duì)幾乎所有使可( ) 萬(wàn)【( t ) = q 的t ，都有 ，l h 2 ( t ) = 0( 4 3 7 ) 于是由( 4 3 3 ) 與引理( 2 2 ) ，我們得知幾乎所有使君( t ) - 1 ( t ) = o 的t ，都有 即 0 = 1 一盧，( t ) 妒1 ( t ) 一1 ( t ) w 。( ) = 曇 1 9 一 f 4 3 8 ) 第四章兩個(gè)生物最優(yōu)控制問(wèn)題及其最優(yōu)控制存在性 我們得知萬(wàn)l ( t ) 0 于是，我們有 口k 0( 4 3 9 ) 因此，只要我們的成本函數(shù)y 滿足，對(duì)任意的q y ( 0 ) 的話，則對(duì)o o u a 礦( u ) 這樣對(duì)所有的t ，都有鞏= o ) 于是i b n ( q 2 ) 至少存在一個(gè)最優(yōu)控 制口 我們可以看到，定理中的條件意味著打疫苗所花的成本永遠(yuǎn)比不打疫苗所花 的成本要高，這是自然成立的也就是說(shuō)，在一般情況下，問(wèn)題( q 2 ) 都存在著最優(yōu) 控制 一2 0 一 參考文獻(xiàn) 參考文獻(xiàn) 【llb a l d e rf ao na u s e f u lc o m p a c t i f i c a t i o nf o ro p t i m a lc o n t r o lp r o b l e m s j 】jm a t ha n a la p p l ，1 9 7 9 7 2 ：3 9 1 3 9 8 【2 】b a l d e re ja g e n e r a la p p r o a c ht ol o w e rs e m i c o n t i n u i t ya n dl o w e rc l o s u r ei no p d m mc o n t r o lt h e o r y 【j 】s i a mjc o n t r o lo p t i m 。1 9 8 4 ，2 2 ：5 7 0 - 5 9 8 【3 】b a l d e re j n e we x i s t e n c er e s u l t sf o ro p r i r e a lc o n t r o l si nt h ea b s e n c eo fc o n v e x i t y ：t h ei m p o r t a n c e o f e x t r e m m i c y j 】s i a mjc o n t r o lo p t i m 1 9 9 4 ，3 2 ：8 9 0 - 9 1 6 【4 】b e r k o v i t zl d o p t i m a lc o n t r o lt h e o r y 【m 】n e wy o r k ：s p r i n g e r - v e r l a g ，1 9 8 3 【5 】c e s a r il e x i s t e n c et h e o r e mf o rw e a ka n du s u a ls o l u t i o n si nl a g r a n g ep r o b l e m sw i t hu n i l a t e r a l c o n s t r a i n t s 【j 1 it r a n sa m e rm a t hs o c ，1 9 6 6 ，1 2 4 ：3 6 9 - 4 1 2 【6 】c e s a r il o p t i m i z a t i o nt h e o r ya n da p p l i c a t i o n s ，p r o b l e m sw i t ho r d i n a r ye q u a t i o n s 【m 】n e w y o r k ：s p r i n g e r - v e r l a g ，1 9 8 3 7 】f l o r e s b a z g nf ，p e r m t t as n o n c o n v e xv a r i a t i o n a lp r o b l e m sr e l a t e dt oah y p e r b o l i ce q u a t i o n 【j 】 s i a mjc o n t r o lo p t i m ，1 9 9 9 ，3 7 ：1 7 5 1 - 1 7 6 6 【8 】hl o u e x i s t e n c eo fo p t i m a lc o n t r o l sf o rs e m i l i n e a rp a r a b o l i ce q u a t i o n sw i t h o u tc e s a r i - t y p e c o n d i t i o n s j 】a p p lm a t ho p t i m 2 0 0 3 ，4 7 ：1 2 1 - 1 4 2 【9 1hl o u 。e x i s t e n c eo fo p t i m a lc o n t r o l sf o r s e m i l i n e a re l l i 曲ce q u a t i o n sw i t h o u tc e s a r i - t y p e c o n d i t i o n s j 1 a n z i a mj ，2 0 0 3 ，4 5 ：11 5 - 1 3 1 【1 0 l ix ，y o n gj o p t i m a lc o n t r o lt h e o r yf o ri n f i n i t ed i m e n s i o n a ls y s t e m s m l ，b o s t o n ：b i r k h b u s e r 1 9 9 5 2 l 一 叁耋奎墮 【1 l 】n e u s t a d t l w t h ee x i s t e n c eo f o p t i m a lc o n t r o l s i n t h ea b s e n c eo f c o n v e x i t yc o n d i t i o n s j 】j m a t h a n a l a p p l ，1 9 6 3 ，7 ：1 1 0 1 t 7 【1 2 】p a p a g e o r g i o u p r o p e r t i e so f t h er e l a x e d t r a j e c t o r i e so f e v o l u t i o ne q u a t i o n sa n do p t i m a lc o n t r o l j s i a mjc o n t r o lo p t i m 1 9 8 9 ，2 7 ：2 6 7 - 2 8 8 1 3 r a y m o n dj e c o n d i t i o n sn 6 c e s s a i r e se ts u f f i s a n t e sd ，e x i s t e n c e d es o l u t i o n se nc a l c u ld e sv a r i a t i o n s 【j 1 a n ni n s thp o i n c a r 6a n a l y s en o nl i n 6 a i m ，1 9 8 7 ，4 ：1 6 9 - 2 0 2 1 4 1r a y m o n dj ee x i s t e n c et h e o r e m si no p t i m a lc o n t r o lt h e o r yw i t h o u tc o n v e x i t ya s s u m p t i o n s