復(fù)變函數(shù)論文 復(fù)、實變函數(shù)的比較與應(yīng)用.doc

復(fù)、實變函數(shù)的比較與應(yīng)用作 者：阮玲花 學(xué) 號：201310401205專 業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 復(fù)、實變函數(shù)的比較與應(yīng)用 姓名：阮玲花 班級：數(shù)學(xué)132 學(xué)號：201310401205 數(shù)域從實數(shù)域擴大到復(fù)數(shù)域后，便產(chǎn)生了復(fù)變函數(shù)論，并且深入到了微分方程、拓撲學(xué)等數(shù)學(xué)分支。復(fù)變函數(shù)論著重討論解析函數(shù)，而解析函數(shù)的實部與虛部是相互聯(lián)系的,這與實函數(shù)有根本的區(qū)別。有關(guān)實函數(shù)的一些概念，很多都是可以推廣到復(fù)變函數(shù)上。例如：函數(shù)的連續(xù)性、函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、有（無）界函數(shù)、中值定理、泰勒展式、基本初等函數(shù)等等。 在中學(xué)我們主要了解學(xué)習(xí)了實變函數(shù)，與大學(xué)期間我們又更加深入的學(xué)習(xí)研究了實變函數(shù)，與此同時，也開始復(fù)變函數(shù)的學(xué)習(xí)。由此我們看到了：“數(shù)的擴展：正數(shù)負數(shù)實數(shù)”,在實數(shù)范圍內(nèi)：當(dāng)方程判別式小于0時，沒有實根。擴大數(shù)域，引進復(fù)數(shù)，這樣容易給人一種由淺入深、由簡入繁、由特殊到一般的感覺，它們有很深的聯(lián)系，然而事實上，他們有很大的不同，有很大的區(qū)別。下面我們從幾個方面來說明實變函數(shù)與復(fù)變函數(shù)的聯(lián)系與區(qū)別。（一）實變函數(shù)實變函數(shù)論即討論以實數(shù)為變量的函數(shù),然而實變與常微分方程等不同,簡單地說就是恰當(dāng)?shù)母脑旆e分定義使得更多的函數(shù)可積。由于諸如狄利克雷這樣的簡單函數(shù)都不可積，所以原有的積分范圍太窄了，進而便產(chǎn)生了Lebesgue創(chuàng)立新積分的原始思路。Lebesgue積分：（二）復(fù)變函數(shù) 復(fù)變函數(shù)是數(shù)學(xué)分析的繼續(xù)，復(fù)變函數(shù)的定義：若在復(fù)數(shù)平面上存在一個點集，對于的每一點z，按照一定規(guī)律，有一個或多個復(fù)數(shù)值與之相對應(yīng)，則稱為z的函數(shù)，記作，z 鄰域：以復(fù)數(shù)為圓心，以任意小正實數(shù)為半徑做一個圓，則圓內(nèi)所有點的集合稱為的鄰域。把復(fù)變函數(shù)的的實部和虛部分別記作u(x,y)和v(x,y)，=u(x,y)+iv(x,y)，所以，復(fù)變函數(shù)可以歸結(jié)為一對二元實變函數(shù)。（三） 實變函數(shù)及與復(fù)變函數(shù)比較1自變量的不同 以實數(shù)作為自變量的函數(shù)就做實變函數(shù)；即實數(shù)實變量實變函數(shù)。以復(fù)數(shù)作為自變量的函數(shù)就叫做復(fù)變函數(shù)；即復(fù)數(shù)復(fù)變量復(fù)變函數(shù)。2.實變函數(shù)與復(fù)變函數(shù)的聯(lián)系區(qū)別 因為z=x+yi,所以復(fù)變函數(shù)y=的實部與虛部都是x,y的函數(shù)，即=u(x,y)+iv(x,y),由此可以看成：一個復(fù)變函數(shù)是兩個實變函數(shù)的有序組合。這樣，實變函數(shù)的許多定義、公式，定理可直接移植到復(fù)變函數(shù)中。然而同時，由于復(fù)變函數(shù)的虛部，實變函數(shù)的許多定義、公式，定理也不再是用于復(fù)變函數(shù)。對于復(fù)變函數(shù)與實變函數(shù)，我們分別學(xué)習(xí)了兩者的點集、序列、極限、連續(xù)性、可微性、積分等性質(zhì)與應(yīng)用。然而同時，由于復(fù)變函數(shù)的虛部，所要求的點集、序列、極限、連續(xù)性、可微性、積分等性質(zhì)與應(yīng)用的定義也不盡相同。3復(fù)變函數(shù)與實變函數(shù)關(guān)于導(dǎo)數(shù)概念的敘述是相似的，即都是由函數(shù)值的差與自變量的差之商的極限來定義導(dǎo)數(shù)，它們的聯(lián)系也是密切的，區(qū)別則是整個取值的差異。復(fù)變函數(shù)在復(fù)數(shù)域中取值，實變函數(shù)在實數(shù)域內(nèi)取值，但兩種微分的幾何意義是相同的。對于微分的性質(zhì)，實變函數(shù)與復(fù)變函數(shù)有以下三大點的不同。（1）微分中值定理微分中值定理是微分學(xué)的重要內(nèi)容，表現(xiàn)形式一般為柯西中值定理，羅爾中值定理及拉格朗日中值定理，微分中值定理在復(fù)數(shù)域中是不成立的。我們以羅爾定理來舉例證明。羅爾定理：若函數(shù)滿足：在閉區(qū)間上連續(xù)；在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且；則必存在，使得。證明：取，在整個復(fù)平面上解析，且，但，無論取什么值都不會為零，也就是說羅爾定理的結(jié)論對函數(shù)不成立。 故微分中值定理不能直接推廣到復(fù)變函數(shù)中來。（2）解析函數(shù)零點的孤立性 在復(fù)變函數(shù)論中，區(qū)域D內(nèi)點可微的復(fù)變解析函數(shù)的零點總是孤立的。而實變函數(shù)體現(xiàn)出的性質(zhì)則截然相反。例1：如在|R內(nèi)的解析函數(shù)不恒為零，a為其零點，則必有a的一個鄰域，使得在其中無異于a的零點（不恒為零的解析函數(shù)零點必孤立）。 證明：設(shè)a為的m級零點，則=()(z) . 其中(z)在|R內(nèi)解析，且（a）0. 從而(z)在點a連續(xù) . 于是存在鄰域|rR使得(z)在其中恒不為零. 故在其中無異于a的零點. 例2：一個實函數(shù)的零點不一定是孤立的。 如函數(shù)，當(dāng)x0時=xsin，當(dāng)x=0時=0. 證明：由題意得，函數(shù)在x=0處可微，且以x=0為零點，此外x=也是它的零點，并以0為聚點。（3） 解析函數(shù)的無窮可微性在復(fù)變函數(shù)中，若在區(qū)域D內(nèi)解析，則在區(qū)域D內(nèi)具有各階導(dǎo)數(shù)，并且它們也在區(qū)域D內(nèi)解析。復(fù)變函數(shù)的這一性質(zhì)稱為解析函數(shù)的無窮可微性。但在實變函數(shù)中，區(qū)間上的可微函數(shù)，是不一定具有二階導(dǎo)數(shù)的，更談不上具有高階導(dǎo)數(shù)，這樣的例子是很多的。例：由高階導(dǎo)數(shù)的柯西積分公式可得設(shè)函數(shù)在閉區(qū)域D上解析（D為單連通區(qū)域或多連通區(qū)域），則在D內(nèi)的任意階導(dǎo)數(shù)存在，且 ()= (n=1,2,.). 其中C為D的邊界，取正向：. 但實變函數(shù)中，任意=不具有二階導(dǎo)數(shù)。4.復(fù)變函數(shù)積分性質(zhì)與實變函數(shù)積分性質(zhì)的區(qū)別復(fù)變函數(shù)積分的定義類似數(shù)學(xué)分析里積分的方法，采取的是分割、近似替代、求和、取極限等步驟來建立的，但形式像一元積分，而實質(zhì)像曲線積分，也就是復(fù)變函數(shù)的積分在本質(zhì)上與實變函數(shù)中第一類曲線積分相似。復(fù)變函數(shù)積分的牛頓萊布尼茲公式與實一元函數(shù)的牛頓萊布尼茲公式在形式和結(jié)果上幾乎是完全一致，但實變函數(shù)積分對函數(shù)的要求比復(fù)變函數(shù)積分對函數(shù)的要求要低得多。用牛頓萊布尼茲公式計算復(fù)變函數(shù)積分，首先要解決的是，積分上下限的兩點是否可以包含在一個單連通域內(nèi)，且被積函數(shù)是否在該單連通域內(nèi)解析。復(fù)變函數(shù)與實變函數(shù)積分最大的不同之處是復(fù)變函數(shù)積分主要研究簡單閉曲線上的積分dz，方法不同于高等數(shù)學(xué)中的方法，但思想有相同之處。復(fù)合閉路定理或留數(shù)定理，表達了邊界與內(nèi)部的聯(lián)系，在高等數(shù)學(xué)中的牛頓萊布尼茲公式、格林公式、高斯公式同樣表達了邊界與內(nèi)部的聯(lián)系。（四）復(fù)變函數(shù)微積分理論在實際中的應(yīng)用復(fù)變函數(shù)論的方法在力學(xué)、物理學(xué)、以及工程技術(shù)中都有應(yīng)用，就是把流體力學(xué)、彈性力學(xué)、電磁學(xué)、熱學(xué)、電工以及通訊中的一些問題轉(zhuǎn)化為復(fù)變函數(shù)中的一些問題，用解析函數(shù)來解決。而計算一些實積分可以采用留數(shù)定理。 利用復(fù)變函數(shù)的微分性質(zhì)研究平面向量場的相關(guān)問題 可以統(tǒng)一研究靜電場的里函數(shù)和勢函數(shù)，討論電力線和等勢線的分布，描繪出靜電場的圖像。 復(fù)變函數(shù)積分的相關(guān)理論在流體力學(xué)中的應(yīng)用留數(shù)的相關(guān)理論在積分計算中應(yīng)用