最新(同濟大學)高等數(shù)學課件d1_3函數(shù)的極限

,第一章,一、自變量趨于有限值時函數(shù)的極限,第三節(jié),自變量變化過程的六種形式:,二、自變量趨于無窮大時函數(shù)的極限,本節(jié)內(nèi)容 :,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,函數(shù)的極限,一、自變量趨于有限值時函數(shù)的極限,1.,時函數(shù)極限的定義,引例. 測量正方形面積.,面積為A ),邊長為,(真值:,邊長,面積,直接觀測值,間接觀測值,任給精度 ,要求,確定直接觀測值精度 :,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,定義1 . 設函數(shù),在點,的某去心鄰域內(nèi)有定義 ,當,時, 有,則稱常數(shù) A 為函數(shù),當,時的極限,或,即,當,時, 有,若,記作,幾何解釋:,極限存在,函數(shù)局部有界,(P36定理2),這表明:,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,例1. 證明,證:,故,對任意的,當,時 ,因此,總有,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,例2. 證明,證:,欲使,取,則當,時 , 必有,因此,只要,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,例3. 證明,證:,故,取,當,時 , 必有,因此,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,例4. 證明: 當,證:,欲使,且,而,可用,因此,只要,時,故取,則當,時,保證 .,必有,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,2. 保號性定理,定理1 . 若,且 A 0 ,證: 已知,即,當,時, 有,當 A 0 時,取正數(shù),則在對應的鄰域,上,( 0),則存在,( A 0 ),(P37定理3),機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,若取,則在對應的鄰域,上,若,則存在,使當,時, 有,推論:,(P37 推論),分析:,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,定理 2 . 若在,的某去心鄰域內(nèi), 且,則,證: 用反證法.,則由定理 1,的某去心鄰域 ,使在該鄰域內(nèi),與已知,所以假設不真,(同樣可證,的情形),思考: 若定理 2 中的條件改為,是否必有,不能!,存在,如,假設 A 0 ,條件矛盾,故,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,3. 左極限與右極限,左極限 :,當,時, 有,右極限 :,當,時, 有,定理 3 .,( P38 題8 ),機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,例5. 設函數(shù),討論,時,的極限是否存在 .,解: 利用定理 3 .,因為,顯然,所以,不存在 .,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,二、自變量趨于無窮大時函數(shù)的極限,定義2 . 設函數(shù),大于某一正數(shù)時有定義,若,則稱常數(shù),時的極限,幾何解釋:,記作,直線 y = A 為曲線,的水平漸近線,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,A 為函數(shù),例6. 證明,證:,取,因此,注:,就有,故,欲使,即,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,直線 y = A 仍是曲線 y = f (x) 的漸近線 .,兩種特殊情況 :,當,時, 有,當,時, 有,幾何意義 :,例如，,都有水平漸近線,都有水平漸近線,又如，,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,內(nèi)容小結,1. 函數(shù)極限的,或,定義及應用,2. 函數(shù)極限的性質:,保號性定理,與左右極限等價定理,思考與練習,1. 若極限,存在,2. 設函數(shù),且,存在, 則,例3,作業(yè) P3