（浙江專用）2020屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第六章數(shù)列6.3等比數(shù)列課件.pptx

6.3 等比數(shù)列,高考數(shù)學(xué) (浙江專用),(2018浙江,10,4分)已知a1,a2,a3,a4成等比數(shù)列,且a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3).若a11,則 ( ) A.a1a3,a2a4 D.a1a3,a2a4,A組 自主命題浙江卷題組,五年高考,答案 B 本題考查等比數(shù)列的概念和性質(zhì),利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性和最值,不等式的性質(zhì) 和分類討論思想. 設(shè)f(x)=ln x-x(x0),則f (x)= -1= , 令f (x)0,得01, f(x)在(0,1)上為增函數(shù),在(1,+)上為減函數(shù), f(x)f(1)=-1,即有l(wèi)n xx-1. 從而a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3)a1+a2+a3-1,a41,公比q0,矛盾. 若q0,ln(a1+a2+a 3)ln a10,也矛盾.-10,a1a3. 同理, =q2a2.選B.,解后反思 (1)由題中的選項(xiàng)可知要判斷01. (2)由條件可知要利用不等式ln xx-1(x0),得a40,而a20,利用-1q0得結(jié)論.,考點(diǎn)一 等比數(shù)列的有關(guān)概念及運(yùn)算,B組 統(tǒng)一命題、省（區(qū)、市）卷題組,1.(2019課標(biāo)全國文,6,5分)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列an的前4項(xiàng)和為15,且a5=3a3+4a1, 則a3= ( ) A.16 B.8 C.4 D.2,答案 C 本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì);以等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式為載體考查學(xué)生的運(yùn)算 求解能力;體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng). 設(shè)等比數(shù)列的公比為q, 由a5=3a3+4a1得a1q4=3a1q2+4a1, q2=4,又an0,q=2, 由S4= =15,解得a1=1. a3=a1q2=4,故選C.,易錯警示 對an=a1qn-1和Sn= (q1)未能熟練掌握,從而導(dǎo)致失分.,2.(2017課標(biāo)全國理,3,5分)我國古代數(shù)學(xué)名著算法統(tǒng)宗中有如下問題:“遠(yuǎn)望巍巍塔七 層,紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增,共燈三百八十一,請問尖頭幾盞燈?”意思是:一座7層塔共掛了381盞燈,且 相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍,則塔的頂層共有燈 ( ) A.1盞 B.3盞 C.5盞 D.9盞,答案 B 本題主要考查數(shù)學(xué)文化及等比數(shù)列基本量的計(jì)算. 由題意可知,由上到下燈的盞數(shù)a1,a2,a3,a7構(gòu)成以2為公比的等比數(shù)列,S7= =381,a 1=3.故選B.,3.(2015課標(biāo),4,5分)已知等比數(shù)列an滿足a1=3,a1+a3+a5=21,則a3+a5+a7= ( ) A.21 B.42 C.63 D.84,答案 B 設(shè)an的公比為q,由a1=3,a1+a3+a5=21得1+q2+q4=7,解得q2=2(負(fù)值舍去).a3+a5+a7=a 1q2+a3q2+a5q2=(a1+a3+a5)q2=212=42.,4.(2019課標(biāo)全國文,14,5分)記Sn為等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和.若a1=1,S3= ,則S4= .,答案,解析 本題主要考查等比數(shù)列的有關(guān)概念;考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力;考查的核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué) 運(yùn)算. 設(shè)公比為q(q0), 則S3=a1+a2+a3=1+q+q2= , 解得q=- , a4=a1q3=- , S4=S3+a4= - = .,5.(2019課標(biāo)全國理,14,5分)記Sn為等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和.若a1= , =a6,則S5= .,答案,解析 本題主要考查等比數(shù)列基本量的計(jì)算;考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力;考查的核心素養(yǎng)是數(shù) 學(xué)運(yùn)算. 設(shè)an的公比為q,由 =a6,得 =a4q2,a4=q2. 又a4=a1q3,a1q3=q2,又a1= ,q=3. 由等比數(shù)列求和公式可知S5= = .,解題關(guān)鍵 由an=a1qn-1=amqn-m求出公比q是關(guān)鍵.,6.(2017課標(biāo)全國理,14,5分)設(shè)等比數(shù)列an滿足a1+a2=-1,a1-a3=-3,則a4 = .,答案 -8,解析 本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng). 設(shè)等比數(shù)列an的公比為q,由題意得 解得 a4=a1q3=-8.,7.(2016課標(biāo)全國,15,5分)設(shè)等比數(shù)列an滿足a1+a3=10,a2+a4=5,則a1a2an的最大值為 .,答案 64,解析 設(shè)an的公比為q,于是a1(1+q2)=10, a1(q+q3)=5, 聯(lián)立得a1=8,q= , an=24-n,a1a2an=23+2+1+(4-n)= = 26=64.a1a2an的最大值為64.,評析 本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式,以及二次函數(shù)的最值.屬綜 合性問題.,8.(2018課標(biāo)全國文,17,12分)已知數(shù)列an滿足a1=1,nan+1=2(n+1)an.設(shè)bn= . (1)求b1,b2,b3; (2)判斷數(shù)列bn是不是等比數(shù)列,并說明理由; (3)求an的通項(xiàng)公式.,解析 (1)由條件可得an+1= an. 將n=1代入得,a2=4a1,而a1=1,所以a2=4. 將n=2代入得,a3=3a2,所以a3=12. 從而b1=1,b2=2,b3=4. (2)bn是首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列. 由條件可得 = ,即bn+1=2bn, 又b1=1,所以bn是首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列. (3)由(2)可得 =2n-1,所以an=n2n-1.,方法規(guī)律 等比數(shù)列的判定方法: 證明一個數(shù)列為等比數(shù)列常用定義法或等比中項(xiàng)法,通項(xiàng)公式法及前n項(xiàng)和公式法只用于選擇 題、填空題中的判定.若證明某數(shù)列不是等比數(shù)列,則只需證明存在連續(xù)三項(xiàng)不成等比數(shù)列即 可.,9.(2018課標(biāo)全國文,17,12分)等比數(shù)列an中,a1=1,a5=4a3. (1)求an的通項(xiàng)公式; (2)記Sn為an的前n項(xiàng)和.若Sm=63,求m.,解析 本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式. (1)設(shè)an的公比為q,由題設(shè)得an=qn-1. 由已知得q4=4q2,解得q=0(舍去)或q=-2或q=2. 故an=(-2)n-1或an=2n-1. (2)若an=(-2)n-1,則Sn= . 由Sm=63得(-2)m=-188,此方程沒有正整數(shù)解. 若an=2n-1,則Sn=2n-1.由Sm=63得2m=64,解得m=6. 綜上,m=6.,易錯警示 解方程時,注意對根的檢驗(yàn).求解等比數(shù)列的公比時,要結(jié)合題意進(jìn)行討論、取值, 避免錯解.,10.(2016課標(biāo)全國,17,12分)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=1+an,其中0. (1)證明an是等比數(shù)列,并求其通項(xiàng)公式; (2)若S5= ,求.,解析 (1)由題意得a1=S1=1+a1, 故1,a1= ,a10. (2分) 由Sn=1+an,Sn+1=1+an+1得an+1=an+1-an,即an+1(-1)=an.由a10,0得an0,所以 = . 因此an是首項(xiàng)為 ,公比為 的等比數(shù)列,于是an= . (6分) (2)由(1)得Sn=1- . 由S5= 得1- = ,即 = . 解得=-1. (12分),思路分析 (1)先由題設(shè)利用an+1=Sn+1-Sn得到an+1與an的關(guān)系式,要證數(shù)列是等比數(shù)列,關(guān)鍵是看an +1與an之比是不是一常數(shù),其中說明an0是非常重要的.(2)利用第(1)問的結(jié)論解方程求出.,11.(2016四川,19,12分)已知數(shù)列an的首項(xiàng)為1,Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和,Sn+1=qSn+1,其中q0,n N*. (1)若2a2,a3,a2+2成等差數(shù)列,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式; (2)設(shè)雙曲線x2- =1的離心率為en,且e2= ,證明:e1+e2+en .,解析 (1)由已知,Sn+1=qSn+1,Sn+2=qSn+1+1, 兩式相減得到an+2=qan+1,n1. 又由S2=qS1+1得到a2=qa1, 故an+1=qan對所有n1都成立. 所以,數(shù)列an是首項(xiàng)為1,公比為q的等比數(shù)列. 從而an=qn-1.由2a2,a3,a2+2成等差數(shù)列,可得 2a3=3a2+2,即2q2=3q+2,則(2q+1)(q-2)=0, 由已知,q0,故q=2.所以an=2n-1(nN*).,(2)由(1)可知,an=qn-1. 所以雙曲線x2- =1的離心率en= = . 由e2= = ,解得q= . 因?yàn)?+q2(k-1)q2(k-1),所以 qk-1(kN*). 于是e1+e2+en1+q+qn-1= ,故e1+e2+en .,疑難突破 由(1)可得en= ,因?yàn)樗C的不等式左邊是e1+e2+en,直接求和不行,利用 放縮法得en= =qn-1,從而得e1+e2+enq0+q1+qn-1,化簡即可.,評析 本題涉及的知識點(diǎn)比較多,由遞推思想推出數(shù)列an是等比數(shù)列,由等差中項(xiàng)求出q,由 放縮法證明不等式成立.綜合性較強(qiáng).,1.(2015安徽,14,5分)已知數(shù)列an是遞增的等比數(shù)列,a1+a4=9,a2a3=8,則數(shù)列an的前n項(xiàng)和等于 .,考點(diǎn)二 等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用,答案 2n-1,解析 由已知得,a1a4=a2a3=8,又a1+a4=9,解得 或 而數(shù)列an是遞增的等比數(shù)列,a 1a4,a1=1,a4=8,從而q3= =8,即q=2,則前n項(xiàng)和Sn= =2n-1.,2.(2019課標(biāo)全國文,18,12分)已知an是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列,a1=2,a3=2a2+16. (1)求an的通項(xiàng)公式; (2)設(shè)bn=log2an,求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和.,解析 本題主要考查等比數(shù)列的概念及運(yùn)算、等差數(shù)列的求和;考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力;體 現(xiàn)了數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng). (1)設(shè)an的公比為q,由題設(shè)得2q2=4q+16,即q2-2q-8=0. 解得q=-2(舍去)或q=4. 因此an的通項(xiàng)公式為an=24n-1=22n-1. (2)由(1)得bn=(2n-1)log22=2n-1,因此數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為1+3+2n-1=n2.,C組 教師專用題組,1.(2018北京理,4,5分)“十二平均律”是通用的音律體系,明代朱載堉最早用數(shù)學(xué)方法計(jì)算出 半音比例,為這個理論的發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn).十二平均律將一個純八度音程分成十二份,依次 得到十三個單音,從第二個單音起,每一個單音的頻率與它的前一個單音的頻率的比都等于 .若第一個單音的頻率為f,則第八個單音的頻率為 ( ) A. f B. f C. f D. f,答案 D 本題主要考查等比數(shù)列的概念和通項(xiàng)公式及等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用. 由題意知,十三個單音的頻率構(gòu)成首項(xiàng)為f,公比為 的等比數(shù)列,設(shè)該等比數(shù)列為an,則a8=a1 q7,即a8= f,故選D.,易錯警示 本題是以數(shù)學(xué)文化為背景的應(yīng)用問題,有以下幾點(diǎn)容易造成失分:讀不懂題意,不 能正確轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題.對要用到的公式記憶錯誤.在求解過程中計(jì)算錯誤.,2.(2015湖南,14,5分)設(shè)Sn為等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和.若a1=1,且3S1,2S2,S3成等差數(shù)列,則an= .,答案 3n-1,解析 設(shè)等比數(shù)列an的公比為q(q0),依題意得a2=a1q=q,a3=a1q2=q2,S1=a1=1,S2=1+q,S3=1+q+ q2.又3S1,2S2,S3成等差數(shù)列,所以4S2=3S1+S3,即4(1+q)=3+1+q+q2,所以q=3(q=0舍去).所以an=a1qn-1 =3n-1.,3.(2015四川,16,12分)設(shè)數(shù)列an(n=1,2,3,)的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn=2an-a1,且a1,a2+1,a3成等差數(shù)列. (1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式; (2)設(shè)數(shù)列 的前n項(xiàng)和為Tn,求Tn.,解析 (1)由已知Sn=2an-a1, 有an=Sn-Sn-1=2an-2an-1(n2),即an=2an-1(n2). 從而a2=2a1,a3=2a2=4a1. 又因?yàn)閍1,a2+1,a3成等差數(shù)列,即a1+a3=2(a2+1). 所以a1+4a1=2(2a1+1),解得a1=2. 所以,數(shù)列an是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列.故an=2n. (2)由(1)得 = . 所以Tn= + + = =1- .,評析 本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的概念、等比數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和等基礎(chǔ)知識,考 查運(yùn)算求解能力.,考點(diǎn)一 等比數(shù)列的有關(guān)概念及運(yùn)算,三年模擬,A組 20172019年高考模擬考點(diǎn)基礎(chǔ)題組,1.(2019浙江金華十校聯(lián)考(4月),6)已知等差數(shù)列an,等比數(shù)列bn,滿足a1=b1=1,a5=b3,則a9能取 到的最小整數(shù)是 ( ) A.-1 B.0 C.2 D.3,答案 B 由題意可知1+4d=q2,所以4d=q2-1,從而a9=1+8d=1+2(q2-1)=2q2-1. 因?yàn)閝0,所以q20,所以2q2-1-1,所以a9能取到的最小整數(shù)是0,故選B.,2.(2019浙江金麗衢第一次聯(lián)考,3)已知等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,S2=3,S4=15,則S3= ( ) A. 7 B.-9 C.7或-9 D.,答案 C 由 可得q2=4,所以q=2. 當(dāng)q=2時,S2=3a1=3,解得a1=1,此時S3=a1(1+q+q2)=7; 當(dāng)q=-2時,S2=-a1=3,解得a1=-3,此時S3=a1(1+q+q2)=-9. 綜上可知,S3=7或-9,故選C.,3.(2019浙江高考數(shù)學(xué)仿真卷,10)在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列an中,如果a11,a22,a33,則a 4的取值范圍是 ( ) A.3 ,8 B.6,8 C. D.3 ,6,答案 C 設(shè)公比為q,顯然q0,則 兩邊取對數(shù),可轉(zhuǎn)化為 設(shè)ln a1=x,ln q=y, 則可進(jìn)一步等價轉(zhuǎn)化為線性約束條件 求z=x+3y的取值范圍. 作出可行域如圖中的陰影部分所示(包含邊界).,由圖易知當(dāng)直線z=x+3y過點(diǎn)C時,z取最小值,過點(diǎn)A時,z取最大值,所以z=x+3y ,即ln ln a1+3ln q3ln 2, 所以 a48,故選C.,4.(2019浙江高考“超級全能生”聯(lián)考(2月),11)中國古代數(shù)學(xué)著作算法統(tǒng)宗中有這樣一 個問題:“三百七十八里關(guān),初步健步不為難,次日腳痛減一半,六朝才得到其關(guān),要見次日行里 數(shù),請公仔細(xì)算相還.”其大意為“有一個人走378里路,第一天健步行走,從第二天起因腳痛每 天走的路程為前一天的一半,走了6天到達(dá)目的地.”則該人第一天走的路程為 里,后 三天一共走 里.,答案 192;42,解析 由題意可知這六天中每天走的路程是公比為 的等比數(shù)列,設(shè)第一天走了x里,則 =378,解得x=192,即該人第一天走的路程是192里;后三天共走了192 +192 +192 =42(里).,1.(2019浙江高考信息優(yōu)化卷(一),4)已知等比數(shù)列an的公比為q,前n項(xiàng)和為Sn,則“q1”是 “S4+S62S5”的 ( ) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件,考點(diǎn)二 等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用,答案 D 由S4+S62S5得S6-S5S5-S4,所以a6a5,即a1qa1. 當(dāng)a10時,可得q1;當(dāng)a11”是“S4+S62S5”的既不充分也不必要條件,故選D.,2.(2019浙江杭州二模,20)設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為An,等比數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Bn.若Bn+3=8 Bn+7,a1=b2,a4=b4. (1)求bn和An; (2)求數(shù)列bn-An的最小項(xiàng).,解析 (1)因?yàn)锽n+3=q3Bn+b1+b2+b3=8Bn+7, 所以 解得 所以bn=2n-1. 又因?yàn)閍1=b2=2,a4=b4=8,所以d=2,所以an=2+2(n-1)=2n,所以An=n2+n. (2)設(shè)cn=bn-An=2n-1-n2-n.因?yàn)閏n+1-cn=2n-1-2(n+1), 所以當(dāng)n4時,cn+1cn,從而數(shù)列cn的最小值為c5,c5=-14.,3.(2019浙江高考信息優(yōu)化卷(四),20)若數(shù)列an滿足an0,a1=2,且對任意nN*均有8 +2an+1- -an=0. (1)求a2; (2)bn=nan,求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn=b1+b2+b3+bn; (3)cn=n2an,是否存在正整數(shù)m,使得對任意的nN*,均有cnm?若存在,求出m的最小值;若不存 在,請說明理由.,解析 (1)令f(x)=x3+x,則f(x)在R上為增函數(shù). 由題意可知(2an+1)3+2an+1= +an,f(2an+1)=f(an),an+1= an,則a2=1. (2)由(1)可知an=22-n,bn=nan= . Tn=12+21+3 +4 +n , Tn=11+2 +3 +(n-1) +n . 兩式相減可得 Tn=12+11+ + + + -n = -n , 則Tn=8 -n . (3)由cn=n2an可得 = = = ,則當(dāng)n3時,cn單調(diào)遞減, c1c4cn,即cn的最大值為c3= ,所以m存在,且m的最小值為5.,B組 20172019年高考模擬專題綜合題組 時間:30分鐘 分值:54分 一、選擇題(每小題4分,共8分),1.(2019浙江鎮(zhèn)海中學(xué)期中,8)已知正項(xiàng)等比數(shù)列an滿足a7=a6+2a5,若存在兩項(xiàng)am,an,使得aman= 16 ,則 + 的最小值為 ( ) A. B. C. D.,答案 C 設(shè)公比為q,由a7=a6+2a5得q2=q+2,解得q=2(負(fù)值舍去).由aman=16 可得2m+n-2=16,即m +n=6,所以 + = (m+n) = = ,當(dāng)且僅當(dāng) = 時取 等號,故選C.,2.(2019浙江高考“超級全能生”聯(lián)考(2月),10)已知數(shù)列an中,a1,a2,a3,a4成等差數(shù)列,且3a1-a2+ a3+1= (其中e為自然對數(shù)的底數(shù),e2.718).若a2|a2|且|a3|a4| B.|a1|a2|且|a3|a4| D.|a1|a2|且|a3|a4|,答案 B 由3a1-a2+a3+1= a2+a3-a4+1,得2a1+d0,即a1+a20,又a20,所以公 差d0,所以a10a2,且|a1|a2|.又a4a30,則|a3|a4|.故選B.,點(diǎn)睛之筆 本題考查數(shù)列與函數(shù)的綜合運(yùn)用. 利用exx+1合理化簡原式,得到a1與a2的不等關(guān)系是解題的關(guān)鍵.,3.(2019浙江學(xué)軍中學(xué)期中,22)數(shù)列an,bn中,Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和,且滿足:a1=b1=1,3Sn=(n+ 2)an,bn= (nN*,n2). (1)求數(shù)列an,bn的通項(xiàng)公式; (2)求證: + + + ; (3)令cn=ln bn,Tn=c1+c2+c3+cn,求證: Tn (nN*).,二、解答題(共46分),解析 (1)3Sn=(n+2)an,當(dāng)n2時,3Sn-1=(n+1)an-1, 3an=(n+2)an-(n+1)an-1, =