2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第六章數(shù)列第2講等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和教案理（含解析）新人教A版.docx

第2講等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和基礎(chǔ)知識(shí)整合1等差數(shù)列的有關(guān)概念(1)定義：如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列符號(hào)表示為an1and(nN*，d為常數(shù))(2)等差中項(xiàng)：數(shù)列a，A，b成等差數(shù)列的充要條件是A，其中A叫做a，b的等差中項(xiàng)2等差數(shù)列的有關(guān)公式(1)通項(xiàng)公式：ana1(n1)d.(2)前n項(xiàng)和公式：Snna1d.等差數(shù)列的常用性質(zhì)(1)通項(xiàng)公式的推廣：anam(nm)d(n，mN*)(2)若an為等差數(shù)列，且klmn(k，l，m，nN*)，則akalaman.若mn2p(m，n，pN*)，則aman2ap.(3)若an是等差數(shù)列，公差為d，則a2n也是等差數(shù)列，公差為2d.(4)若an，bn是等差數(shù)列，則panqbn也是等差數(shù)列(5)若an是等差數(shù)列，公差為d, 則ak，akm，ak2m，(k，mN*)是公差為md的等差數(shù)列(6)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn, 則Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等差數(shù)列，其公差為n2d.(7)若等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為2n(nN*)，則S偶S奇nd，.(8)若等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為2n1(nN*)，則S奇S偶an，(S奇nan，S偶(n1)an)(9)由公式Snna1得a1dna1，因此數(shù)列是等差數(shù)列，首項(xiàng)為a1，公差為等差數(shù)列an公差的一半1(2019河北邯鄲模擬)在等差數(shù)列an中，a3a412，公差d2，則a9()A14 B15 C16 D17答案D解析a11，a9a18d11617.故選D.2(2018全國(guó)卷)設(shè)Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若3S3S2S4，a12，則a5()A12 B10 C10 D12答案B解析設(shè)該等差數(shù)列的公差為d，根據(jù)題中的條件可得322d42d，整理解得d3，所以a5a14d21210.故選B.3(2019湖北武漢調(diào)研)若等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足S44，S612，則S2()A1 B0 C1 D3答案B解析根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，可得S2，S4S2，S6S4成等差數(shù)列，即2(S4S2)S2S6S4，因此S20.4(2019寧夏銀川模擬)在等差數(shù)列an中，S525，a23，則a7()A13 B12 C15 D14答案A解析S55a325，a35，又a23，da3a22，a7a34d5813.故選A.5(2019遼寧模擬)在等差數(shù)列an中，Sn為其前n項(xiàng)和，若a3a4a825，則S9()A60 B75 C90 D105答案B解析由等差數(shù)列的性質(zhì)知a3a4a83a525.a5，S99a575.故選B.6(2019長(zhǎng)春市模擬)等差數(shù)列an中，已知|a6|a11|，且公差d0，則其前n項(xiàng)和取最小值時(shí)的n的值為()A6 B7 C8 D9答案C解析|a6|a11|且公差d0，a6a11，a6a11a8a90，且a80，a1a2a80a9a10使Sn取最小值的n的值為8.故選C.核心考向突破考向一等差數(shù)列的基本運(yùn)算例1(1)(2019西安八校聯(lián)考)設(shè)數(shù)列an是等差數(shù)列，且a26，a66，Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，則()AS4S1 DS4S1答案B解析設(shè)an的公差為d，由a26，a66，得解得于是，S19，S33(9)318，S44(9)318，所以S4S3，S4S1.故選B.(2)(2019濰坊模擬)在等差數(shù)列an中，公差d0，若lg a1，lg a2，lg a4也成等差數(shù)列，且a510，則an的前5項(xiàng)和S5()A40 B35 C30 D25答案C解析因?yàn)閘g a1，lg a2，lg a4成等差數(shù)列，所以2lg a2lg a1lg a4lg alg a1a4aa1a4d2a1d，因?yàn)閐0，所以a1d，又a5a14d10，所以a12，d2，S55a1d30.選C.(3)(2018上海高考)記等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若a30，a6a714，則S7_.答案14解析設(shè)數(shù)列an的公差為d，則a6a72a37d14，又a30，d2，a4a3d2.S7a1a2a3a4a5a6a77a414.觸類旁通 等差數(shù)列計(jì)算中的兩個(gè)技巧(1)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式，共涉及五個(gè)量a1，an，d，n，Sn，知其中三個(gè)就能求另外兩個(gè)，體現(xiàn)了用方程的思想解決問(wèn)題(2)數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式在解題中起到變量轉(zhuǎn)換作用，而a1和d是等差數(shù)列的兩個(gè)基本量，用它們表示已知和未知是常用方法.即時(shí)訓(xùn)練1.(2017全國(guó)卷)記Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和若a4a524，S648，則an的公差為()A1 B2 C4 D8答案C解析設(shè)an的公差為d，則由得解得d4.故選C.2已知an是等差數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和若a1a3，S510，則a9的值是_答案20解析設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，則a1aa1(a1d)23，S55a110d10，解得a14，d3，則a9a18d42420.3已知數(shù)列an中，a37，a73，且是等差數(shù)列，則a10_.答案解析設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則，.是等差數(shù)列，4d，即4d，解得d，故7d7，解得a10.考向二等差數(shù)列的性質(zhì)角度等差數(shù)列項(xiàng)的性質(zhì)例2(1)(2019溫州模擬)等差數(shù)列an中，若a4a6a8a10a12120，則a9a11的值是()A14 B15 C16 D17答案C解析因?yàn)閍n是等差數(shù)列，所以a4a6a8a10a125a8120，所以a824.所以a9a11a8d(a83d)a816.故選C.(2)設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若a2a5a830，則下列一定為定值的是()AS6 BS7 CS8 DS9答案D解析由a2a5a830可得3a530，所以a510，S63(a1a6)不一定是定值；S7(a1a7)不一定是定值；S84(a1a8)不一定是定值；S990.選D.觸類旁通 等差數(shù)列項(xiàng)的性質(zhì)：利用等差數(shù)列項(xiàng)的性質(zhì)解決基本量的運(yùn)算體現(xiàn)了整體求值思想，應(yīng)用時(shí)常將anam2ak(nm2k，n，m，kN*)與amanapaq(mnpq，m，n，p，qN*)相結(jié)合，可減少運(yùn)算量即時(shí)訓(xùn)練4.(2019河南豫南、豫北聯(lián)考)等差數(shù)列an中，a4a10a1630，則a182a14的值為()A20 B20 C10 D10答案D解析a4a10a163a1030，a1010，又2a14a18a10，a182a14a1010，故選D.5(2019福建漳州模擬)在等差數(shù)列an中，若S918，Sn240，an430，則n的值為()A14 B15 C16 D17答案B解析由等差數(shù)列的性質(zhì)知S99a518，a52，又an430.Sn16n240，n15.故選B.角度等差數(shù)列和的性質(zhì)例3(1)(2019四川雙流中學(xué)模擬)已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若S101，S305，則S40()A7 B8 C9 D10答案B解析由等差數(shù)列的性質(zhì)知S10，S20S10，S30S20，S40S30成等差數(shù)列，2(S20S10)S10(S30S20)，S20S101.d(S20S10)S10，S405133，S408.故選B.(2)一個(gè)等差數(shù)列的前12項(xiàng)的和為354，前12項(xiàng)中偶數(shù)項(xiàng)的和與奇數(shù)項(xiàng)的和的比為3227，則該數(shù)列的公差d_.答案5解析設(shè)等差數(shù)列的前12項(xiàng)中奇數(shù)項(xiàng)的和為S奇，偶數(shù)項(xiàng)的和為S偶，等差數(shù)列的公差為d.由已知條件，得解得又S偶S奇6d，所以d5.觸類旁通 等差數(shù)列和的性質(zhì)：在等差數(shù)列an中，Sn為其前n項(xiàng)和，則數(shù)列Sm，S2mSm，S3mS2m，也是等差數(shù)列，且有S2nn(a1a2n)n(anan1)；S2n1(2n1)an；若n為偶數(shù)，則S偶S奇；若n為奇數(shù)，則S奇S偶a中(中間項(xiàng)).即時(shí)訓(xùn)練6.(2019大同模擬)在等差數(shù)列an中，a1a2a50200，a51a52a1002700，則a50()A22.5 B21.5 C28.5 D20答案C解析由(a51a52a100)(a1a2a50)5050d2700200，得d1.由a1a100a2a99a50a5150(a50a51)2700200，得a50a5158，即2a50d58，所以a5028.5.故選C.7設(shè)Sn是等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若，則()A. B. C. D.答案A解析令S31，則S63，S91236.S12S9410，.故選A.考向三等差數(shù)列的判定與證明 例4(1)(2019遼寧模擬)數(shù)列an滿足a12，a21并且(n2)，則數(shù)列an的第100項(xiàng)為()A. B. C. D.答案B解析(n2)，為等差數(shù)列，首項(xiàng)為，第二項(xiàng)為1，d，99d50，a100.(2)(2019昆明模擬)在數(shù)列an中，a1，an12，設(shè)bn，數(shù)列bn的前n項(xiàng)和是Sn.證明數(shù)列bn是等差數(shù)列，并求Sn；比較an與Sn7的大小解證明：bn，an12，bn11bn1，bn1bn1，數(shù)列bn是公差為1的等差數(shù)列由a1，bn，得b1，Sn3n.由知，bnn1n.由bn，得an11.anSn73n6.當(dāng)n4時(shí)，y3n6是減函數(shù)，y也是減函數(shù)，當(dāng)n4時(shí)，anSn7a4S470.又a1S170，a2S270，a3S370，nN*，anSn70，anSn7.觸類旁通 等差數(shù)列的判定方法(1)定義法：對(duì)于n2的任意自然數(shù)，驗(yàn)證anan1為同一常數(shù)(2)等差中項(xiàng)法：驗(yàn)證2an1anan2(n3，nN*)成立提醒：在解答題中常應(yīng)用定義法和等差中項(xiàng)法，而通項(xiàng)公式法和前n項(xiàng)和公式法主要適用于選擇題、填空題中的簡(jiǎn)單判斷.即時(shí)訓(xùn)練8.(2019河南鄭州模擬)已知數(shù)列an中，a11，a24,2anan1an1(n2，nN*)，當(dāng)an298時(shí)，項(xiàng)數(shù)n()A100 B99 C96 D101答案A解析因?yàn)?anan1an1(n2，nN*)，所以anan1an1an.由a11，a24得da2a13，所以數(shù)列an是首項(xiàng)為1，公差為3的等差數(shù)列，所以ana1(n1)d1(n1)33n2.由3n2298，解得n100.故選A.9已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn2an2n1.(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)若不等式2n2n30，所以不等式2n2n3.即b2，又顯然當(dāng)n3時(shí)，1，所以(bn)maxb3，所以0，S3S11，則當(dāng)n為多少時(shí)，Sn最大？解解法一：由S3S11，得3a1d11a1d，則da1.從而Snn2n(n7)2a1.又a10，所以0.故當(dāng)n7時(shí)，Sn最大解法二：由于Snan2bn是關(guān)于n的二次函數(shù)，由S3S11，可知Snan2bn的圖象關(guān)于n7對(duì)稱由解法一可知a0，S3S11可知d0，a80，d0時(shí)，滿足的項(xiàng)數(shù)n，使Sn取最大值；當(dāng)a10時(shí)，滿足的項(xiàng)數(shù)n，使Sn取最小值，即正項(xiàng)變負(fù)項(xiàng)處最大，負(fù)項(xiàng)變正項(xiàng)處最小若有零項(xiàng)，則使Sn取最值的n有兩個(gè) 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1(2019廣東佛山模擬)設(shè)等差數(shù)列an滿足3a85a15，且a10，Sn為其前n項(xiàng)