自考計(jì)算機(jī)應(yīng)用管理信息系統(tǒng)開發(fā).pptVIP

無 窮 級(jí) 數(shù),從18世紀(jì)以來，無窮級(jí)數(shù)就被認(rèn)為是微積分的一個(gè)不可缺少的部分，是高等數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，同時(shí)也是有力的數(shù)學(xué)工具，在表示函數(shù)、研究函數(shù)性質(zhì)等方面有巨大作用，在自然科學(xué)和工程技術(shù)領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用,本章主要內(nèi)容包括常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和兩類重要的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)和三角級(jí)數(shù)，主要圍繞三個(gè)問題展開討論：級(jí)數(shù)的收斂性判定問題，把已知函數(shù)表示成級(jí)數(shù)問題，級(jí)數(shù)求和問題。,一、問題的提出,1. 計(jì)算圓的面積,正六邊形的面積,正十二邊形的面積,正 形的面積,二、級(jí)數(shù)的概念,1. 級(jí)數(shù)的定義:,一般項(xiàng),(常數(shù)項(xiàng))無窮級(jí)數(shù),級(jí)數(shù)的部分和,部分和數(shù)列,2. 級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散:,余項(xiàng),無窮級(jí)數(shù)收斂性舉例：Koch雪花.,做法：先給定一個(gè)正三角形，然后在每條邊上對 稱的產(chǎn)生邊長為原邊長的1/3的小正三角形如此 類推在每條凸邊上都做類似的操作，我們就得到 了面積有限而周長無限的圖形“Koch雪花”,觀察雪花分形過程,第一次分叉：,依次類推,第 次分叉：,周長為,面積為,于是有,雪花的面積存在極限（收斂）,結(jié)論：雪花的周長是無界的，而面積有界,解,收斂,發(fā)散,發(fā)散,發(fā)散,綜上,解,三、基本性質(zhì),結(jié)論: 級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)同乘一個(gè)不為零的常數(shù), 斂散性不變.,結(jié)論: 收斂級(jí)數(shù)可以逐項(xiàng)相加與逐項(xiàng)相減.,證明,類似地可以證明在級(jí)數(shù)前面加上有限項(xiàng)不影響級(jí)數(shù)的斂散性.,證明,注意,收斂級(jí)數(shù)去括弧后所成的級(jí)數(shù)不一定收斂.,收斂,發(fā)散,若記,則加括號(hào)后級(jí)數(shù)成為,的部分和記為,則,由數(shù)列和子數(shù)列的關(guān)系知,存在，,必定存在,存在,未必存在,四、收斂的必要條件,級(jí)數(shù)收斂的必要條件:,證明,注意,1.如果級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)不趨于零,則級(jí)數(shù)發(fā)散;,發(fā)散,2.必要條件不充分.,討論,2項(xiàng),2項(xiàng),4項(xiàng),8項(xiàng),項(xiàng),由性質(zhì)4推論,調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散.,由定積分的幾何意義,這塊面積顯然大于定積分,就是圖中 n 個(gè)矩形的面積之和,即,故調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散,調(diào)和級(jí)數(shù)的部分和,常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法,2、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法,(1) 比較審斂法,(2) 比較審斂法的極限形式,是同階無窮小,特別,（等價(jià)無窮?。?3、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法,4、任意項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法,Leibniz定理,絕對收斂，條件收斂,附：,正項(xiàng)級(jí)數(shù)與任意項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂程序,例1,求極限,解,考察正項(xiàng)級(jí)數(shù),由檢比法,收斂,由級(jí)數(shù)收斂的必要條件得,二、典型例題,例2 設(shè),試證,發(fā)散,證,不妨設(shè) a 0,由極限保號(hào)性知,由于,故由比較法的極限形式得,發(fā)散,則,例3,解,根據(jù)級(jí)數(shù)收斂的必要條件，,原級(jí)數(shù)發(fā)散,解,從而有,原級(jí)數(shù)收斂；,原級(jí)數(shù)發(fā)散；,原級(jí)數(shù)也發(fā)散,例4,解,即原級(jí)數(shù)非絕對收斂,由萊布尼茨定理：,所以此交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂，,故原級(jí)數(shù)是條件收斂,證,再由比較審斂法知,而,即,可表為兩個(gè)收斂級(jí)數(shù),之和,證,由題設(shè)知,而,收斂,由比較法得,收斂,Cauchy積分審斂法,例7,證,由 f(x) 單調(diào)減少知,即,故,與,同斂散,例8,證,記,則,且,而正項(xiàng)級(jí)數(shù),的部分和,又,單調(diào)增加且有界,故由單調(diào)有界原理知,存在,即,收斂,進(jìn)而,收斂,由比較法得,收斂,證,記,由,單調(diào)減少,故由單調(diào)有界原理知,存在,且,若,由Leibniz審斂法得,交錯(cuò)級(jí)數(shù),收斂,與題設(shè)矛盾,由檢根法知,收斂,例9,已知,證明,由,知,對,有,證,例10,而,收斂,故由比較法知,收斂,由,知,有,而,發(fā)散,故由比較法知,發(fā)散,如,但,討論,的斂散性,解,對級(jí)數(shù),收斂,絕對收斂,發(fā)散,發(fā)散,分情況說明,例11,級(jí)數(shù)成為,收斂,發(fā)散,級(jí)數(shù)成為,絕對收斂,條件收斂,例12,對,的值，研究一般項(xiàng)為,的級(jí)數(shù)的斂散性,解,由于當(dāng) n 充分大時(shí)，,定號(hào),故級(jí)數(shù)從某一項(xiàng)以后可視為交錯(cuò)級(jí)數(shù),總有,級(jí)數(shù)發(fā)散,非增地趨于 0,由Leibniz審斂法知,收斂,但,而,發(fā)散,故由比較法的極限形式,發(fā)散,條件收斂,級(jí)數(shù)顯然收斂,正項(xiàng)級(jí)數(shù),由級(jí)數(shù)收斂的必要條件要使 收斂必須,但在一般項(xiàng)趨于 0 的級(jí)數(shù)中為什么有的收斂有的卻發(fā)散，,因此從原則上講，比較法是基礎(chǔ)，更重要更基本，但其極限形式（包括極限審斂法）則更能說明問題的實(shí)質(zhì)，使用起來也更有效,的階,問題的實(shí)質(zhì)是級(jí)數(shù)收斂與否取決于,關(guān)于常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂,和,作為,變化快慢,得到檢比法和檢根法，檢比法,和檢根法的實(shí)質(zhì)是把所論級(jí)數(shù)與某一幾何級(jí)數(shù),作比較，雖然使用起來較方便但都會(huì)遇到“失效”的情況。,這一結(jié)論將許多級(jí)數(shù)的斂散性判定問題歸結(jié)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性判定,注,比較法、比較法的極限形式、檢比法、檢根法、積分審斂法，只能對正項(xiàng)級(jí)數(shù)方可使用,的一種估計(jì),檢比法、檢根法只是充分條件而非必要條件,L準(zhǔn)則也是充分條件而非必要條件,通項(xiàng)中