2011年高考數(shù)學總復習精品課件（蘇教版）：第五單元第五節(jié)兩角和與差的三角函數(shù)及二倍角的三角函數(shù).ppt

第五節(jié) 兩角和與差的三角函數(shù)及二倍角的三角函數(shù),基礎梳理,1. 兩角和與差的正弦、余弦和正切公式 c(-):cos(-)= cos cos +sin sin ; c(+):cos(+)= cos cos -sin sin ; s(+):sin(+)= sin cos +cos sin ; s(-):sin(-)= sin cos -cos sin ;,2. 二倍角的正弦、余弦、正切公式 s2:sin 2= 2sin cos ; c2:cos 2= cos2-sin2 = 2cos2-1 = 1-2sin2; 3. 形如asin +bcos 的化簡 asin +bcos = sin(+),其中cos = ,的終邊所在象限由a、b的值來確定.,題型一 化簡求值,【例1】求2sin 50+sin 10(1+ tan 10) 的值.,分析 50、10、80都不是特殊角，但注意到它們的和60、90都是特殊角，因此可考慮用和角公式求其值；另外含有正切函數(shù)，切化弦后出現(xiàn)分式，可通過約分以去掉非特殊角.,解 原式=（2sin 50+sin 10 ） sin 80 =2sin 50+2sin 10 cos 10 =2 sin 50cos 10+sin 10cos(60-10) =2 sin(50+10)= .,(2)根據(jù)本題點撥采用“切化弦”是解決本題的關健.它為逆用差角公式與和角公式鋪平了道路.在三角函數(shù)式化簡或求值過程中,還要注意利用和、差角的三角函數(shù)公式,它們可將三角函數(shù)式化為一個角的三角函數(shù)式，為化簡或求值提供方便.,學后反思 (1)解決這類三角求值問題的一般規(guī)律是:恰當、準確地應用誘導公式、三角函數(shù)公式,合理地進行角的變換,使其轉化為特殊角的三角函數(shù)值的求解問題.,舉一反三 1. 求sin 50(1+ tan 10)的值.,解析: 原式,題型二 給值求角,【例2】已知、為銳角，向量a=(cos ,sin ),b=(cos ,sin ),c = .若ab= ,ac= ,求角2-的值.,分析 由ab= ,ac= 及a,b,c的坐標，可求出關于、的三角函數(shù)值，進而求出角.,解 （1）ab=(cos ,sin )(cos ,sin ) =cos cos +sin sin =cos(-)= , ac=(cos ,sin ) = cos - sin = . 0 ,0 ,- - . 由得-= ,由得= . 又、為銳角，= . 從而2-= .,學后反思 解決給值求角問題一般分如下三個步驟： （1）求角的某一個三角函數(shù)值； （2）確定角所在的范圍； （3）確定所求角的值.,舉一反三 2. 已知tan = ,tan = ,并且、均為銳角，求+2. 解析： tan = 1,tan = 1,且、均為銳角， 0 ,0+2 . 又,題型三 給值求值,【例2】 設cos(-)=- ,cos(+)= ,- ,+ ,求cos 2,cos 2.,分析 本題“2”角與條件中出現(xiàn)的兩個整體角+與-之間恰有關系(+)+(-)=2,(+)-(-)=2,使問題迎刃而解.諸如此類的整體還有=(+)-,2=( +)-( -),應注意在解題中的運用.,解 由cos(-)=- ,- ,得sin(-)= . 同理，可得sin(+)=- . cos 2=cos(+)+(-)=cos(+)cos(-)-sin(+)sin(-)= . 同理可得,cos 2=- .,學后反思 給值求值，即由給出的某些角的三角函數(shù)值，求另外一些角的三角函數(shù)值，關鍵在于將“目標角”變換成已知角.若角所在的象限沒有確定，則應分情況討論.應注意公式的運用、逆用、變形運用，掌握拆角、拼角、配角等技巧.,舉一反三 3. 已知 解析：,題型四 實際應用,【例3】(14分)已知向量m=(sin b,1-cos b),且與向量n=(2,0)所成角為 ，其中a、b、c是abc的內(nèi)角. （1）求角b的大小； （2）求sin a+sin c的取值范圍.,分析 （1）先利用向量的夾角公式求出角b的余弦值，進而求b的大小. （2）利用三角形的內(nèi)角和定理將原式表示為一個角的三角函數(shù)的運算.,解 (1)m=(sin b,1-cos b),與向量n=(2,0)所成角為 , cos = ,2 2 -cos b -1=0, cos b=- 或cos b=1(舍去)， b= .8,(2)由(1)可得a+c= , sin a+sin c=sin a+sin（ -a） = sin a+ cos a=sin（a+ ）.10 0a , a+ , sin（a+ ） , sin a+sin c . 14,學后反思 新課標對三角恒等變換的要求：“經(jīng)歷用向量的數(shù)量積推導出兩角差的余弦公式的過程，進一步體會向量方法的作用”.向量是公式推導的基礎與工具，那么，考查向量與三角恒等變換的綜合題必然成為高考合理的動向.這種綜合題是高考中的中檔題，向量的作用是用坐標運算來構造成一個三角函數(shù)，關鍵是把得到的三角函數(shù)式進行三角恒等變形，得到函數(shù)f(x)=asin(x+)+b,從而求周期、最值、單調(diào)性等問題.,舉一反三 4. 如圖所示，a、b是單位圓o上的點，且b在第二象限，c是圓與x軸正半軸的交點，a點的坐標為 ,aob為正三角形. (1)求sincoa; (2)求coscob.,解析: (1)因為a點的坐標為 ,根據(jù)三角函數(shù)的定義，sincoa= (2)因為aob為正三角形，所以aob=60. 又sincoa= ,coscoa= 所以coscob=cos(coa+60)=coscoacos 60-.,【例】已知在abc中，sin(a+b)= ,cos b= - ,求cos a的值. 錯解 方法一：sin(a+b)=sin acos b+cos asin b, 又,易錯警示,錯解分析 方法一應用兩角和公式與已知函數(shù)值，把問題轉化為關于cos a的一元二次方程再求解，方程雖不簡捷卻是可行的，然而，由于對abc中內(nèi)角的三角函數(shù)值的諸多限制認識不足，對最后的解答沒有檢驗，從而結論錯誤.事實上，已知cos b0,表明了b是鈍角，由a+b+c=知,a為銳角， 不合題意，應舍去.,正解 在abc中，由cos b=- ,得 .,考點演練,10. 若f()= ，求f（ ）.,解析: f()= . f（ ）= =8.,11. 已知 ,(0,)，求的值.,解析： 由已知條件得 . 即 sin - =0,解得sin = 或sin =0. 由0知sin = ,從而= 或= .,12. (2008江蘇)如圖，在平面直角坐標系xoy中，以ox軸為始邊作兩個銳角、，它們的終邊分別與單位圓相交于a、b兩點.已知a、b的橫坐標分別為. （1）求tan(+)的值； （2）求+2的值.,解析：由條件得,（2）,第一節(jié) 導數(shù)的概念及運算,基礎梳理,數(shù)量化,視覺化,1. 函數(shù)f(x)在區(qū)間x1,x2上的平均變化率 (1)函數(shù)f(x)在區(qū)間x1,x2上的平均變化率為 , (2)平均變化率是曲線陡峭程度的“ ”，或者說，曲線陡峭程度是平均變化率的“ ”. 2. 函數(shù)f(x)在x=x0處的導數(shù) （1）定義 設函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上有定義， 若x無限趨近于0時，比值 無限趨近于一個常數(shù)a，則稱f(x)在x=x0處可導，并稱該常數(shù)a為函數(shù)f(x)在x=x0處的導數(shù)，記作 .,(2)幾何意義 函數(shù)f(x)在點x0處的導數(shù)f(x0)的幾何意義是在曲線y=f(x)上點 . 處的 .相應地，切線方程為 .,3. 函數(shù)f(x)的導函數(shù) 若f(x)對于區(qū)間(a,b)內(nèi)任一點都可導，則f(x)在各點的導數(shù)也隨著自 變量x的 而 ，因而也是自變量x的函數(shù)，該函數(shù)稱為 f(x)的導函數(shù)，記作 .,切線的斜率,變化,變化,f(x).,4. 基本初等函數(shù)的導數(shù)公式,f(x)= .,f(x)= .,k,0,1,2x,cos x,sinx,5. 導數(shù)運算法則 (1)f(x)g(x)= ; (2)cf(x)= (c為常數(shù)); (3)f(x)g(x)= ;,f(x)g(x),cf(x),f(x)g(x)+f(x)g(x),典例分析,題型一 利用導數(shù)的定義求導數(shù) 【例1】用導數(shù)定義求y=x2在x=1處的導數(shù)值. 分析 利用導數(shù)的定義,按求導數(shù)的步驟求解. 解 當x無限趨近于0時， 趨近于2,y|x=1=2. 學后反思 利用導數(shù)的定義求在一點x0的導數(shù)的關鍵是對yx進行靈活變形，若求f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)的導數(shù)，只需將x0看成是(a,b)內(nèi)的任意點x,即可求得f(x).,舉一反三 1. 已知 ，利用定義求y,y|x=1.,題型二 利用求導公式求導數(shù) 【例2】求下列函數(shù)的導數(shù).,解析,分析 直接利用導數(shù)公式及四則運算法則進行計算.,學后反思 準確記憶求導公式及四則運算法則是解答本題的關鍵.,解 (1)y=( )sin x+ (sin x) =2xsin x+x2cos x. (2),舉一反三 2. 求函數(shù) 的導數(shù).,題型三 導數(shù)的物理意義及在物理上的應用 【例3】一質(zhì)點運動的方程為s=8-3t2. (1)求質(zhì)點在1,1+t這段時間內(nèi)的平均速度； (2)求質(zhì)點在t=1的瞬時速度.,解析,分析 第（1）問可利用公式 求解；第（2）問可利用第（1）問的結論求解，也可利用求導公式及四則運算法則求解.,解 (1)質(zhì)點在1,1+t這段時間內(nèi)的平均速度為 (2)方法一（定義法）： 質(zhì)點在t=1時的瞬時速度v=,方法二（求導法）： 質(zhì)點在t時刻的瞬時速度v=s(t)=-6t,當t=1時，v=-6.,學后反思 導數(shù)的概念是通過函數(shù)的平均變化率、瞬時變化率、物體運動的瞬時速度、曲線的切線等實際背景引入的，所以在了解導數(shù)概念的基礎上也應了解這些實際背景的意義.對于作變速運動的物體來說，其位移對時間的函數(shù)的導數(shù)就是其運動的速度對時間的函數(shù)，速度對時間的函數(shù)的導數(shù)就是其運動的加速度對時間的函數(shù)，這是導數(shù)的物理意義，利用導數(shù)的物理意義可以解決一些相關的物理問題,舉一反三 3. 以初速度 作豎直上拋運動的物體，t秒時的高度為 ,求物體在時刻 時的瞬時速度.,解析： 物體在 時刻的瞬時速度為 .,題型四 導數(shù)的幾何意義及在幾何上的應用 【例4】(14分) 已知曲線 (1)求曲線在點p（2，4）處的切線方程； (2)求曲線過點p（2，4）的切線方程.,分析 (1)點p處的切線以點p為切點,關鍵是求出切線斜率 k=f(2). (2)過點p的切線，點p不一定是切點，需要設出切點坐標.,解 （1)y=x2,2 在點p（2，4）處的切線的斜率k=y|x=2=4,3 曲線在點p（2,4）處的切線方程為y-4=4(x-2), 即4x-y-4=0.4,(2)設曲線 與過點p（2，4）的切線相切于點 ,則切線的斜率k=y|x=x0=x20.6,切線方程為 即 點p（2，4）在切線上， 即x30-3x20+4=0,x30+x20-4x20+4=0, x20(x0+1)-4(x0+1)(x0-1)=0, (x0+1)(x0-2)2=0,解得x0=-1或x0=2,.12 故所求的切線方程為4x-y-4=0或x-y+2=0.14,學后反思 （1）解決此類問題一定要分清是“在某點處的切線”，還是“過某點的切線”. （2）解決“過某點的切線”問題，一般是設出切點坐標(x0,y0),得出切線方程y-y0=f(x0)(x-x0),然后把已知點代入切線方程求(x0,y0)，進而求出切線方程.,舉一反三 4. 求曲線y=ln(2x-1)上的點到直線2x-y+3=0的最短距離.,解析： 設曲線上過點 的切線平行于直線2x-y+3=0, 即斜率是2，則. 解得 ,即點p(1,0), 點p到直線2x-y+3=0的距離為 , 曲線y=ln(2x-1)上的點到直線2x-y+3=0的最短距離是 .,題型五 復合函數(shù)的導數(shù) 【例5】求下列函數(shù)的導數(shù). .,分析 先確定中間變量轉化為常見函數(shù)，再根據(jù)復合函數(shù)的 求導法則求導.也可直接用復合函數(shù)求導法則運算.,解,學后反思 求復合函數(shù)的導數(shù)，關鍵是理解復合過程，選定中 間變量，弄清是誰對誰求導，其一般步驟是: (1)分清復合關系，適當選定中間變量，正確分解復合關系 （簡稱分解復合關系）； （2）分層求導，弄清每一步中哪個變量對哪個變量求導數(shù) （簡稱分層求導）.即：分解（復合關系）求導（導數(shù)相乘）,舉一反三 5.求下列函數(shù)的導數(shù)。,解析：,易錯警示,【例】已知曲線 上的點p（0,0）,求過點p(0,0)的切線方程. 錯解 在點x=0處不可導，因此過p點的切線不存在. 錯解分析 本題的解法忽視了曲線在某點處的切線的定義.在點p處的切線是指曲線在點p附近取點q，當點q趨近于點p時，割線pq的極限位置的直線就是過點p的切線，因此過點p的切線存在，為y軸（如下圖所示）.,正解 如右圖，按切線的定義，當x0時割線pq的極限位置為y軸（此時斜率不存在），因此，過點p的切線方程為x=0.,考點演練,10. 已知函數(shù) 的圖象都過點 p(2,0),且在點p處有相同的切線.求實數(shù)a,b,c的值.,解析： f(x)過點（2,0