高考數學第8章平面解析幾何第8節(jié)圓錐曲線的綜合問題第1課時直線與圓錐曲線教學案文含解析北師大版.docx

第八節(jié)圓錐曲線的綜合問題考綱傳真1.掌握解決直線與橢圓、拋物線的位置關系的思想方法；2.了解圓錐曲線的簡單應用；3.理解數形結合的思想1直線與圓錐曲線的位置關系設直線l：AxByC0，圓錐曲線C：F(x，y)0，由消去y得到關于x的方程ax2bxc0.(1)當a0時，設一元二次方程ax2bxc0的判別式為，則0直線l與圓錐曲線C有兩個公共點；0直線l與圓錐曲線C有一個公共點；0直線l與圓錐曲線C有零個公共點(2)當a0，b0時，圓錐曲線C為拋物線或雙曲線當C為雙曲線時，l與雙曲線的漸近線平行或重合，它們的公共點有1個或0個當C為拋物線時，l與拋物線的對稱軸平行或重合，它們的公共點有1個2圓錐曲線的弦長公式設斜率為k的直線l與圓錐曲線C相交于A，B兩點，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|x1x2|y1y2|.過一點的直線與圓錐曲線的位置關系(1)過橢圓外一點總有兩條直線與橢圓相切；過橢圓上一點有且只有一條直線與橢圓相切；過橢圓內一點的直線與橢圓相交(2)過拋物線外一點總有三條直線和拋物線有且只有一個公共點：兩條切線和一條與對稱軸平行或重合的直線；過拋物線上一點總有兩條直線與拋物線有且只有一個公共點：一條切線和一條與對稱軸平行或重合的直線；過拋物線內一點只有一條直線與拋物線有且只有一個公共點：一條與對稱軸平行或重合的直線基礎自測1(思考辨析)判斷下列結論的正誤(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)直線l與橢圓C相切的充要條件是直線l與橢圓C只有一個公共點()(2)直線l與雙曲線C相切的充要條件是直線l與雙曲線C只有一個公共點()(3)過拋物線y22px(p0)焦點的弦中最短弦的弦長是2p()(4)若拋物線上存在關于直線l對稱的兩點，則l與拋物線有兩個交點()答案(1)(2)(3)(4)2(教材改編)直線yk(x1)1與橢圓1的位置關系是()A相交B相切C相離D不確定A直線yk(x1)1恒過定點(1,1)，又點(1,1)在橢圓內部，故直線與橢圓相交3“直線與雙曲線相切”是“直線與雙曲線只有一個公共點”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件A直線與雙曲線相切時，只有一個公共點，但直線與雙曲線相交時，也可能有一個公共點，例如：與雙曲線的漸近線平行的直線與雙曲線只有一個交點故選A4過點(0,1)作直線，使它與拋物線y24x僅有一個公共點，這樣的直線有_條3結合圖形分析可知，滿足題意的直線共有3條：直線x0，過點(0,1)且平行于x軸的直線以及過點(0,1)且與拋物線相切的直線(非直線x0). 5(教材改編)已知與向量v(1,0)平行的直線l與雙曲線y21相交于A，B兩點，則|AB|的最小值為_4由題意可設直線l的方程為ym，代入y21得x24(1m2)，所以x12，x22，所以|AB|x1x2|44，即當m0時，|AB|有最小值4.第1課時直線與圓錐曲線直線與圓錐曲線的位置關系1過拋物線y22x的焦點作一條直線與拋物線交于A，B兩點，它們的橫坐標之和等于2，則這樣的直線()A有且只有一條B有且只有兩條C有且只有三條D有且只有四條B設該拋物線焦點為F，A(xA，yA)，B(xB，yB)，則|AB|AF|FB|xAxBxAxB132p2.所以符合條件的直線有且只有兩條2若直線ykx1與橢圓1總有公共點，則m的取值范圍是()Am1Bm0C0m5且m1Dm1且m5D由于直線ykx1恒過點(0,1)，所以點(0,1)必在橢圓內或橢圓上，則0b0)的右焦點為F(3，0)，過點F的直線交橢圓E于A，B兩點若AB的中點坐標為(1，1)，則E的方程為()A1B1C1D1D 設A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以運用點差法，所以直線AB的斜率為k，設直線方程為y(x3)，聯立直線與橢圓的方程得(a2b2)x26b2x9b2a40，所以x1x22，又因為a2b29，解得b29，a218，方程為1.考法3與弦長有關的綜合問題【例3】如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓1(ab0)的離心率為，過橢圓右焦點F作兩條互相垂直的弦AB與CD當直線AB斜率為0時，AB4.(1)求橢圓的方程；(2)若|AB|CD|，求直線AB的方程解(1)由題意知e，2a4.又a2b2c2，解得a2，b，所以橢圓方程為1.(2)當兩條弦中一條弦所在直線的斜率為0時，另一條弦所在直線的斜率不存在，由題意知|AB|CD|7，不滿足條件當兩弦所在直線的斜率均存在且不為0時，設直線AB的方程為yk(x1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則直線CD的方程為y(x1)將直線AB方程代入橢圓方程中并整理得(34k2)x28k2x4k2120，則x1x2，x1x2，所以|AB|x1x2|.同理，|CD|.所以|AB|CD|，解得k1，所以直線AB的方程為xy10或xy10.規(guī)律方法求解弦長的四種方法(1)當弦的兩端點坐標易求時，可直接利用兩點間的距離公式求解(2)聯立直線與圓錐曲線方程，解方程組求出兩個交點坐標，代入兩點間的距離公式求解(3)聯立直線與圓錐曲線方程，消元得到關于x(或y)的一元二次方程，利用根與系數的關系得到(x1x2)2，(y1y2)2，代入兩點間的距離公式(4)當弦過焦點時，可結合焦半徑公式求解弦長 設橢圓M：1(ab0)的離心率與雙曲線x2y21的離心率互為倒數，且橢圓的長軸長為4.(1)求橢圓M的方程；(2)若直線yx1交橢圓M于A，B兩點，P(1，)為橢圓M上一