（黃岡名師）高考數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)提升練二十三4.6正弦定理和余弦定理理（含解析）新人教A版.docx

核心素養(yǎng)提升練二十三正弦定理和余弦定理(30分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共25分)1.在ABC中,a=2,b=2,B=45,則A為()A.60或120B.60C.30或150D.30【解析】選A.在ABC中,由正弦定理得=,所以sin A=.又ab,所以AB,所以A=60或A=120.2.(2016全國(guó)卷)ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知a=, c=2,cos A=,則b等于()A.B.C.2D.3【解析】選D.在ABC中,由余弦定理得a2=b2+c2-2bc cos A,即5=b2+4-,解得b=3或b=-(舍去).3.在ABC中,a,b,c分別為角A,B,C的對(duì)邊,若a=2bcos C,則此三角形一定是()A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰三角形或直角三角形【解析】選C.在ABC中,因?yàn)閏os C=,所以a=2bcos C=2b,所以a2=a2+b2-c2,所以b=c,所以此三角形一定是等腰三角形.4.在ABC中,A=60,a=,b=,則ABC解的情況是()A.無(wú)解B.有唯一解C.有兩解D.不能確定【解析】選B.因?yàn)樵贏BC中,A=60,a=,b=,所以根據(jù)正弦定理得sin B=,因?yàn)锳=60,得B+C=120,所以由sin B=,得B=30,從而得到C=90,因此,滿足條件的ABC有且只有一個(gè).5.(2019鄭州模擬)在ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若=,b=4,則ABC面積的最大值為()A.4B.2C.3D.【解析】選A.因?yàn)?,所以(2a-c)cos B=bcos C,由正弦定理得(2sin A-sin C)cos B=sin Bcos C,所以2sin Acos B=sin Ccos B+sin Bcos C=sin(B+C)=sin A.又sin A0,所以cos B=.因?yàn)?B,所以B=.由余弦定理得b2=16=a2+c2-2accos=a2+c2-ac2ac-ac=ac,所以ac16,當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)等號(hào)成立.所以SABC=acsin16=4.故ABC面積的最大值為4.【變式備選】在銳角ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若sin A=, a=3,SABC=2,則b的值為()A.6B.3C.2D.2或3【解析】選D.因?yàn)镾ABC=2=bcsin A,所以bc=6,又因?yàn)閟in A=,所以cos A=,又a=3,由余弦定理得9=b2+c2-2bccos A=b2+c2-4,b2+c2=13,可得b=2或b=3.二、填空題(每小題5分,共15分)6.(2017全國(guó)卷)ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若2bcos B=acos C+ccos A,則B=_.【解析】由正弦定理可得2sin Bcos B=sin Acos C+sin Ccos A=sin(A+C)=sin B,所以cos B=,又因?yàn)?B,所以B=.答案:7.在ABC中,三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若bcos A=sin B,且a=2,b+c=6,則ABC的面積為_(kāi).【解析】由題意可得:abcos A=asin B,所以asin Bcos A=sin Asin B,所以tan A=a=,所以A=.利用余弦定理有cos A=,結(jié)合a=2,b+c=6可得:bc=8,則SABC=bcsin A=8=2.答案:2【變式備選】在ABC中,三個(gè)內(nèi)角A,B, C所對(duì)的邊分別是a,b,c,若(b+2sin C)cos A=-2sin Acos C,且a=2,則ABC面積的最大值是_.【解析】因?yàn)?b+2sin C)cos A=-2sin Acos C,所以bcos A=-2(sin Ccos A+sin Acos C)=-2 sin(A+C)=-2sin B,則=,結(jié)合正弦定理得=,即tan A=-,A=,由余弦定理得cos A=-,化簡(jiǎn)得b2+c2=12-bc2bc,故bc4,SABC=bcsin A4= .答案:8.已知ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且asin A+bsin B+bsin A= csin C,a=2,b=2,則sin B=_.【解析】因?yàn)閍sin A+bsin B+bsin A=csin C,所以a2+b2+ab=c2.由余弦定理得cos C=-,又0C,所以C=.c2=a2+b2-2abcos C=22+(2)2-222=20,所以c=2.由正弦定理得=,即=,解得sin B=.答案:三、解答題(每小題10分,共20分)9.在ABC中,角A,B,C所對(duì)邊長(zhǎng)分別為a,b,c,3(c-acos B)=bsin A.(1)求角A.(2)若sin Bcos C=,求角C.【解析】(1)由3(c-acos B)=bsin A得3(sin C-sin Acos B)=sin Bsin A,得:3sin(A+B)-sin Acos B=sin Bsin A,得:3cos Asin B=sin Bsin A,得tan A=,所以A=.(2)因?yàn)锽+C=,所以sincos C=,cos2C+sin Ccos C=,所以(1+cos 2C)+sin 2C=,即cos 2C+sin 2C=-,所以sin=-,又因?yàn)?C+b,sin Asin C=,ABC的周長(zhǎng)為3+,求ABC的面積.【解析】(1)因?yàn)閎cos A=(a-2c)cos(-B),由正弦定理得sin Bcos A=(sin A-2sin C)(-cos B),所以sin(A+B)=2sin Ccos B,所以cos B=,因?yàn)锽(0,),所以B=.(2)因?yàn)锳+C=,所以sin Asin=sin A=,所以 sin Acos A=cos2 A,cos A(sin A-cos A)=0,即cos A=0或tan A=,解得:A=或,因?yàn)閍b,所以A=,C=,所以c=,b=a,因?yàn)閍+b+c=3+,所以a=2,c=1,b=,所以SABC=bcsin A=.5.(13分)(2019鄭州模擬)在ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c且 acos C=(2b- c)cos A.(1)求角A的大小.(2)若a=2,求ABC面積的最大值.【解析】(1)由正弦定理可得: sin Acos C=2sin Bcos A- sin Ccos A,從而可得: sin(A+C)=2sin Bcos A,即 sin B=