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對坐標的曲面積分,一、基本概念,觀察以下曲面的側(cè) (假設(shè)曲面是光滑的),曲面分上側(cè)和下側(cè),曲面分內(nèi)側(cè)和外側(cè),曲面的分類:,1.雙側(cè)曲面;,2.單側(cè)曲面.,典型雙側(cè)曲面,典型單側(cè)曲面:,莫比烏斯帶,曲面法向量的指向決定曲面的側(cè).,決定了側(cè)的曲面稱為有向曲面.,曲面的投影問題:,類似地可定義,二、概念的引入,實例: 流向曲面一側(cè)的流量.,1. 分割,則該點流速為 .,法向量為 .,2. 求和,3.取極限,三、概念及性質(zhì),積分曲面,被積函數(shù),有向面積元,類似可定義,存在條件:,組合形式:,物理意義:,性質(zhì):,由定義可知對坐標的曲面積分具有與 對坐標的曲線積分相類似的性質(zhì),1。 可加性,2 。 反向性,四、對坐標的曲面積分的計算法,注意:對坐標的曲面積分,必須注意曲面所取的側(cè).,這就是把對坐標的曲面積分化成二重積分的計算公式,概括為：,代：將曲面的方程表示為二元顯函數(shù)，然后代入 被積函數(shù)，將其化成二元函數(shù),投：將積分曲面投影到與有向面積元素（如dxdy） 中兩個變量同名的坐標面上（如xoy 面）,定號： 由曲面的方向，即曲面的側(cè)確定二重積分 的正負號,一代、二投、三定號,注,積分曲面的方程必須表示為單值顯函數(shù) 否則分片計算，結(jié)果相加,確定正負號的原則： 曲面取上側(cè)、前側(cè)、右側(cè)時為正 曲面取下側(cè)、后側(cè)、左側(cè)時為負,例1 計算,所截得的在第一卦限的部分的前側(cè),解,解,例2,例3 計算,平面 x = 0 , y = 0 , z = 0 , x + y + z = 1 所圍成的 空間區(qū)域的整個邊界曲面的外側(cè),o,x,y,z,解,分成四個部分,左側(cè),下側(cè),后側(cè),上側(cè),同理,同理,注,對坐標的曲面積分的對稱性,被積表達式具有輪換對稱性，即將被積 表達式中的所有字母按,x,y,z,順序代換后原式不變,積分曲面及其側(cè)具有對稱性，這是指曲面 在各坐標面上的投影區(qū)域均相同，且配給 的符號也相同,五、兩類曲面積分之間的聯(lián)系,兩類曲面積分之間的聯(lián)系,向量形式,例4,解,注,此例的解法具有普遍性,六、小結(jié),1、物理意義,2、計算時應(yīng)注意以下兩

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