應(yīng)用多元統(tǒng)計(jì)分析課后習(xí)題答案高惠璇第二章部分習(xí)題解答.ppt

應(yīng)用多元統(tǒng)計(jì)分析,第二章部分習(xí)題解答,2,第二章 多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì),2-1 設(shè)3維隨機(jī)向量XN3(,2I3)，已知,試求Y=AX+d的分布.,解:利用性質(zhì)2,即得二維隨機(jī)向量YN2(y,y), 其中：,3,第二章 多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì),2-2 設(shè)X=(X1,X2)N2(,)，其中,（1）試證明X1 +X2 和X1 - X2相互獨(dú)立. （2）試求X1 +X2 和X1 -X2的分布.,解: (1) 記Y1 X1 +X2 (1,1)X, Y2 X1 -X2 (1,-1)X ， 利用性質(zhì)2可知Y1 , Y2 為正態(tài)隨機(jī)變量。又,故X1 +X2 和X1 - X2相互獨(dú)立.,4,第二章 多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì),或者記,由定理2.3.1可知X1 +X2 和X1 - X2相互獨(dú)立.,5,第二章 多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì),(2) 因,6,第二章 多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì),2-3 設(shè)X(1)和X(2) 均為p維隨機(jī)向量,已知,其中(i) (i1，2)為p維向量,i (i1，2)為p階矩陣，(1) 試證明X(1) +X(2)和X(1) -X(2) 相互獨(dú)立. (2) 試求X(1) +X(2) 和X(1) -X(2) 的分布.,解 :(1) 令,7,第二章 多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì),由定理2.3.1可知X(1) +X(2)和X(1) -X(2) 相互獨(dú)立.,8,第二章 多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì),(2) 因,所以,注意:由D(X)0,可知 (1-2) 0.,9,第二章 多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì),2-11 已知X=(X1,X2)的密度函數(shù)為,試求X的均值和協(xié)方差陣.,解一:求邊緣分布及Cov(X1,X2)=12,10,第二章 多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì),類似地有,11,第二章 多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì),0,12,第二章 多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì),所以,故X=(X1,X2)為二元正態(tài)分布.,13,第二章 多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì),解二:比較系數(shù)法 設(shè),比較上下式相應(yīng)的系數(shù),可得:,14,第二章 多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì),故X=(X1,X2)為二元正態(tài)隨機(jī)向量.且,解三:兩次配方法,15,第二章 多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì),即,設(shè)函數(shù) 是隨機(jī)向量Y的密度函數(shù).,16,第二章 多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì),(4) 由于,故,(3) 隨機(jī)向量,17,第二章 多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì),2-12 設(shè)X1 N(0,1),令,證明X2 N(0,1); 證明(X1 , X2 ) 不是二元正態(tài)分布.,證明(1):任給x,當(dāng)x-1時(shí),當(dāng)x1時(shí),18,第二章 多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì),當(dāng)-1x1時(shí),(2) 考慮隨機(jī)變量Y= X1-X2 ,顯然有,19,第二章 多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì),若(X1 , X2 ) 是二元正態(tài)分布,則由性質(zhì)4可知, 它的任意線性組合必為一元正態(tài). 但Y= X1-X2 不是正態(tài)分布,故(X1 , X2 ) 不是二元正態(tài)分布.,20,第二章 多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì),2-17 設(shè)XNp(,),0,X的密度函數(shù)記為f(x;,).(1)任給a0,試證明概率密度等高面 f(x;,)= a 是一個(gè)橢球面. (2) 當(dāng)p=2且 (0)時(shí)，,概率密度等高面就是平面上的一個(gè)橢圓，試求該橢圓的方程式，長(zhǎng)軸和短軸.,證明(1):任給a0,記,21,第二章 多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì),令 ,則概率密度等高面為,(見(jiàn)附錄5 P390),22,第二章 多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì),故概率密度等高面 f(x;,)= a是一個(gè)橢球面.,(2)當(dāng)p=2且 (0)時(shí),由,可得的特征值,23,第二章 多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì),i (i=1,2)對(duì)應(yīng)的特征向量為,由(1)可得橢圓方程為,長(zhǎng)軸半徑為 方向沿著l1方向(b0);,短軸半徑為 方向沿著l2方向.,24,第二章 多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì),2-19 為了了解某種橡膠的性能，