§1-3在維勢箱中運動的粒子-結構化學課件.ppt

四、三維勢箱,一、一維勢箱模型,二、薛定諤方程處理一維勢箱模型,三、對本征值和本征函數(shù)的討論,1-3 在一維勢箱中運動的粒子,一、一維勢箱模型求解Schrodinger方程的實例,1建立模型,1-3 在一維勢箱中運動的粒子,勢能函數(shù)：,物理模型：一個質量為m的粒子，不受外力，在一維方向上被束縛在長度為 ，勢能為零的箱內運動，箱外的勢能無窮大。,應用范圍：,1-3 在一維勢箱中運動的粒子,1-3 在一維勢箱中運動的粒子,二、用薛定諤方程處理一維勢箱模型,用量子力學處理一個體系的一般步驟：,1體系的薛定諤方程,箱外：由于粒子在勢箱外不出現(xiàn)，(x)=0,哈密頓算符：,1-3 在一維勢箱中運動的粒子,箱內：勢能為零，,1-3 在一維勢箱中運動的粒子,薛定諤方程：,2解微分方程的通解,1-3 在一維勢箱中運動的粒子,上述方程是二階常系數(shù)線性齊次方程,方程的通解：,1-3 在一維勢箱中運動的粒子,3根據(jù)邊界條件討論微分方程的特解,必須是連續(xù)的，作為該體系的邊界條件，應有,1-3 在一維勢箱中運動的粒子,的特解：,4用波函數(shù)的歸一化條件,確定待定系數(shù)B,1-3 在一維勢箱中運動的粒子,根據(jù)玻恩的統(tǒng)計解釋即在整個空間找到粒子的幾率必須是100%。要求波函數(shù)是歸一化的，即：,于是得到量子化的本征值和本征函數(shù)。,1-3 在一維勢箱中運動的粒子,三、對本征值和本征函數(shù)的討論,1本征值E的討論,(1) 能量量子化,注：,一維勢箱中粒子的能量是量子化的，不連續(xù)的。,在一定條件下，如果粒子的活動范圍擴大（即 增大），相應的能量降低，如有機共軛分子中的離域效應。,不能為零。,越大，對應的能級越高， 越大，能量越低。,1-3 在一維勢箱中運動的粒子,(2) 零點能,(3) 相鄰能級間的能差,零點能即基態(tài)能量，任何微觀粒子的零點能不為零，,對于宏觀質點， 較大，能量變化非常小， 完全可以認為能量的變化是連續(xù)的。,m越大， 越大, 越小,能量趨向于連續(xù)；,m越小， 越小, 越大，量子化越顯著。,1-3 在一維勢箱中運動的粒子,2一維箱中粒子的波函數(shù) 和幾率密度,說明在一維箱中粒子存在多種可能的運動狀態(tài)。,箱中粒子的每一個 與一個 對應。,1-3 在一維勢箱中運動的粒子,(2) 的圖像,以 作圖，范圍,1-3 在一維勢箱中運動的粒子,除邊界條件 外其余各處 的點稱為節(jié)點。,波函數(shù)可以有正負變化，但幾率密度總是非負的。,節(jié)點：,節(jié)點數(shù)：,一般來說,節(jié)點越多的狀態(tài),波長越短,頻率越高,能量越高。,當 很大時，將分辨不清箱中各處幾率密度的變化，這就是說，高量子態(tài)時趨于經(jīng)典的均一的幾率密度分布。,(3) 是正交歸一化的,歸一性：是指粒子在整個空間出現(xiàn)的幾率為1,1-3 在一維勢箱中運動的粒子,正交性：是指,1-3 在一維勢箱中運動的粒子,正交性證明如下：,設有,當取前式復共軛時，得,由于,而,按共軛算符的定義，上兩式左邊應相等，故,1-3 在一維勢箱中運動的粒子,受一定勢能場束縛的粒子的共同特征：,(a) 粒子可以存在多種運動狀態(tài)，它們可由 來描述，沒有經(jīng)典的運動軌道，只有幾率分布；,(b) 存在零點能；,(c) 能量量子化；,1-3 在一維勢箱中運動的粒子,四、三維勢箱,1模型,2建立薛定諤方程,需要將薛定諤方程用變數(shù)分離法分解成三個一維的微分方程，然后分別求解，最后由 分別求得體系的完全波函數(shù)和能級。,（2）寫出薛定諤方程,薛定諤方程：,箱內，,1-3 在一維勢箱中運動的粒子,邊界條件：,1-3 在一維勢箱中運動的粒子,3.解薛定諤方程，根據(jù)邊界條件和歸一化條件求出,1-3 在一維勢箱中運動的粒子,對立方勢箱：,1-3 在一維勢箱中運動的粒子,1-3 在一維勢箱中運動的粒子,4.簡并態(tài)、簡并度、簡并能級,例：,1-3 在一維勢箱中運動的粒子,定義：象這樣一個能級有兩個或兩個以上的狀態(tài)與之對