同級高數(shù)第5章課件第7節(jié).ppt

,習(xí)題課,一、與定積分概念有關(guān)的問題的解法,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,二、有關(guān)定積分計算和證明的方法,定積分及其相關(guān)問題,第五章,一、與定積分概念有關(guān)的問題的解法,1. 用定積分概念與性質(zhì)求極限,2. 用定積分性質(zhì)估值,3. 與變限積分有關(guān)的問題,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例1. 求,解: 因?yàn)?時,所以,利用夾逼準(zhǔn)則得,因?yàn)?依賴于,且,1) 思考例1下列做法對嗎 ?,利用積分中值定理,原式,不對 !,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,說明:,2) 此類問題放大或縮小時一般應(yīng)保留含參數(shù)的項 .,如, P265 題4,解：將數(shù)列適當(dāng)放大和縮小，以簡化成積分和：,已知,利用夾逼準(zhǔn)則可知,(考研98 ),例2. 求,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,思考:,提示:由上題,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,故,練習(xí): 1.,求極限,解：,原式,2. 求極限,提示：,原式,左邊,= 右邊,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例3.,估計下列積分值,解: 因?yàn)?即,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例4. 證明,證: 令,則,令,得,故,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例5.,設(shè),在,上是單調(diào)遞減的連續(xù)函數(shù)，,試證,都有不等式,證明：顯然,時結(jié)論成立.,(用積分中值定理),當(dāng),時,故所給不等式成立 .,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,明對于任何,例6.,解：,且由方程,確定 y 是 x 的函數(shù) , 求,方程兩端對 x 求導(dǎo), 得,令 x = 1, 得,再對 y 求導(dǎo), 得,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,故,例7.,求可微函數(shù) f (x) 使?jié)M足,解: 等式兩邊對 x 求導(dǎo), 得,不妨設(shè) f (x)0,則,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,注意 f (0) = 0, 得,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例8. 求多項式 f (x) 使它滿足方程,解: 令,則,代入原方程得,兩邊求導(dǎo):,可見 f (x) 應(yīng)為二次多項式 ,設(shè),代入 式比較同次冪系數(shù) , 得,故,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,再求導(dǎo):,二、有關(guān)定積分計算和證明的方法,1. 熟練運(yùn)用定積分計算的常用公式和方法,2. 注意特殊形式定積分的計算,3. 利用各種積分技巧計算定積分,4. 有關(guān)定積分命題的證明方法,思考: 下列作法是否正確?,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例9. 求,解: 令,則,原式,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例10. 求,解:,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例11. 選擇一個常數(shù) c , 使,解: 令,則,因?yàn)楸环e函數(shù)為奇函數(shù) , 故選擇 c 使,即,可使原式為 0 .,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例12. 設(shè),解:,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例13. 若,解: 令,試證 :,則,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,因?yàn)?對右端第二個積分令,綜上所述,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例14. 證明恒等式,證: 令,則,因此,又,故所證等式成立 .,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例15.,試證,使,分析:,要證,即,故作輔助函數(shù),機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,至少存在一點(diǎn),證明: 令,在,上連續(xù),在,至少,使,即,因在,上,連續(xù)且不為0 ,從而不變號,因此,故所證等式成立 .,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,故由羅爾定理知 ,存在一點(diǎn),思考: 本題能否用柯西中值定理證明 ?,如果能, 怎樣設(shè)輔助函數(shù)?,提示:,設(shè)輔助函數(shù),例15 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例16.,設(shè)函數(shù) f (x) 在a, b 上連續(xù),在(a, b) 內(nèi)可導(dǎo), 且,(1) 在(a, b) 內(nèi) f (x) 0 ;,(2) 在(a, b) 內(nèi)存在點(diǎn) , 使,(3) 在(a, b) 內(nèi)存在與 相異的點(diǎn) , 使,(03考研),機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,證: (1),由 f (x)在a, b上連續(xù),知 f (a) = 0.,所以f (x),在(a, b)內(nèi)單調(diào)增,因此,(2) 設(shè),滿足柯西中值定理條件,于是存在,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,即,(3) 因,在a, 上用拉格朗日中值定