2018_2019學年高中數(shù)學第1部分第3章空間向量與立體幾何章末小結(jié)知識整合與階段檢測含解析蘇教版.docx

第3章 空間向量與立體幾何對應(yīng)學生用書P72一、空間向量的線性運算空間向量的線性運算包括加、減及數(shù)乘運算，選定空間不共面的向量作為基向量，并用它們表示出目標向量，這是用向量法解決立體幾何問題的基本要求，解題時，可結(jié)合已知和所求，根據(jù)圖形，利用向量運算法則表示所需向量二、空間向量的數(shù)量積由ab|a|b|cosa，b可知，利用該公式可求夾角、距離還可由ab0來判定垂直問題，要注意數(shù)量積是一個數(shù)，其符號由a，b的大小確定三、空間向量與平行和垂直空間圖形中的平行與垂直問題是立體幾何中最重要的問題之一，主要是運用直線的方向向量和平面的法向量解決利用空間向量解決空間中的位置關(guān)系的常用方法有：(1)線線平行證明兩條直線平行，只需證明兩條直線的方向向量是共線向量 (2)線線垂直證明兩條直線垂直，只需證明兩直線的方向向量垂直，且abab0.(3)線面平行用向量證明線面平行的方法主要有：證明直線的方向向量與平面的法向量垂直；證明可在平面內(nèi)找到一個向量與直線的方向向量是共線向量；利用共面向量定理，即證明可在平面內(nèi)找到兩不共線向量把直線的方向向量線性表示出來(4)線面垂直用向量證明線面垂直的方法主要有：證明直線的方向向量與平面的法向量平行；利用線面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為線線垂直問題(5)面面平行證明兩個平面的法向量平行(即是共線向量)；轉(zhuǎn)化為線面平行、線線平行問題(6)面面垂直證明兩個平面的法向量互相垂直；轉(zhuǎn)化為線面垂直、線線垂直問題四、空間向量與空間角利用空間向量求空間角，一般有兩種方法：即幾何法和向量法，利用向量法只需求出直線的方向向量與平面的法向量即可(1)求兩異面直線所成的角可利用公式cosa，b，但務(wù)必注意兩異面直線所成角的范圍是，而兩向量之間的夾角的范圍是0，故實質(zhì)上應(yīng)有cos |cosa，b|.(2)求線面角求直線與平面所成的角時，一種方法是先求出直線及此直線在平面內(nèi)的射影直線的方向向量，通過數(shù)量積求出直線與平面所成的角；另一種方法是借助平面的法向量，先求出直線的方向向量與平面法向量的夾角，即可求出直線與平面所成的角，其關(guān)系是sin |cos |.(3)求二面角基向量法：利用定義在棱上找到兩個能表示二面角的向量，將其用一組基底表示，再做向量運算；坐標法：建立空間直角坐標系，求得兩個半平面的法向量n1，n2，利用cosn1，n2結(jié)合圖形求得(時間120分鐘，滿分160分)一、填空題(本大題共14小題，每小題5分，共70分將答案填在題中的橫線上)1已知a(3,2,5)，b(1，x，1)，且ab2，則x的值是_解析：ab32x52，x5.答案：52設(shè)A、B、C、D是空間不共面的四點，且滿足0，0，0，則BCD的形狀是_解析：BCD中，()()20，B為銳角，同理，C，D均為銳角，BCD為銳角三角形答案：銳角三角形3已知直線l與平面垂直，直線的一個方向向量為u(1,3，z)，向量v(3，2,1)與平面平行，則z_.解析：平面的法向量u(1,3，z)，v與平面平行，uv，uv133(2)z10，z3.答案：34已知空間三點A(0,2,3)，B(2,1,6)，C(1，1,5)若|a|，且a分別與，垂直，則向量a為_解析：設(shè)a(x，y，z)，(2，1,3)，(1，3,2)則解得a(1,1,1)或(1，1，1)答案：(1,1,1)或(1，1，1)5已知A(1,5，2)，B(2,4,1)，C(x,3，y2)，且A、B、C三點共線，則實數(shù)x，y的值分別為_、_.解析：若A、B、C三點共線，則，也共線(1，1,3)，(x2，1，y1)，1.x3，y2.答案：326已知向量p關(guān)于基底a，b，c的坐標為(3,2，1)，則p關(guān)于基底2a，b，c的坐標是_解析：由已知得p3a2bc，則p(2a)(2)(b)(2).故p關(guān)于基底的坐標為.答案：7已知直線l1，l2的方向向量分別為a，b，且a(1,2，2)，b(2,3，m)，若l1l2，則實數(shù)m的值為_解析：l1l2，ab.ab1(2)23(2)m42m0.m2.答案：28已知a(cos ，1，sin )，b(sin ，1，cos )，則向量ab與ab的夾角是_解析：(ab)(ab)a2b2(cos2sin21)(sin21cos2)0，(ab)(ab)答案：909已知向量a(cos ，sin ，1)，b(，1,2)，則|2ab|的最大值是_解析：因為2ab(2cos ，2sin 1,0)，所以|2ab|4.答案：410平面的法向量為u(1，2，1)，平面的法向量為v(2,4,2)，則不重合的平面與平面的位置關(guān)系為_解析：v2(1，2，1)2u，vu，.答案：平行11已知直角ABC中，C90，B30，AB4，D為AB的中點，沿中線將ACD折起使得AB ，則二面角ACDB的大小為_解析：如圖，取CD中點E，在平面BCD內(nèi)過B點作BFCD，交CD延長線于F.據(jù)題意知AECD，AEBF，EF2，AB.且，為二面角的平面角，由2()2得1333423cos，cos，120.即所求的二面角為120.答案：12012.如圖，在空間四邊形ABCD中，AC和BD為對角線，G為ABC的重心，E是BD上一點，BE3ED，若以，為基底，則_.解析：().答案： 13正方體ABCDA1B1C1D1中，BB1與平面ACD1所成角的余弦值為_解析：以D為原點，建立空間直角坐標系如圖，設(shè)正方體棱長為1，D(0,0,0)，B1(1,1,1)，B(1,1,0)，則(0,0,1)B1D平面ACD1，(1,1,1)為平面ACD1的法向量設(shè)BB1與平面ACD1所成的角為，則sin ，cos .答案：14已知(1,2,3)，(2,1,2)，(1,1,2)，點Q在直線OP上運動，則當取得最小值時，點Q的坐標為_解析：Q在OP上，可設(shè)Q(x，x,2x)，則(1x,2x,32x)，(2x,1x,22x)6x216x10，x時，最小，這時Q.答案：二、解答題(本大題共6小題，共90分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)15(本小題滿分14分)如圖，已知ABCDABCD是平行六面體(1)化簡，并在圖中標出其結(jié)果；(2)設(shè)M是BD的中點，N是側(cè)面BCCB對角線BC上的分點，設(shè)，試求、的值解：(1)取DD的中點G，過點G作DC的平行線GH，使GHDC，連接AH，則.如圖所示(2)()().，.16(本小題滿分14分)已知空間三點A(2,0,2)，B(1，1,2)，C(3,0,4)，設(shè)a，b.(1)求a和b的夾角的余弦值；(2)若向量kab與ka2b互相垂直，求k的值解：a(1,1,2)(2,0,2)(1,1,0)，b(3,0,4)(2,0,2)(1,0,2)(1)cos ，a與b的夾角的余弦值為.(2)kab(k，k,0)(1,0,2)(k1，k,2)，ka2b(k，k,0)(2,0,4)(k2，k，4)，(k1，k,2)(k2，k，4)(k1)(k2)k280.即2k2k100，k或k2.17(本小題滿分14分)如圖所示，已知直三棱柱(側(cè)棱垂直于底面的三棱柱)ABCA1B1C1中，ACBC，D是AB的中點，ACBCBB1.(1)求證：BC1AB1；(2)求證：BC1平面CA1D.證明：如圖所示，以C1點為原點，建立空間直角坐標系，設(shè)ACBCBB12，則A(2,0,2)，B(0,2,2)，C(0,0,2)，A1(2,0,0)，B1(0,2,0)，C1(0,0,0)，D(1,1,2)(1)由于(0，2，2)，(2,2，2)，0440，即，故BC1AB1.(2)取A1C的中點E，連結(jié)DE.由于E(1,0,1)，(0,1,1)，又(0，2，2)，且ED與BC1不共線，EDBC1，又ED平面CA1D，BC1平面CA1D，BC1平面CA1D.18(本小題滿分16分)正ABC的邊長為4，CD是AB邊上的高，E，F(xiàn)分別是AC和BC邊的中點，現(xiàn)將ABC沿CD翻折成直二面角ADCB.(1)試判斷直線AB與平面DEF的位置關(guān)系，并說明理由；(2)求二面角EDFC的余弦值；(3)在線段BC上是否存在一點P，使APDE？如果存在，求出的值；如果不存在，請說明理由解：(1)在ABC中，由E，F(xiàn)分別是AC，BC中點，得EFAB，又AB平面DEF，EF平面DEF，AB平面DEF.(2)以點D為坐標原點，以直線DB、DC、DA分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系，則A(0,0,2)，B(2,0,0)，C(0,2，0)，E(0，1)，F(xiàn)(1，0)，(1，0)，(0，1)，(0,0,2)平面CDF的法向量為(0,0,2)，設(shè)平面EDF的法向量為n(x，y，z)，則即取n(3，3)，cos，n，所以二面角EDFC的余弦值為.(3)存在設(shè)P(s，t,0)，則t20，t，又(s2，t,0)，(s,2t,0)，(s2)(2t)st，st2.把t代入上式得s，在線段BC上存在點P，使APDE.此時.19(北京高考)(本小題滿分16分)如圖1，在RtABC中，C90，BC3，AC6，D、E分別為AC、AB上的點，且DEBC，DE2，將ADE沿DE折起到A1DE的位置，使A1CCD，如圖2.(1)求證：A1C平面BCDE；(2)若M是A1D的中點，求CM與平面A1BE所成角的大?。?3)線段BC上是否存在點P，使平面A1DP與平面A1BE垂直？說明理由解：(1)證明：因為ACBC，DEBC，所以DEAC.所以EDA1D，DECD，所以DE平面A1DC.所以DEA1C.又因為A1CCD，且CDDED，所以A1C平面BCDE. (2)如圖，以C為坐標原點，CB、CD、CA1為x、y、z軸，建立空間直角坐標系Cxyz，則A1(0,0,2)，D(0,2,0)，M(0,1，)，B(3,0,0)，E(2,2,0)設(shè)平面A1BE的法向量為n(x，y，z)，則n0，n0.又(3，0，2)，BE(1,2,0)，所以令y1，則x2，z.所以n(2,1，)設(shè)CM與平面A1BE所成的角為.因為(0,1，)所以sin |cosn，|.所以CM與平面A1BE所成角的大小為.(3)線段BC上不存在點P，使平面A1DP與平面A1BE垂直，理由如下：假設(shè)這樣的點P存在，設(shè)其坐標為(p,0,0)，其中p0,3設(shè)平面A1DP的法向量為m(x，y，z)，則m0，m0.又(0，2，2)，(p，2,0)，所以令x2，則yp，z.所以m.平面A1DP平面A1BE，當且僅當mn0，即4pp0.解得p2，與p0,3矛盾所以線段BC上不存在點P，使平面A1DP與平面A1BE垂直20(山東高考)(本小題滿分16分) 如圖所示，在三棱錐PABQ中，PB平面ABQ，BABPBQ，D，C，E，F(xiàn)分別是AQ，BQ，AP，BP的中點，AQ2BD，PD與EQ交于點G，PC與FQ交于點H，連接GH.(1)求證：ABGH；(2)求二面角DGHE的余弦值解：(1)證明：因為D，C，E，F(xiàn)分別是AQ，BQ，AP，BP的中點，所以EFAB，DCAB.所以EFDC.又EF平面PCD，DC平面PCD，所以EF平面PCD.又EF平面EFQ，平面EFQ平面PCDGH，所以EFGH.又EFAB，所以ABGH.(2)在ABQ中，AQ2BD，ADDQ，所以ABQ90.又PB平面ABQ，所以BA，BQ，BP兩兩垂直以B為坐標原點，分別以BA，BQ，BP所在直線為x軸，y軸