2018_2019學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章推理與證明4數(shù)學(xué)歸納法教案（含解析）北師大版.docx

4 數(shù)學(xué)歸納法在學(xué)校，我們經(jīng)常會看到這樣一種現(xiàn)象：排成一排的自行車，如果一個(gè)同學(xué)不小心將第一輛自行車弄倒了，那么整排自行車就會倒下問題1：試想要使整排自行車倒下，需要具備哪幾個(gè)條件？提示：(1)第一輛自行車倒下；(2)任意相鄰的兩輛自行車，前一輛倒下一定導(dǎo)致后一輛倒下問題2：這種現(xiàn)象對你有何啟發(fā)？提示：這種現(xiàn)象使我們想到一些與正整數(shù)n有關(guān)的數(shù)學(xué)問題數(shù)學(xué)歸納法及其基本步驟數(shù)學(xué)歸納法是用來證明某些與正整數(shù)n有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的一種方法，它的基本步驟是：(1)驗(yàn)證：當(dāng)n取第一個(gè)值n0(如n01或2等)時(shí)，命題成立；(2)在假設(shè)當(dāng)nk(kN，kn0)時(shí)命題成立的前提下，推出當(dāng)nk1時(shí)，命題成立根據(jù)(1)(2)可以斷定命題對一切從n0開始的正整數(shù)n都成立1數(shù)學(xué)歸納法僅適用于與正整數(shù)n有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的證明2應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法時(shí)應(yīng)注意：(1)驗(yàn)證是證明的基礎(chǔ)，遞推是證明的關(guān)鍵，二者缺一不可；(2)在證明nk1命題成立時(shí)，必須使用歸納假設(shè)的結(jié)論，否則就不是數(shù)學(xué)歸納法 用數(shù)學(xué)歸納法證明等式例1用數(shù)學(xué)歸納法證明：1(nN)思路點(diǎn)撥運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法由nk到nk1，等式左邊增加了兩項(xiàng)結(jié)合等式右邊的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，進(jìn)一步確定所需要的項(xiàng)及多余項(xiàng)，最后湊成所需要的結(jié)構(gòu)形式即可精解詳析(1)當(dāng)n1時(shí)，左邊1，右邊.左邊右邊，等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(k1)時(shí)等式成立，即1，則當(dāng)nk1時(shí)，.即當(dāng)nk1時(shí)，等式也成立綜合(1)和(2)可知，對一切正整數(shù)n等式都成立一點(diǎn)通用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的一些等式命題，關(guān)鍵在于“看項(xiàng)”，弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，等式的兩邊各有多少項(xiàng)，項(xiàng)的多少與n的取值是否有關(guān)，由nk到nk1時(shí)，等式兩邊會增加多少項(xiàng)，增加了怎樣的項(xiàng)1用數(shù)學(xué)歸納法證明：1427310n(3n1)n(n1)2(其中nN)證明：(1)當(dāng)n1時(shí)，左邊144，右邊1224，左邊右邊，等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(kN)時(shí)等式成立，即1427310k(3k1)k(k1)2，那么，當(dāng)nk1時(shí)，1427310k(3k1)(k1)3(k1)1k(k1)2(k1)3(k1)1(k1)(k24k4)(k1)(k1)12，即當(dāng)nk1時(shí)等式也成立根據(jù)(1)和(2)，可知等式對任何nN都成立2用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)nN時(shí)，132333n3.證明：(1)當(dāng)n1時(shí)，左邊1，右邊1，等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(kN)時(shí)，等式成立，即132333k3.那么，當(dāng)nk1時(shí)，有132333k3(k1)3(k1)3(k1)2(k1)2.即當(dāng)nk1時(shí)，等式也成立根據(jù)(1)和(2)，可知對任何nN等式都成立.用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式例2求證：(n2，nN)思路點(diǎn)撥在由nk到nk1的推證過程中可考慮使用“放縮法”，使問題簡單化，這是利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的常用方法之一精解詳析(1)當(dāng)n2時(shí)，左邊，不等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(k2，kN)時(shí)不等式成立，即，則當(dāng)nk1時(shí)，所以當(dāng)nk1時(shí)不等式也成立由(1)(2)可知，原不等式對一切n2，nN均成立一點(diǎn)通用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式問題的四個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)關(guān)鍵點(diǎn)一驗(yàn)證第1個(gè)n的取值時(shí)，要注意 n0不一定為1，若條件為nk，則n0k1關(guān)鍵點(diǎn)二證明不等式的第二步中，從 nk到nk1 的推導(dǎo)過程中，一定要應(yīng)用歸納假設(shè)，不應(yīng)用歸納假設(shè)的證明不是數(shù)學(xué)歸納法，因?yàn)槿鄙佟皻w納遞推”關(guān)鍵點(diǎn)三應(yīng)用歸納假設(shè)后，若證明方法不明確，可采用分析法證明nk1 時(shí)也成立，這樣既易于找到證明的突破口，又完整表達(dá)了證明過程關(guān)鍵點(diǎn)四證明nk1成立時(shí)，應(yīng)加強(qiáng)目標(biāo)意識，即要證明的不等式是什么，目標(biāo)明確了，要根據(jù)不等號的方向適當(dāng)放縮，但不可“放得過大”或“縮得過小”3已知nN，n2，求證：1 .證明：(1)當(dāng)n3時(shí)，左邊1，右邊2，左邊右邊，不等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(kN，k3)時(shí)，不等式成立，即1.當(dāng)nk1時(shí)，1 .因?yàn)?，所以1 .所以當(dāng)nk1時(shí)，不等式也成立由(1)、(2)知對一切nN，n2，不等式恒成立4用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)nN時(shí)，12232nn(n1)n.證明：(1)當(dāng)n1時(shí)，左邊1，右邊2,12，不等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(kN)時(shí)不等式成立，即12233kk(k1)k，那么，當(dāng)nk1時(shí)，左邊122233kk(k1)k1(k1)k(k1)k1(k1)k(k2)(k2)k1(k1)1k1右邊，即左邊n2對從n0開始的所有正整數(shù)都成立”時(shí)，第一步驗(yàn)證的n0()A1 B3C5 D7解析：選Cn的取值與2n，n2的取值如下表：n1234562n248163264n2149162536由于2n的增長速度要遠(yuǎn)大于n2的增長速度，故當(dāng)n4，即n5時(shí)，恒有2nn2.3設(shè)平面內(nèi)有k條直線，其中任何兩條不平行，任何三條不共點(diǎn)，設(shè)k條直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為f(k)，則f(k1)與f(k)的關(guān)系是()Af(k1)f(k)k1 Bf(k1)f(k)k1Cf(k1)f(k)k Df(k1)f(k)k2解析：選C當(dāng)nk1時(shí)，任取其中1條直線記為l，則除l外的其他k條直線的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為f(k)，因?yàn)橐阎魏蝺蓷l直線不平行，所以直線l必與平面內(nèi)其他k條直線都相交(有k個(gè)交點(diǎn))；又因?yàn)槿魏稳龡l直線不過同一點(diǎn)，所以上面的k個(gè)交點(diǎn)兩兩不相同，且與平面內(nèi)其他的f(k)個(gè)交點(diǎn)也兩兩不相同，從而nk1時(shí)交點(diǎn)的個(gè)數(shù)是f(k)kf(k1)4用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的過程中，由nk到nk1時(shí)，不等式左邊的變化情況為()A增加B增加C增加，減少D增加，減少解析：選C當(dāng)nk時(shí)，不等式的左邊，當(dāng)nk1時(shí)，不等式的左邊，又，所以由nk到nk1時(shí)，不等式的左邊增加，減少.5用數(shù)學(xué)歸納法證明12222n12n1(nN)的過程如下：當(dāng)n1時(shí)，左邊1，右邊2111，等式成立假設(shè)當(dāng)nk時(shí)，等式成立，即12222k12k1，則當(dāng)nk1時(shí)，12222k12k2k11，所以，當(dāng)nk1時(shí)等式成立由此可知，對任何nN，等式都成立上述證明的錯(cuò)誤是_解析：當(dāng)nk1時(shí)正確的解法是12222k12k2k12k2k11，即一定用上第二步中的假設(shè)答案：沒有用上歸納假設(shè)進(jìn)行遞推6用數(shù)學(xué)歸納法證明，推證當(dāng)nk1時(shí)等式也成立時(shí)，只需證明等式_成立即可解析：當(dāng)nk1時(shí)，故只需證明即可答案：7數(shù)列an滿足an0(nN)，Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，并且滿足Sn，求S1，S2，S3的值，猜想Sn的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明解：由an0，得Sn0，由a1S1，整理得a1，取正根得a11，所以S11.由S2及a2S2S1S21，得S2，整理得S2，取正根得S2.同理可求得S3.由此猜想Sn.用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：(1)當(dāng)n1時(shí)，上面已求出S11，結(jié)論成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(kN)時(shí)，結(jié)論成立，即Sk.那么，當(dāng)nk1時(shí)，Sk1.整理得Sk1，取正根得Sk1.即當(dāng)nk1時(shí)，結(jié)論也成立由(1)(2)可知，對任意nN，Sn都成立8用數(shù)學(xué)歸納法證明11n(nN)解：(1)當(dāng)n1時(shí)，左式1，右式1，且1，命題成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(nN)時(shí)，命題成立，即11k，則當(dāng)nk1時(shí)，112k1.又1k2k(k1)，即當(dāng)nk1時(shí)，命題成立由(1)和(2)可知，命題對所有的nN都成立一、歸納和類比1歸納推理和類比推理是常用的合情推理，都是根據(jù)已有的事實(shí)，經(jīng)過觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進(jìn)行歸納類比，然后提出猜想的推理2從推理形式上看，歸納是由部分到整體、由個(gè)別到一般的推理；類比是兩類事物特征間的推理，是由特殊到特殊的推理二、直接證明和間接證明1直接證明包括綜合法和分析法(1)綜合法證明數(shù)學(xué)問題是“由因?qū)Ч保治龇▌t是“執(zhí)果索因”，二者一正一反，各有特點(diǎn)綜合法的特點(diǎn)是表述簡單、條理清楚，分析法則便于解題思路的探尋(2)分析法與綜合法往往結(jié)合起來使用，即用分析法探尋解題思路，而用綜合法書寫過程，即“兩頭湊”，可使問題便于解決2間接證明主要是反證法反證法：一般地，假設(shè)原命題不成立，經(jīng)過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明假設(shè)錯(cuò)誤，從而證明了原命題成立反證法主要適用于以下兩種情形：(1)要證的結(jié)論與條件之間的聯(lián)系不明顯，直接由條件推出結(jié)論的線索不夠清晰；(2)如果從正面證明，需要分成多種情形進(jìn)行分