自動(dòng)控制原理2-3控制系統(tǒng)的復(fù)域數(shù)學(xué)模型.pptVIP

2-3 控制系統(tǒng)的復(fù)域數(shù)學(xué)模型,雖然微分方程是基本的數(shù)學(xué)模型, 卻并不是一個(gè)使用起來(lái)最方便的數(shù)學(xué)模型. 因?yàn)閺奈⒎址匠坛霭l(fā)分析系統(tǒng)的性能, 就必須求出微分方程的解 , 而對(duì)于階數(shù)大于2的微分方程來(lái)說(shuō), 求解并非易事。但是如果用拉氏變換將微積分運(yùn)算轉(zhuǎn)換為代數(shù)運(yùn)算，也就是傳遞函數(shù)，然后在復(fù)數(shù)域中求解，再求出拉氏反變換，這就是所求的微分方程的時(shí)域解，對(duì)于高階微分方程的解就不是困難。傳遞函數(shù)是基于拉氏變換得到的，它是經(jīng)典控制理論中最重要的數(shù)學(xué)模型之一。,1.傳遞函數(shù)的定義和性質(zhì) （1）傳遞函數(shù)的定義：線(xiàn)性定常系統(tǒng)在零初始條件下，輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比。,例: 一RC電路如下圖所示, 設(shè)在開(kāi)關(guān)K閉合的瞬間時(shí)刻作為計(jì)時(shí)起點(diǎn), 即t=0, 且此時(shí)電容兩端的電壓為 ， 如果開(kāi)關(guān)K閉合后不再打開(kāi), 則相當(dāng)于在RC電路輸入端加了一恒定的電壓, 其幅值為,RC電路的微分方程為:,令,為RC電路的時(shí)間常數(shù), 則式(1)為:,對(duì)式(2)兩邊進(jìn)行拉氏變換, 得:,因?yàn)?是幅值為,的階躍電壓, 故,代入式(4), 得:,對(duì)式(5)兩邊進(jìn)行拉氏反變換, 得:,如令, 即初始條件為零, 則式(4)為,從而RC電路可,用下面方塊圖表示:,（2） 傳遞函數(shù)的性質(zhì): 1）傳遞函數(shù)是輸入與輸出兩個(gè)復(fù)變量s的有理多項(xiàng)式之比, 且m=n，具有復(fù)變函數(shù)的所有性質(zhì). 兩個(gè)多項(xiàng)式中的所有系數(shù)均為實(shí)數(shù). 2）傳遞函數(shù)只取決于系統(tǒng)或環(huán)節(jié)本身的結(jié)構(gòu)和參數(shù), 而與系統(tǒng)或環(huán)節(jié)的輸入信號(hào)的形式和大小無(wú)關(guān). 3）傳遞函數(shù)的概念主要適用于單輸入單輸出系統(tǒng)。若系統(tǒng)有多個(gè)輸入信號(hào)，在求傳遞函數(shù)時(shí)，除了一個(gè)有關(guān)的輸入外，其它的輸入量一概視為零。 4）傳遞函數(shù)的拉氏反變換是脈沖響應(yīng)g(t)（可見(jiàn)作業(yè)2-6）,例2 拉氏變換法求下圖的傳遞函數(shù)：,2.傳遞函數(shù)的極點(diǎn)和零點(diǎn)對(duì)輸出的影響,系統(tǒng)的傳遞函數(shù)的極點(diǎn)就是系統(tǒng)微分方程的特征根，決定著系統(tǒng)的模態(tài)（系統(tǒng)所對(duì)應(yīng)的基本運(yùn)動(dòng)形態(tài)，達(dá)到穩(wěn)定時(shí)的形狀），每種模態(tài)代表一種運(yùn)動(dòng)形態(tài)。 線(xiàn)性定常時(shí)不變系統(tǒng)，其輸出模態(tài)是由系統(tǒng)的特征根和輸入共同決定的。 系統(tǒng)的零點(diǎn)只影響各模態(tài)響應(yīng)所占的比重。 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)的零點(diǎn)和極點(diǎn)以及傳遞系數(shù)對(duì)輸出的影響請(qǐng)參見(jiàn)教材P.48-P.49有關(guān)內(nèi)容. 舉例一極點(diǎn)相同（-2，-3），但零點(diǎn)不同系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：,在單位階躍輸入時(shí)，其輸出分別為：,3. 典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù),一個(gè)自動(dòng)控制系統(tǒng), 不管其多么復(fù)雜, 總是由若干個(gè) 元件按不同的方式根據(jù)一定的目的組合而成. 從結(jié)構(gòu)和作 用原理角度來(lái)看元件, 可以有各種各樣不同的元件, 如機(jī) 械式, 電氣式, 液壓式, 氣動(dòng)式等等. 但從描述各種元件 的行為特征的數(shù)學(xué)模型來(lái)看元件, 不管元件的結(jié)構(gòu)和作用 原理如何千差萬(wàn)別, 其數(shù)學(xué)模型卻有可能完全一樣. 因此 從元件的數(shù)學(xué)模型來(lái)劃分元件的種類(lèi), 只有幾種最基本的 元件或稱(chēng)為典型環(huán)節(jié).,典型環(huán)節(jié)有比例、積分、慣性、振蕩、微分和延遲環(huán)節(jié)等多種。以下分別討論典型環(huán)節(jié)的時(shí)域特征和復(fù)域（s域）特征。時(shí)域特征包括微分方程和單位階躍輸入下的輸出響應(yīng)。s域特性研究系統(tǒng)的零極點(diǎn)分布。,比例環(huán)節(jié)又稱(chēng)為放大環(huán)節(jié)。k為放大系數(shù)。實(shí)例：分壓器，放大器，無(wú)間隙無(wú)變形齒輪傳動(dòng)等。,實(shí)例：電動(dòng)機(jī)角速度與角度之間的傳遞函數(shù)，模擬計(jì)算機(jī)中積分器等。,（三）慣性環(huán)節(jié),當(dāng)輸入為單位階躍函數(shù)時(shí),有 ，可解得： ，式中：k為放大系數(shù)，T為時(shí)間常數(shù)。,兩個(gè)實(shí)例：,實(shí)例：RC濾波電路、溫度控制系統(tǒng)等,（四）振蕩環(huán)節(jié)： 時(shí)域方程：,傳遞函數(shù)：,（五）微分環(huán)節(jié)： 微分環(huán)節(jié)的時(shí)域形式有三種形式： ,相應(yīng)的傳遞函數(shù)為： ,分別稱(chēng)為：純微分，一階微分和二階微分環(huán)節(jié)。微分環(huán)節(jié)沒(méi)有極點(diǎn)，只有零點(diǎn)。分別是零、實(shí)數(shù)和一對(duì)共軛零點(diǎn)（若 ）。在實(shí)際系統(tǒng)中，由于存在慣性，單純的微分環(huán)節(jié)是不存在的，一般都是微分環(huán)節(jié)加慣性環(huán)節(jié)。,式中：,實(shí)例,（六）延遲環(huán)節(jié)：又稱(chēng)時(shí)滯，時(shí)延環(huán)節(jié)。它的輸出是經(jīng)過(guò)一個(gè)延遲時(shí)間后，完全復(fù)現(xiàn)輸入信號(hào)。 如