《哈密頓力學》PPT課件.ppt

4 哈密頓動力學,1 正則方程 2 守恒原理 3 泊松括號和泊松定理 4 劉維定理 5 哈密頓原理 6 正則變換 7 哈密頓雅可比原理,拉格朗日動力學,哈密頓動力學,從量綱來分析：,能量時間,=作用量,1. 哈密頓正則方程,完整、保守的系統(tǒng)，動力學方程為拉格朗日方程,是廣義坐標的二階微分方程，可改寫為,廣義動量定義為,2s個一階微分方程作為系統(tǒng)的動力學方程,用廣義坐標和廣義動量來代替廣義坐標和廣義速度,一、正則方程,從廣義動量的定義,解出廣義速度,系統(tǒng)的動力學方程，但形式由廣義坐標的選取來確定,哈密頓正則方程,二、特性函數(shù),三、勒讓德變換,兩個自變量的函數(shù),四個變量之間的兩個方程，其中的2個是獨立的,以u，y為獨立變量，則,構(gòu)造一個新的函數(shù),因此,舊獨立變量,舊獨立變量,新獨立變量,不要的原獨立變量=,新函數(shù),新獨立變量,=新的不獨立變量,原不獨立變量= -,新函數(shù),新獨立變量,舊函數(shù),保留的獨立變量,=,=保留的不獨立變量,比較,將 f 換成 g 后,第一式：u 與 x 對易,第二式：加負號,這種由一組獨立變量(x,y)變?yōu)榱硪唤M獨立變量(u,y)的變換成為勒讓德變換,勒讓德變換指出：獨立變量改變，相應(yīng)的函數(shù)本身隨之改變，這樣不獨立變量仍可以用獨立變量的偏導(dǎo)數(shù)表示,由勒讓德變換給出正則方程：,拉格朗日變量：,哈密頓變量：,新函數(shù),新的獨立變量,不要的原獨立變量,舊函數(shù),根據(jù)前面我們得到的勒讓德變換有：,這些勒讓德變換只是數(shù)學內(nèi)容，考慮拉格朗日方程，,則有,哈密頓量 H=Ep+Ek,動量定義,牛頓第二定律,p 廣義動量 x廣義位移,即：,哈密頓正則方程：,一維彈簧振子的運動,哈密頓變量：,哈密頓正則方程,哈密頓函數(shù)：,拉格朗日變量：,哈密頓變量：,對比,可得,考慮拉格朗日方程，,因此有：,2. 守恒原理,一、能量積分,哈密頓量：,對時間求微商：,考慮正則方程,也就是說，哈密頓函數(shù)H中不顯含時間t，,則有,表示一積分常數(shù),廣義能量守恒,由拉格朗日動力學可知,穩(wěn)定約束：,體系機械能守恒,不穩(wěn)定約束：,廣義能量守恒,二、循環(huán)積分，可遺坐標,若哈密頓函數(shù)H 中不顯含某一廣義坐標,則由正則方程，立即有,也就是,這就是哈密頓動力學中的廣義動量守恒原理,拉格朗日動力學：拉格朗日函數(shù)中不顯含某一廣義坐標,哈密頓動力學：哈密頓函數(shù)中不顯含某一廣義坐標,廣義動量守恒原理的條件：,這兩個條件實際上是等價的,即在L和H中，若其一不含廣義坐標 則另一必定也不含有,可遺坐標對應(yīng)的廣義動量 守恒,不含于L或H 的廣義坐標 稱為可遺坐標,若體系某一廣義動量守恒，給問題的求解帶來方便，這在拉格朗日動力學和哈密頓動力學中是相同的，但在哈密頓動力學中更適合于處理可遺坐標；,拉格朗日函數(shù)中雖然可以含有可遺坐標 ，但是可以含有相應(yīng)的廣義速度 ，問題仍然是s個自由度；,而哈密頓函數(shù)中，不僅不含有可遺坐標 ，而相應(yīng)的廣義動量 是個常數(shù)，因此這一自由度相當于已經(jīng)解出，只要求解其他自由度即可。,可見在哈密頓動力學中可遺坐標才是正真的可以忽略,想一想：為什么不討論L中不顯含 ，或H中不顯含 的問題？,例1 質(zhì)量為M的楔子置于光滑的水平桌面上. 楔子底面也是光滑的, 斜面卻是粗糙的, 質(zhì)量為m, 半徑為R的圓柱體沿著楔子斜面無滑動地滾下. 求解楔子和圓柱體的運動.,解 楔子可在水平方向運動. 取桌面上的固定點O為原點, 把楔子的質(zhì)心(其實不一定要質(zhì)心，改為楔子的任一點也行)相對于O點的水平坐標記作X.,圓柱體可在楔子的斜面上滾動. 把圓柱軸相對于楔子斜面上端并沿斜邊計算的坐標記作q,把圓柱某根半徑與豎直向下之間的夾角記作, 無滑動這個約束條件可寫為,這個運動約束可以積分為,故,這是一個完整約束, q 和 不獨立. 這個系統(tǒng)有兩個自由度,可以選 x 和 是兩個獨立的廣義坐標.,主動力都是重力. 圓柱體的勢能,楔子的動能為,圓柱的動能包括質(zhì)心的平動動能和繞,質(zhì)心轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動動能,所以,按定義, 廣義動量,所以得到廣義速度,于是, 系統(tǒng)的哈密頓函數(shù),哈密頓函數(shù)不含有廣義坐標X, 所以X是循環(huán)坐標, 相應(yīng)的廣義動量守恒,此時對 的正則方程為:,所以,這是勻加速轉(zhuǎn)動, 積分一次,簡單推導(dǎo), 可得,例2：寫出粒子在中心勢場V=-a/r中哈密頓函數(shù)和正則方程。,解：自由度是2，廣義坐標r、。,廣義動量：,中心勢場粒子的能量守恒，因此粒子的哈密頓函數(shù)為：,可以解得正則方程：,該題還可解得,粒子的徑向運動方程,角動量守恒定律,例3 分別用笛卡兒坐標、柱面坐標和球面坐標寫出一個 自由質(zhì)點在勢場V( )中的哈密頓函數(shù)H。,解: 體系為質(zhì)點，自由度數(shù)s3。,（1）在笛卡兒坐標系中，取x，y，z為廣義坐標， 則拉格朗日函數(shù)L為,（2）在柱面坐標系中,L = TV,（3）在球面坐標系中,V=V（r，）,V（r，）,例4 求彈性雙原子分子的拉格朗日函數(shù)和哈密頓函數(shù)。設(shè)兩 原子之間相互作用的彈性力為 F = k（rr0）其中r為兩原子間距離，r0為兩原子處在平衡時的距離。,解: 為了求出拉格朗日函數(shù)，應(yīng)先求分子的動能。,T = TcT ,兩原子相對質(zhì)心的動能,質(zhì)心動能,把兩原子相對質(zhì)心的動能轉(zhuǎn)換為 m2 相對于 m1 的運動。,L = TV,例5 一質(zhì)量為m的自由質(zhì)點，受力 為位矢，,k為大于零的常數(shù)。求在直角坐標系中質(zhì)點的運動微分方程。,解: 取x，y，z為廣義坐標。動能為,例6 應(yīng)用哈密頓正則方程求核外電子的運動規(guī)律。設(shè)電子 的電量為e，原子核帶電為Ze，Z為原子序數(shù)。, 是循環(huán)坐標:,p = C,可見電子的運動與 無關(guān)，可令 ，則 。,在拉格朗日動力學中, 從拉格朗日函數(shù)可以直接寫出動力學方程即拉格朗日方程. 在哈密頓動力學中, 必須從拉格朗日函數(shù)轉(zhuǎn)到哈密頓函數(shù), 才可寫出動力學方程即哈密頓正則方程,從哈密頓正則方程消去廣義動量的結(jié)果其實不過是從另一條路徑達到拉格朗日方程, 所以哈密頓動力學不如拉格朗日動力學簡便.,哈密頓動力學的優(yōu)點之一是便于量子化.另一個優(yōu)點在變量的變換中比較自由：拉格朗日動力學采用的變量廣義坐標和廣義動量并不對等, 只能對廣義坐標進行變換, 而廣義速度也隨之而變. 哈密頓動力學采用的變量坐標和動量是完全對等的,不僅可以對廣義坐標進行變換,而且可以坐標和動量一起變換, 這個到下面正則變換時進一步分析.,3. 泊松括號和泊松定理,哈密頓正則方程,對于循環(huán)坐標,不顯含時間t，則有,稱為運動積分,當體系運動時，如果函數(shù) 則稱其為正則方程的一個運動積分,若 都是正則方程的運動積分，則這些積分的任意函數(shù) 任然是正則方程的積分,若找到了2s個獨立的運動積分,則由,可以解出,即為正則方程的解。,如果函數(shù) 是正則變量q, p 和時間的函數(shù),則它對時間的導(dǎo)數(shù)為,其中, H叫做泊松括號.,一、泊松括號的定義,如果函數(shù) 在運動中保持為常數(shù),則,如果函數(shù) 也是正則變量和時間的函數(shù),泊松括號,定義為,二、泊松括號的性質(zhì),雅可比恒等式,例1 計算泊松括號Ly,Lz,Lz,Lx和Lx,Ly; Lx,L2,Ly,L2 和Lz,L2. 這里L是質(zhì)點的角動量.,解: 這里廣義坐標q1=x,q2=y, q3=z; 廣義動量p1=px,p2=py, p3=pz;,先計算泊松括號Ly,Lz,即,同理,同理,三、泊松定理,如果函數(shù), 都是相空間中的運動積分, 則它們的組合, 也是相空間中的運動積分.,證明：,顯然,也是運動常數(shù). 還可以通過類似的關(guān)系得到更多的運動常數(shù).,（1）利用泊松括號表示正則方程：,即正則方程可以表示為：,克朗內(nèi)克符號,（2）利用泊松括號表示正則變量：,是一組正則變量,四、量子力學中的泊松括號,在經(jīng)典力學中, 兩個力學量同時具有確定的值并不成為問題. 可是, 在量子力學中這卻是個問題. 力學量在量子力學中是用算符或矩陣表示的, 兩個算符或矩陣的乘積一般是與這兩個算符或矩陣的先后次序有關(guān)的.兩個力學量X和Y是否可以同時具有確定的值就看它們的量子泊松括號,是否為零.,如果兩個力學量的經(jīng)典泊松括號為零, 則它們的量子松括號也為零, 在量個力學中它們是可以同時確定的. 比如, 任意兩個廣義坐標可以同時確定, 任意兩個廣義動量也可以同時確定, 一個廣義坐標和對應(yīng)的廣義動量不能同時確定,一個廣義坐標和非對應(yīng)的廣義動量可以同時確定. 又比如, 角動量的任意兩個分量不能同時確定, 但角動量的一個分量和角動量的平方可以同時確定.,4. 劉維定理,分析力學解決宏觀機械問題的過程并不比牛頓力學簡單, 但是對于大數(shù)目系統(tǒng), 往往牛頓力學無法求解,而運用哈密頓正則方程卻容易的多.,哈密頓動力學用廣義坐標和廣義動量描述力學系統(tǒng)的運動. 對一個自由度問題, 某一時刻的狀態(tài)用x和p值表示, 即xp平面上的一個點表示. 隨著時間推移, 狀態(tài)不斷變化, 它在xp平面上刻畫出一條曲線.,多自由度的情況也類似. 對于s個自由度的力學系統(tǒng), 我們把廣義坐標和廣義動量當作直角坐標而構(gòu)成2s維的空間叫作相空間. 該力學系統(tǒng)在某一時刻的狀況也可用相空間的一個點表示. 隨著時間的推移,相空間中的代表點給出的曲線形成相軌道, 換句話說, 相軌道給出力學系統(tǒng)隨時間的演變過程.,原則上, 給定力學系統(tǒng)的初始狀態(tài), 該系統(tǒng)的運動就由動力學方程完全確定, 即以相空間中某一點為出發(fā)點的相軌道，由動力學方程所完全決定. 但是, 如果系統(tǒng)的自由度數(shù)比較大, 力學系統(tǒng)比較復(fù)雜, 我們不能斷定相空間中究竟哪一點準確地代表系統(tǒng)的狀態(tài). 怎么辦?,替代的辦法：我們只能考慮各種可能的代表點, 其中每一點都代表系統(tǒng)的一種可能狀態(tài). 實質(zhì)上, 這是考慮處于給定約束條件下許許多多性質(zhì)完全相同的力學系統(tǒng), 這些性質(zhì)完全相同的力學系統(tǒng)構(gòu)成一個系綜; 相空間中每一個代表點對應(yīng)于系綜中某一個力學系統(tǒng)的狀態(tài), 代表點的相軌道對應(yīng)于該系統(tǒng)的演變, 各種可能的代表點則對應(yīng)于系綜中所有力學系統(tǒng)的狀況, 各種可能的相軌道則對應(yīng)于系綜的演變. 這就是統(tǒng)計力學的起點.,劉維定理: 保守力學體系在相空間中代表點的密度, 在運動過程中保持不變.,物理含義: 同一力學體系在不同的初始狀態(tài)所構(gòu)成的不同代表點,它們各自獨立地沿著正則方程所規(guī)定的軌道運動.當這些點構(gòu)成的區(qū)域隨時間運動到另外一個區(qū)域時, 在新的區(qū)域, 代表點的密度,等于在出發(fā)區(qū)域中的密度.,設(shè)體積元為,其中代表點的數(shù)目為dN, 代表點的密度為, 則,一般密度隨時隨地不同, 所以從,知,劉維定理說明在 體系中,劉維定理證明:,假定初始時,體元位置為,經(jīng)歷時間dt, 這個固定體元中代表點的數(shù)目變化,另一方面也可以從代表點在運動中出入這個固定體元的邊界的數(shù)目來計算在時間dt中代表點的數(shù)目變化,先考慮通過一對曲面q, q + dq進出d 代表點的增加. 把體元d表達式改寫為,在 dt 時間內(nèi)通過q進入d的代表點必定位于一個柱體內(nèi), 柱體底為dA, 高為 , 為相空間中代表點垂直于曲面q的速度分量. 所以在dt 時間內(nèi)通過q進入d的代表點數(shù)為,同理, 在dt 時間內(nèi)通過曲面q + dq離開d 代表點的數(shù)目為,兩者相減, 得通過曲面q 和q + dq進入d 代表點的凈數(shù)目為,同理, 得通過曲面p 和p + dp進入d 代表點的凈數(shù)目為,把上面兩式相加,并對 求和, 則得在 dt時間內(nèi)由于代表點的運動, 穿過d 的邊界而進入其中的代表點的凈數(shù)目,顯然,所以,利用正則方程, 得,證明完畢!,劉維定理是統(tǒng)計力學的基本的定理. 它是2s維的相空間中的定理, 在普通空間或 s 維的位形空間(把 s 個廣義坐標作為直角坐標構(gòu)成的空間)中并不存在類似的定理. 因此, 在統(tǒng)計力學討論系綜時需要運用哈密頓動力學而不用拉格朗日動力學.,劉維定理的另外表示,5. 哈密頓原理,力學原理,微分原理,牛頓動力學方程,拉格朗日動力學方程,哈密頓動力學方程,變分原理：積分形式,不涉及廣義坐標的選取,有限自由度的力學體系,無限自由度的力學體系,非力學體系,動力學問題,一、變分法初步,1、泛函,最速落徑問題,質(zhì)點沿光滑軌道 自A點自由下滑到B點，所需時間最短的路徑怎樣？,總時間取決于軌道的形狀，即函數(shù)關(guān)系,而不是y的值,一個變數(shù)J 的值取決于函數(shù)關(guān)系 ，就叫作函數(shù) 的泛函，記做,2、變分問題,考慮最速落徑問題，選取適當?shù)能壍?使質(zhì)點從A到B自由下滑的時間最短，這就是泛函,的極值問題。,泛函的極值問題叫做變分問題,3、歐拉方程,設(shè)泛函J 只依賴于單個自變量x，單個函數(shù)y(x)及其導(dǎo)數(shù) ，即,函數(shù)F 對于x，y，y都是二次連續(xù)可導(dǎo)，所以y的二階導(dǎo)數(shù)是連續(xù)的,設(shè)函數(shù)關(guān)系y(x)稍有變動，,稱為函數(shù)y(x)的變分,則泛函的值也隨之改變，其增量為,由于,這樣,在簡單的變分問題中，變分 在端點保持為零，即,于是變分為零的要求是,上式對任意 均成立，所以,就是泛函取極值的必要條件，叫做變分問題的歐拉方程,若泛函J不顯含x，則歐拉方程有初積分,證明：,泛函取極值的必要條件，歐拉方程,拉格朗日方程，,二、哈密頓原理,也就是說，拉格朗日方程是下列變分問題的歐拉方程,力學系統(tǒng)的動力學方程歸結(jié)為一個變分原理：,力學系統(tǒng)從時刻t1到時刻t2的一切可能運動之中，使作用量,取極值的運動才是實際發(fā)生的運動,哈密頓原理,位形空間：以s個廣義坐標為直角坐標的空間,位形空間中的一個點可以表示體系任一時刻的位形,隨著時間的推移，力學系統(tǒng)的位形方式演變，位形