江蘇省高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題三不等式第2講線性規(guī)劃與基本不等式學(xué)案.doc

第2講線性規(guī)劃與基本不等式考情考向分析1.線性規(guī)劃的要求是A級(jí)，主要考查線性目標(biāo)函數(shù)在給定區(qū)域上的最值.2.基本不等式是江蘇考試說(shuō)明中的C級(jí)內(nèi)容，高考會(huì)重點(diǎn)考查主要考查運(yùn)用基本不等式求最值及其在實(shí)際問(wèn)題中的運(yùn)用，試題難度中檔以上熱點(diǎn)一簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題例1(1)(2017全國(guó))設(shè)x，y滿足約束條件則z3x2y的最小值為_(kāi)答案5解析作出約束條件所表示的可行域如圖中陰影部分(含邊界)所示，由z3x2y得yx，求z的最小值，即求直線yx在y軸上的截距的最大值，當(dāng)直線yx過(guò)圖中點(diǎn)A時(shí)，其在y軸上的截距最大，由解得A點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1)，此時(shí)z3(1)215.(2)已知實(shí)數(shù)x，y滿足則的取值范圍是_答案解析不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域是以點(diǎn)(3，1)，(3,2)和為頂點(diǎn)的三角形及其內(nèi)部，設(shè)z，則z表示平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)與原點(diǎn)連線所在直線的斜率，則當(dāng)z經(jīng)過(guò)(3，1)時(shí)取得最小值，經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3,2)時(shí)取得最大值，故的取值范圍是.思維升華線性規(guī)劃的實(shí)質(zhì)是把代數(shù)問(wèn)題幾何化，即數(shù)形結(jié)合的思想需要注意的是： 畫目標(biāo)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的直線時(shí)，要注意與約束條件中的直線的斜率進(jìn)行比較；一般情況下，目標(biāo)函數(shù)的最值會(huì)在可行域的端點(diǎn)或邊界上取得跟蹤演練1(1)設(shè)變量x，y滿足約束條件若目標(biāo)函數(shù)zaxy的最小值為2，則a_.答案2解析約束條件對(duì)應(yīng)的可行域是以點(diǎn)(1,1)，(1,3)和(2,2)為頂點(diǎn)的三角形及其內(nèi)部當(dāng)a1時(shí)，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)所在直線yaxz經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,1)時(shí)，z取得最小值，則zmina12，即a3(舍去)；當(dāng)a1時(shí)，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)所在直線yaxz經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,2)時(shí)，z取得最小值，則zmin2a22，即a2，符合題意，故a2.(2)甲、乙兩種食物的維生素含量如下表：維生素A(單位/kg)維生素B(單位/kg)甲35乙42分別取這兩種食物若干并混合，且使混合物中維生素A，B的含量分別不低于100,120單位，則混合物重量的最小值為_(kāi) kg.答案30解析設(shè)甲食物重x kg，乙食物重y kg，維生素A，B的含量分別不低于100,120單位，由得A(20,10)，混合物重zxy，平移直線zxy，由圖知，當(dāng)直線過(guò)A(20,10)時(shí)，z取最小值為201030.熱點(diǎn)二利用基本不等式求最值例2(1)(2018蘇北六市模擬)已知a，b，c均為正數(shù)，且abc4(ab)，則abc的最小值為_(kāi)答案8解析abc4(ab)，c，abcabab22448.(當(dāng)且僅當(dāng)ab2時(shí)，等號(hào)成立)(2)設(shè)ABC的BC邊上的高ADBC，a，b，c分別表示角A，B，C對(duì)應(yīng)的三邊，則的取值范圍是_答案 2，解析因?yàn)锽C邊上的高ADBCa，所以SABCa2bcsin A，所以sin A.又因?yàn)閏os A，所以2cos Asin A，同時(shí)2(當(dāng)且僅當(dāng)bc時(shí)，等號(hào)成立)，所以2，思維升華用基本不等式求函數(shù)的最值，關(guān)鍵在于將函數(shù)變形為兩項(xiàng)和或積的形式，然后用基本不等式求出最值在求條件最值時(shí)，一種方法是消元，轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值；另一種方法是將要求最值的表達(dá)式變形，然后用基本不等式將要求最值的表達(dá)式放縮為一個(gè)定值，但無(wú)論哪種方法在用基本不等式解題時(shí)都必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件跟蹤演練2(1)設(shè)a，b0，ab5，則的最大值為_(kāi)答案3解析a，b0，ab5，()2ab42ab4()2()2ab4ab418，當(dāng)且僅當(dāng)a，b時(shí)，等號(hào)成立，則3，即最大值為3.(2)(2018興化三校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)exexx33x，若正數(shù)a，b滿足f(2a1)f(b1)0，則的最小值為_(kāi)答案解析由題意得f(x)f(x)，且f(x)為單調(diào)增函數(shù)，最多有一個(gè)零點(diǎn)，所以f(2a1)f(b1)0，即f(2a1)f(b1)，所以2a11b，即 2ab2，所以 b 2b4.又，當(dāng)且僅當(dāng)a，b時(shí)取等號(hào)所以的最小值為.熱點(diǎn)三基本不等式的實(shí)際運(yùn)用例3(2018蘇州期末)如圖，長(zhǎng)方形材料ABCD中，已知AB2，AD4.點(diǎn)P為材料ABCD內(nèi)部一點(diǎn)，PEAB于E，PFAD于F，且PE1，PF.現(xiàn)要在長(zhǎng)方形材料ABCD中裁剪出四邊形材料AMPN，滿足MPN150，點(diǎn)M，N分別在邊AB，AD上(1)設(shè)FPN，試將四邊形材料AMPN的面積表示為的函數(shù)，并指明的取值范圍；(2)試確定點(diǎn)N在AD上的位置，使得四邊形材料AMPN的面積S最小，并求出其最小值解(1)在RtNFP中，因?yàn)镻F，F(xiàn)PN，所以NFtan ，所以SNAPNAPF，在RtMEP中，因?yàn)镻E1，EPM，所以MEtan，所以SAMPAMPE1，所以SSNAPSAMP tan tan，.(2)因?yàn)镾tan tantan ，令t1tan ，由，得t，所以S 22，當(dāng)且僅當(dāng)t，即t時(shí)，即tan 時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)，AN，Smin2.答案當(dāng)AN時(shí)，四邊形材料AMPN的面積S最小，最小值為2.思維升華利用基本不等式求解實(shí)際應(yīng)用題的方法(1)解題時(shí)需認(rèn)真閱讀，從中提煉出有用信息，建立數(shù)學(xué)模型(2)注意當(dāng)運(yùn)用基本不等式求最值時(shí)，若等號(hào)成立的自變量不在定義域內(nèi)時(shí)，就不能使用基本不等式求解，此時(shí)可根據(jù)變量的范圍用對(duì)應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性求解跟蹤演練3一批救災(zāi)物資隨26輛汽車從某市以v km/h的速度勻速直達(dá)400 km外的災(zāi)區(qū)，為了安全起見(jiàn)，兩輛汽車的間距不得小于2 km，則這批物資全部運(yùn)送到災(zāi)區(qū)最少需_ h.答案10解析時(shí)間最短，則兩車之間的間距最小，且要安全，則時(shí)間t210，當(dāng)且僅當(dāng)v80時(shí)等號(hào)成立1(2017江蘇)某公司一年購(gòu)買某種貨物600噸，每次購(gòu)買x噸，運(yùn)費(fèi)為6萬(wàn)元/次，一年的總存儲(chǔ)費(fèi)用為4x萬(wàn)元，要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最小，則x的值是_答案30解析一年的總運(yùn)費(fèi)為6(萬(wàn)元)，一年的總存儲(chǔ)費(fèi)用為4x萬(wàn)元，總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用的和為萬(wàn)元因?yàn)?x2 240，當(dāng)且僅當(dāng)4x，即x30時(shí)取得等號(hào)，所以當(dāng)x30時(shí)，一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最小2(2018江蘇)在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，ABC120，ABC的平分線交AC于點(diǎn)D，且BD1，則4ac的最小值為_(kāi)答案9解析方法一如圖，SABCSABDSBCD，acsin 120c1sin 60a1sin 60，acac，1.4ac(4ac)5259.當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)方法二如圖，以B為原點(diǎn)，BD所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，則D(1,0)，A，C.又A，D，C三點(diǎn)共線，acac.以下同方法一3已知正實(shí)數(shù)x，y滿足向量a(xy,2)，b(xy2,1)共線，c，且a(ac)0恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_答案解析由a(xy,2)，b(xy2,1)共線得xy2(xy2)，則xy42xy，即(xy)22(xy)80，當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí)等號(hào)成立又由x，y是正實(shí)數(shù)，得xy4.不等式a(ac)0，即a2ac，所以(xy)24m(xy)3，即(xy)2m(xy)10，令xyt，t4，則t2mt10，t4，)(*)恒成立對(duì)于方程t2mt10，當(dāng)m240，即2m2時(shí)，(*)恒成立；當(dāng)m2時(shí)，相應(yīng)二次函數(shù)yt2mt1的對(duì)稱軸t2時(shí)，由相應(yīng)二次函數(shù)yt2mt1的對(duì)稱軸t4，且164m10，得2m.綜上可得，當(dāng)m時(shí)，(*)恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.4某單位決定投資3 200元建一倉(cāng)庫(kù)(長(zhǎng)方體狀)，高度恒定，它的后墻利用舊墻不花錢，正面用鐵柵，每米長(zhǎng)造價(jià)40元，兩側(cè)墻砌磚，每米長(zhǎng)造價(jià)45元，頂部每平方米造價(jià)20元，則倉(cāng)庫(kù)面積S的最大允許值是_平方米答案100解析設(shè)鐵柵長(zhǎng)為x米，一堵磚墻長(zhǎng)為y米，則頂部面積為Sxy，依題意得40x245y20xy3 200，由基本不等式得3 200220xy12020xy12020S.所以S61600，即(10)(16)0，故010，從而01，則函數(shù)y2x的最小值為_(kāi)答案5解析x1，2x10，y2x112 15，當(dāng)且僅當(dāng)2x1，即x時(shí)，等號(hào)成立4(2018常州期末)各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若a2a3a4a2a3a4，則a3的最小值為_(kāi)答案解析因?yàn)槭歉黜?xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且a2a3a4a2a3a4，所以aa3a2a4，則aa3a2a422a3，(當(dāng)且僅當(dāng)a2a4，即數(shù)列an為正數(shù)常數(shù)列時(shí)取等號(hào))即a30，即a3，a3，即a3的最小值為.5若點(diǎn)A(m，n)在第一象限，且在直線1上，則mn的最大值是_答案3解析點(diǎn)A(m，n)在第一象限，且在直線1上，所以m，n0，且1，所以2，所以2，即mn3，所以mn的最大值為3.6設(shè)P是函數(shù)y(x1)圖象上異于原點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，且該圖象在點(diǎn)P處的切線的傾斜角為，則的取值范圍是_答案解析因?yàn)閥(x1)2，當(dāng)且僅當(dāng)，即x時(shí)“”成立所以切線的斜率ktan ，又0，)，所以.7已知正數(shù)a，b，滿足5，則ab的最小值為_(kāi)答案36解析正數(shù)a，b滿足5，52，化為()2560，解得6，當(dāng)且僅當(dāng)，5，即a2，b18時(shí)取等號(hào)，解得ab36.8(2018揚(yáng)州期末)已知正實(shí)數(shù)x，y滿足xyxy，則的最小值為_(kāi)答案52解析正實(shí)數(shù)x，y滿足xyxy，1， ，故得到552，等號(hào)成立的條件為11，即xy2.9若ABC的內(nèi)角滿足sin Asin B2sin C，則cos C的最小值是_答案解析由sin Asin B2sin C，及正弦定理得ab2c.又由余弦定理得cos C，當(dāng)且僅當(dāng)a2時(shí)等號(hào)成立，故cos C0，y0，x，a，b，y成等差數(shù)列，x，c，d，y成等比數(shù)列，則的最小值為_(kāi)答案4解析由題意知，所以2224，當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí)，等號(hào)成立12已知二次函數(shù)f(x)ax2xc(xR)的值域?yàn)?，)，則的最小值為_(kāi)答案10解析由f(x)的值域?yàn)?，)可知該二次函數(shù)的圖象開(kāi)口向上，且函數(shù)的最小值為0，因此有0，從而c0，所以24210，當(dāng)且僅當(dāng)即a時(shí)取等號(hào)故所求的最小值為10.13(2018江蘇如東高級(jí)中學(xué)等五校聯(lián)考)已知a，b，c(0，)，則的最小值為_(kāi)答案4解析a2b2c2acbc，即ac2bc，當(dāng)且僅當(dāng)a，b時(shí)等號(hào)成立，則4(經(jīng)驗(yàn)證兩次等號(hào)可同時(shí)取得)，所以 的最小值為4.14已知函數(shù)f(x)|x2|.(1)解不等式f(x)f(2x1)6；(2)已知ab1(a，b0)，且對(duì)于xR