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3.2.1 一階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,單位脈沖信號(hào)與單位階躍信號(hào)的一階導(dǎo)數(shù)、單位斜坡信號(hào)的二階導(dǎo)數(shù)和單位加速度信號(hào)的三階導(dǎo)數(shù)相等。 單位脈沖響應(yīng)與單位階躍響應(yīng)的一階導(dǎo)數(shù)、單位斜坡響應(yīng)的二階導(dǎo)數(shù)和單位加速度響應(yīng)的三階導(dǎo)數(shù)也相等。,3.2.5 一階系統(tǒng)的單位加速度響應(yīng)線性系統(tǒng)的特點(diǎn),開環(huán)傳遞函數(shù)為:,閉環(huán)傳遞函數(shù)為:,由二階微分方程描述的系統(tǒng)稱為二階系統(tǒng)。它在控制工程中的應(yīng)用極為廣泛。許多高階系統(tǒng)在一定的條件下,也可簡(jiǎn)化為二階系統(tǒng)來(lái)研究。,典型二階系統(tǒng)的微分方程 :,3.3.1 典型二階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,稱為典型二階系統(tǒng)的傳遞函數(shù), 稱為阻尼系數(shù), 稱為無(wú)阻尼振蕩圓頻率或自然頻率。這兩個(gè)參數(shù)稱為二階系統(tǒng)特征參數(shù)。T稱為二階系統(tǒng)的時(shí)間常數(shù)。,注意:當(dāng) 不同時(shí),特征根有不同的形式,系統(tǒng)的階躍響應(yīng)形式也不同。它的階躍響應(yīng)有振蕩和非振蕩兩種情況。, 當(dāng) 時(shí),特征方程有一對(duì)共軛的虛根,稱為零(無(wú))阻尼系統(tǒng),系統(tǒng)的階躍響應(yīng)為持續(xù)的等幅振蕩。, 當(dāng) 時(shí),特征方程有一對(duì)實(shí)部為負(fù)的共軛復(fù)根,稱為欠阻尼系統(tǒng),系統(tǒng)的階躍響應(yīng)為衰減的振蕩過(guò)程。, 當(dāng) 時(shí),特征方程有一對(duì)相等的實(shí)根,稱為臨界阻尼系統(tǒng),系統(tǒng)的階躍響應(yīng)為非振蕩過(guò)程。, 當(dāng) 時(shí),特征方程有一對(duì)不等的實(shí)根,稱為過(guò)阻尼系統(tǒng),系統(tǒng)的階躍響應(yīng)為非振蕩過(guò)程。,阻尼系數(shù)、特征根、極點(diǎn)分布和單位階躍響應(yīng)形式如下表所示:,3.3.3 典型二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)(衰減振蕩瞬態(tài)過(guò)程),最大超調(diào)量,2、調(diào)節(jié)時(shí)間 :,例 有一位置隨動(dòng)系統(tǒng),其方塊圖如圖所示。其中K=4,T=1。試求: (1) 該系統(tǒng)的無(wú)阻尼振蕩頻率 wn;(2)系統(tǒng)的阻尼系數(shù)z;(3)系統(tǒng)超調(diào)量d%和和調(diào)整時(shí)間ts;(4)如果要求z0.707,在不改變時(shí)間常數(shù)T的情況下,應(yīng)怎樣改變系統(tǒng)開環(huán)放大系數(shù)K。,解: 系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為:,(4)當(dāng)要求在z0.707時(shí),wn=1/2z= 0.707,則Kwn2=0.5。可見要滿足二階工程最佳參數(shù)的要求(該例中為增加阻尼系數(shù)),必須降低開環(huán)放大系數(shù) K的值。,傳遞函數(shù):,當(dāng) 0 z 1 時(shí),極點(diǎn)分布如下:,3.4.1 典型三階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng),三階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)由三部分組成:穩(wěn)態(tài)項(xiàng),共軛復(fù)極點(diǎn)形成的振蕩分量,實(shí)極點(diǎn)構(gòu)成的衰減指數(shù)項(xiàng)分量。,閉環(huán)系統(tǒng)若存在離虛軸最近的一對(duì)共軛極點(diǎn)或一個(gè)實(shí)極點(diǎn); 極點(diǎn)附近無(wú)零點(diǎn); 其他極點(diǎn)距虛軸的距離是離虛軸最近的極點(diǎn)距虛軸的距離的5倍以上。,主導(dǎo)極點(diǎn):滿足下列條件的極點(diǎn)稱為主導(dǎo)極點(diǎn)。,主導(dǎo)極點(diǎn)在y(t)中的對(duì)應(yīng)項(xiàng)衰減最慢,系數(shù)最大,系統(tǒng)的瞬態(tài)性能指標(biāo)主要由它決定。具有主導(dǎo)極點(diǎn)的高階系統(tǒng)可近似為二階或一階系統(tǒng)。,3.4.3 閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn),3.5.2 線性控制系統(tǒng)穩(wěn)定性-充分必要條件,線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件: 系統(tǒng)特征方程的根(即傳遞函數(shù)的極點(diǎn))全為負(fù)實(shí)數(shù)或具有負(fù)實(shí)部的共軛復(fù)根?;蛘哒f(shuō),特征方程的根應(yīng)全部位于s平面的左半部。,(一)胡爾維茨判據(jù),胡爾維茨行列式的構(gòu)造:主對(duì)角線上的各項(xiàng)為特征方程的第二項(xiàng)系數(shù) 至最后一項(xiàng)系數(shù) ,在主對(duì)角線以下各行中各項(xiàng)系數(shù)下標(biāo)逐次增加,在主對(duì)角線以上各行中各項(xiàng)系數(shù)下標(biāo)逐次減小。當(dāng)下標(biāo)大于n或小于0時(shí),行列式中的項(xiàng)取0。,胡爾維茨行列式:,3.5.3 代數(shù)穩(wěn)定性判據(jù)-胡爾維茨穩(wěn)定性判據(jù),以4階系統(tǒng)為例使用胡爾維茨判據(jù):,穩(wěn)定的充要條件是:,設(shè)線性系統(tǒng)的特征方程為:,線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是: 1)方程式所有系數(shù)為正; 2)所有奇數(shù)階或偶數(shù)階胡爾維茨行列式為正,即:奇0或偶0。 根據(jù)李納德-戚帕特判據(jù),若系統(tǒng)特征方程式的各項(xiàng)系數(shù)中有負(fù)或零(缺項(xiàng)),則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。,對(duì)于n4的線性系統(tǒng),其穩(wěn)定的充要條件還可以表示為如下簡(jiǎn)單形式: n=2時(shí):特征方程的各項(xiàng)系數(shù)嚴(yán)格為正. n=3時(shí):特征方程的各項(xiàng)系數(shù)嚴(yán)格為正,且2 0 n=4時(shí):特征方程的各項(xiàng)系數(shù)嚴(yán)格為正,且2 0以及2an-1 2an-4/an-3,3.5.3 代數(shù)穩(wěn)定性判據(jù)-胡爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)的另一種形式,李納德-戚帕特判據(jù),例2,設(shè)線性系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為:,試判斷系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)K,T應(yīng)滿足的條件。,根據(jù)李納德-戚帕特判據(jù),K0,T0且,(二)、勞斯判據(jù) 設(shè)線性系統(tǒng)的特征方程為,勞斯陣列的前兩行元素由特征方程的系數(shù)組成,第一行由特征方程的第一、三、五、項(xiàng)系數(shù)組成,第二行由特征方程的第二、四、六、項(xiàng)系數(shù)組成。若特征方程有缺項(xiàng),則該項(xiàng)系數(shù)以零計(jì)。,勞斯陣如下:,3.5.3 代數(shù)穩(wěn)定性判據(jù)-勞斯穩(wěn)定性判據(jù),以后各項(xiàng)的計(jì)算式為:,依次類推??汕蟮?勞斯判據(jù):系統(tǒng)特征方程具有正實(shí)部根的數(shù)目與勞斯陣列第一列元素中符號(hào)變化的次數(shù)相等。 根據(jù)這個(gè)判據(jù)可以得出線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件為:由系統(tǒng)特征方程系數(shù)組成的勞斯陣列的第一列元素沒有符號(hào)變化。 若勞斯陣列第一列元素的符號(hào)有變化,其變化的次數(shù)等于該特征方程的根在s右半平面的個(gè)數(shù),表明相應(yīng)的線性系統(tǒng)不穩(wěn)定。,一. 勞思陣某一行第一項(xiàng)系數(shù)為零,而其余系數(shù)不全為零。導(dǎo)致勞思陣下一列無(wú)法計(jì)算。 處理辦法:用很小的正數(shù) 代替零的那一項(xiàng),然后據(jù)此計(jì)算出勞斯陣列中的其他項(xiàng)。若第一次零(即 )與其上項(xiàng)或下項(xiàng)的符號(hào)相反,計(jì)作一次符號(hào)變化。,3.5.3 代數(shù)穩(wěn)定性判據(jù)-勞斯穩(wěn)定性判據(jù)的特殊情況,二.勞斯陣某行系數(shù)全為零的情況。表明特征方程具有大小相等而位置徑向相反的根。至少有下述幾種情況之一出現(xiàn),如:大小相等,符號(hào)相反的一對(duì)實(shí)根,或一對(duì)共軛虛根,或?qū)ΨQ于虛軸的兩對(duì)共軛復(fù)根。,處理辦法:可將不為零的最后一行的系數(shù)組成輔助方程,對(duì)此輔助方程式對(duì)s求導(dǎo)所得方程的系數(shù)代替全零的行。大小相等,位置徑向相反的根可以通過(guò)求解輔助方程得到。輔助方程應(yīng)為偶次數(shù)的。,例5:,設(shè)線性系統(tǒng)特征方程式為:,試判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,解:,建立勞斯表:,若勞斯表某行第一列系數(shù)為零,則勞斯表無(wú)法計(jì)算下去,可以用無(wú)窮小的正數(shù)代替0,接著進(jìn)行計(jì)算,勞斯判據(jù)結(jié)論不變。,由于勞斯表中第一列系數(shù)有負(fù),系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。,例9系統(tǒng)的特征方程為: 該系統(tǒng)穩(wěn)定嗎?,解:勞斯陣如下,勞斯陣第一列系數(shù)全為正,所以系統(tǒng)穩(wěn)定,控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差:,定義:誤差信號(hào) 在時(shí)間 趨于無(wú)窮大時(shí)的數(shù)值定義為系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差,記為 。即:,誤差信號(hào) 包括瞬態(tài)分量 和穩(wěn)態(tài)分量 兩部分.由于系統(tǒng)必須穩(wěn)定,故當(dāng)時(shí)間趨于無(wú)窮大時(shí),必有瞬態(tài)分量 趨于零,因而,控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差 定義為誤差信號(hào)的穩(wěn)態(tài)分量,對(duì)于穩(wěn)定的系統(tǒng),穩(wěn)態(tài)誤差可以借助拉氏變換
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