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因式分解-提取公因式法、公式法公式:平方差公式:(ab)(ab)a2b2完全平方公式: 立方和、差公式:【注意點(diǎn)】: 公式往往要逆用;公式往往僅給部分,要從部分中、結(jié)構(gòu)中聯(lián)想到它在考察你什么公式!發(fā)現(xiàn)一個(gè)特點(diǎn):的關(guān)系,如: 二、具體練習(xí)1因式分解注:對(duì)于能否再分解判斷標(biāo)準(zhǔn):現(xiàn)23, 拓展1 按一下規(guī)則擴(kuò)充新數(shù):已知兩數(shù)a、b可按規(guī)則cabab擴(kuò)充一個(gè)新數(shù),再在a、b、c三個(gè)數(shù)中,任取兩個(gè)數(shù),按規(guī)則,又可擴(kuò)充一個(gè)新數(shù),每擴(kuò)充一個(gè)新數(shù)叫做一次操作,現(xiàn)有1、4。求按上述規(guī)則操作三次得到擴(kuò)充的最大數(shù);能否通過(guò)上述規(guī)則擴(kuò)大到新數(shù)1999,并說(shuō)明理由。拓展2 xy3,x3y318,求x7y7的值拓展3 證明257512能被120整除三、作業(yè)12, 因式分解-十字相乘法、雙十字相乘法一、概念:a十字相乘法十字相乘法能把某些二次三項(xiàng)式ax2bxc(a0)分解因式。這種方法的關(guān)鍵是把二次項(xiàng)的系數(shù)a分解成兩個(gè)因數(shù)a1,a2的積a1a2,把常數(shù)項(xiàng)c分解成兩個(gè)因數(shù)c1,c2的積c1c2,并使a1c1a2c1正好是一次項(xiàng)系數(shù)b,那么可直接寫(xiě)成結(jié)果: ax2bxc(a1xc1)(a2xc2),在運(yùn)用這種方法分解因式時(shí),要注意觀察、嘗試,并體會(huì)它實(shí)質(zhì)是二項(xiàng)式乘法的逆過(guò)程。當(dāng)首項(xiàng)系數(shù)不是1時(shí),往往需要多次試驗(yàn),務(wù)必注意各項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)。對(duì)于二次三項(xiàng)式的分解因式,借用一個(gè)十字叉幫助我們分解因式,這種方法叫做十字相乘法。b雙十字相乘法形如的二元二次多項(xiàng)式的因式分解雙十字相乘法即運(yùn)用兩次十字相乘法,第一次運(yùn)用十字相乘法將多項(xiàng)式中的二次齊次式分解因式,然后再運(yùn)用一次十字相乘法。 其理論依據(jù):若可分解為,則當(dāng)cf0時(shí), 二、具體練習(xí)例1:例2:例3:拓展1 滿足,的任何x,y,z的值也同時(shí)滿足,求常數(shù)a,b,c的值。復(fù)習(xí):求解axb,當(dāng)a0且b0時(shí),x為任意值拓展2 已知使成立求的值 拓展3 請(qǐng)多項(xiàng)式中x3系數(shù)x3來(lái)源如下:前一個(gè)因式 后一個(gè)因式 ax2 d1 bx2 c1x cx b1x2 d a1x3 故x3的系數(shù)為 三、作業(yè)1 2 3 因式分解-待定系數(shù)法、整式長(zhǎng)除法一、概念:a長(zhǎng)除法俗稱長(zhǎng)除,適用于整式除法、小數(shù)除法、多項(xiàng)式除法(即因式分解)等較重視計(jì)算過(guò)程和商數(shù)的除法,過(guò)程中兼用了乘法和減法。長(zhǎng)除法格式示意圖: 商數(shù)除數(shù)被除數(shù) 最接近但小過(guò)或等于商數(shù)最大位或最高項(xiàng)與除數(shù)的積 減法以上兩項(xiàng)之差 最接近但小過(guò)或等于商數(shù)次一位或次一項(xiàng)與除數(shù)的積 減法以上兩項(xiàng)之差 最接近但小過(guò)或等于商數(shù)次二位或次二項(xiàng)與除數(shù)的積 減法減法余數(shù) 就是平時(shí)在草稿紙上筆算用的,先畫(huà)一個(gè)“廠”字形的符號(hào),再在里邊寫(xiě)上被除數(shù),左邊寫(xiě)除數(shù),再一步步求商的過(guò)程。與短除法相對(duì)。b待定系數(shù)法一種求未知數(shù)的方法。將一個(gè)多項(xiàng)式表示成另一種含有待定系數(shù)的新的形式,這樣就得到一個(gè)恒等式。然后根據(jù)恒等式的性質(zhì)得出系數(shù)應(yīng)滿足的方程或方程組,其后通過(guò)解方程或方程組便可求出待定的系數(shù),或找出某些系數(shù)所滿足的關(guān)系式,這種解決問(wèn)題的方法叫做待定系數(shù)法。本方法步驟:1確定所求問(wèn)題含待定系數(shù)的解析式2根據(jù)恒等條件,列出一組含待定系數(shù)的方程3解方程或消去待定系數(shù),從而使問(wèn)題得到解決理論依據(jù): 若 則二、具體練習(xí)1已知,求p,q2求解3一個(gè)二次三項(xiàng)式的完全平方式為為求這個(gè)二次三項(xiàng)式。 拓展1 的商式和余式拓展2 分解因式: 拓展3 已知多項(xiàng)式的系數(shù)都為整數(shù),若bdcd為奇數(shù),證明:該多項(xiàng)式不能分解為兩個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式的乘積。三、作業(yè)1已知能被整除,求證: 2的商式與余式。 3用待定系數(shù)法分解因式 因式分解-因式定理一、概念:因式定理:如果有理數(shù)(,其中p和q是整數(shù),q0)使得多項(xiàng)式為0,那么該多項(xiàng)式有因式 其中,分母q為an 的約數(shù),分子q為常數(shù)項(xiàng)a0 的約數(shù)。利用因式定理解決因式定理的步驟:1首先找出前幾個(gè)因式,如2利用綜合除法,將多項(xiàng)式除以 余數(shù)定理:即多項(xiàng)式除以所得的余數(shù)值等于將代入多項(xiàng)式所得的值。二、具體練習(xí)1關(guān)于x的二次多項(xiàng)式,它被(x1)除余2,被(x3)除余28,還可被(x1)整除,求該多項(xiàng)式。2分解因式:x4x37x2x6 。拓展1 確定a與b,使x4ax2bx2 能被x23x2整除。拓展2 x34x26x4 3a,b,c為自然數(shù),且滿足a5b4,c3d2,ca19,求db值拓展3若a為自然數(shù),且a44a315a230a27的值為一個(gè)質(zhì)數(shù),求這個(gè)質(zhì)數(shù)。三、作業(yè)作業(yè)1:分解因式:f(x)作業(yè)2:分解因式:(請(qǐng)用公式法,至于第二種方法:輪換式方法將在第六講中做介紹)因式分解精通練習(xí)(一)一、概念:本講涉及分組分解法、換元法和拆分法等方法。 二、具體練習(xí)1分解因式: 拓展1 分解因式拓展2 分解因式3分解因式 拓展3 拓展4三、作業(yè)作業(yè)1: 作業(yè)2:作業(yè)3: 因式分解精通練習(xí)(二) 上講作業(yè)1:作業(yè)2:作業(yè)3:一、概念:對(duì)稱式與輪換對(duì)稱式將一個(gè)代數(shù)式中的任何兩個(gè)字母對(duì)調(diào),得到的式子和原來(lái)的恒等,這個(gè)代數(shù)稱為對(duì)稱式。如xy,xy,x2y2。將一個(gè)代數(shù)式中字母輪流的將x換成y,y換成z,z換成x,其式與原式恒等,這個(gè)代數(shù)式則稱為輪換代數(shù)式。如x3(yz)y3(zx)z3(xy)輪換對(duì)稱多項(xiàng)式是多元多項(xiàng)式中一種常見(jiàn)的特殊多項(xiàng)式,它有一個(gè)重要的性質(zhì),即兩個(gè)變?cè)嗤妮啌Q對(duì)稱多項(xiàng)式和,差,積,商(可整除)仍是一個(gè)輪換對(duì)稱多項(xiàng)式。由這個(gè)性質(zhì)不難得出,輪換對(duì)稱多項(xiàng)式的因式一定也是輪換對(duì)稱多項(xiàng)式。因此,若知道輪換對(duì)稱多項(xiàng)式的一個(gè)一次因式,則必可經(jīng)過(guò)輪換得到它的其他一個(gè)或幾個(gè)一次因式。這個(gè)結(jié)論在輪換對(duì)稱多項(xiàng)式因式分解中常常用到。由因式定理,我們知道輪換式的重要性質(zhì):1將ab0代入原式,原多項(xiàng)式為0,那(ab)為原式的因式;2如果(ab)為原式的因式,那(bc),(ca)也是原式的因式;解決輪換式的步驟為:根據(jù)余數(shù)定理檢驗(yàn)多項(xiàng)式是否具有一次因式。關(guān)于x,y,z的輪換對(duì)稱式最常見(jiàn)的一次因式有x,y, z;xy,yz,zx;xy,yz,zx;xyz,yzx,zxy等; 如果有一個(gè)一次因式,則經(jīng)過(guò)輪
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