高等數(shù)學(xué)上37平面曲線的曲率.ppt

第七節(jié),曲線的彎曲程度,與切線的轉(zhuǎn)角有關(guān),與曲線的弧長(zhǎng)有關(guān),主要內(nèi)容:,一、 弧微分,二、 曲率及其計(jì)算公式,三、 曲率圓與曲率半徑,平面曲線的曲率,第三章,一、 弧微分,設(shè),在(a , b)內(nèi)有連續(xù)導(dǎo)數(shù),其圖形為 AB,弧長(zhǎng),則弧長(zhǎng)微分公式為,或,幾何意義:,若曲線由參數(shù)方程表示:,二、曲率及其計(jì)算公式,曲率是描述曲線局部性質(zhì)（彎曲程度）的量,),),弧段彎曲程度 越大轉(zhuǎn)角越大,轉(zhuǎn)角相同弧段越 短彎曲程度越大,1、曲率的定義,),弧段彎曲程度與 有關(guān).,轉(zhuǎn)角,、弧段長(zhǎng)度,),（,設(shè)曲線C是光滑的，,（,定義,曲線C在點(diǎn)M處的曲率,2、曲率的計(jì)算公式,注意:,(1) 直線的曲率處處為零;,(2) 圓上各點(diǎn)處的曲率等于半徑的倒數(shù),且半徑越小曲率越大.（課本P170）,例1(P171-2),解,顯然,三、曲率圓與曲率半徑,定義,1. 有共同的切線，亦即圓與曲線在點(diǎn)M處相切.,曲率圓與曲線在點(diǎn)M處有以下關(guān)系：,2. 有相同的曲率.,3. 因此，圓和曲線在點(diǎn)M處一階導(dǎo)數(shù)相同、二階導(dǎo)數(shù)同號(hào).,例2,解,如圖,受力分析,視飛行員在點(diǎn)o作勻速圓周運(yùn)動(dòng),O點(diǎn)處拋物線軌道的曲率半徑,得曲率為,曲率半徑為,即:飛行員對(duì)座椅的壓力為641.5千克力.,運(yùn)用微分學(xué)的理論,研究曲線和曲面的性質(zhì)的數(shù)學(xué)分支微分幾何學(xué).,小結(jié),1. 弧長(zhǎng)微分,或,2. 曲率公式,3. 曲率圓,曲率半徑,思考題,橢圓 上哪些點(diǎn)處曲率最大？,思考題解答,要使 最大，,必有 最小，,此時(shí) 最大，,補(bǔ)充:參數(shù)方程曲率公式,作業(yè): P177: 2, 5, 8,選講： 曲率圓與曲率半徑,設(shè) M 為曲線 C 上任一點(diǎn) ,在點(diǎn),在曲線,把以 D 為中心, R 為半徑的圓叫做曲線在點(diǎn) M 處的,曲率圓,( 密切圓 ) ,R 叫做曲率半徑,D 叫做,曲率中心.,在點(diǎn)M 處曲率圓與曲線有下列密切關(guān)系:,(1) 有公切線;,(2) 凹向一致;,(3) 曲率相同 .,M 處作曲線的切線和法線,的凹向一側(cè)法線上取點(diǎn) D 使,設(shè)曲線方程為,且,求曲線上點(diǎn)M 處的,曲率半徑及曲率中心,設(shè)點(diǎn)M 處的曲率圓方程為,故曲率半徑公式為,滿足方程組,的坐標(biāo)公式 .,由此可得曲率中心公式,當(dāng)點(diǎn) M (x , y) 沿曲線,移動(dòng)時(shí),的軌跡 G 稱為曲線 C 的漸屈線 ,相應(yīng)的曲率中心,曲率中心公式可看成漸,曲線 C 稱為曲線 G 的漸伸線 .,屈線的參數(shù)方程(參數(shù)為x).,點(diǎn)擊圖中任意點(diǎn)動(dòng)畫開始或暫停,例4. 設(shè)一工件內(nèi)表面的截痕為一橢圓, 現(xiàn)要用砂輪磨,削其內(nèi)表面 , 問選擇多大的砂輪比較合適?,解: 設(shè)橢圓方程為,由例3可知, 橢圓在,處曲率最大 ,即曲率半徑最小, 且為,顯然, 砂輪半徑不超過,時(shí), 才不會(huì)產(chǎn)生過量磨損 ,或有的地方磨不到的問題.,( 仍為擺線 ),例5. 求擺線,的漸屈線方程 .,解:,代入曲率中心公式 ,得,擺線,半徑為 a 的圓周沿直線無滑動(dòng)地滾動(dòng)時(shí) ,點(diǎn)擊圖中任意點(diǎn)動(dòng)畫開始或暫停,其上定點(diǎn) M,的軌跡即