高等數(shù)學(xué)上冊(cè)第四節(jié)隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù).ppt

第四節(jié),一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù),二、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù),三、相關(guān)變化率,隱函數(shù)和由參數(shù)方程 所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求導(dǎo),相關(guān)變化率,第二章,一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù),若由方程,可確定 y 是 x 的函數(shù) ,由,表示的函數(shù) , 稱為顯函數(shù) .,例如,可確定顯函數(shù),可確定 y 是 x 的函數(shù) ,但此隱函數(shù)不能顯化 .,函數(shù)為隱函數(shù) .,則稱此,隱函數(shù)求導(dǎo)方法:方程,兩邊對(duì) x 求導(dǎo)，把y,把y看作x的函數(shù)。,，求,解 在方程,解得,例1 設(shè),例2 試求,與橢圓,相切且平行于直線,的切線方程。,平行，則 ,，解出,解 由,故,，,橢圓上有兩個(gè)點(diǎn),及,處切線與直線,平行，,兩條切線方程分別是,即,和,和,例3. 設(shè),是由方程,確定的隱函數(shù)，求,解得,將,代入，化簡(jiǎn)得,例4 設(shè),解 等式兩邊取對(duì)數(shù)得,，求,1) 對(duì)冪指函數(shù),可用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo) :,二.對(duì)數(shù)求導(dǎo)法,注意:,2) 對(duì)多因式函數(shù)用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo)很方便,例如,兩邊取對(duì)數(shù),兩邊對(duì) x 求導(dǎo),例5. 求,解: 兩邊取對(duì)數(shù) , 化為隱式,的導(dǎo)數(shù)。,兩邊對(duì)求導(dǎo)得,又如,對(duì) x 求導(dǎo),兩邊取對(duì)數(shù),二、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù),若參數(shù)方程,可確定一個(gè) y 與 x 之間的函數(shù),可導(dǎo), 且,則,時(shí), 有,時(shí), 有,(此時(shí)看成 x 是 y 的函數(shù) ),關(guān)系,若上述參數(shù)方程中,二階可導(dǎo),且,則由它確定的函數(shù),可求二階導(dǎo)數(shù) .,利用新的參數(shù)方程,可得,?, 且,求,已知,解:,注意：,例6. 求,擺線,在,所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的切線與法線方程,時(shí)，擺線上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為,解:,故,所求切線方程為,即,法線方程為,即,例7. 已知橢圓的參數(shù)方程,，求,解,例8. 設(shè)由方程,確定函數(shù),求,解: 方程組兩邊對(duì) t 求導(dǎo) , 得,故,例9.,求炮彈在時(shí)刻,的運(yùn)動(dòng)方向及速度大小,（1）先求運(yùn)動(dòng)方向,解,(即軌跡的切線方向):,（2）再求速度的大小,故炮彈速度大?。?速度的水平分量為,，垂直分量為,三、相關(guān)變化率,為兩可導(dǎo)函數(shù),之間有聯(lián)系,之間也有聯(lián)系,稱為相關(guān)變化率,相關(guān)變化率問(wèn)題解法:,找出相關(guān)變量的關(guān)系式,對(duì) t 求導(dǎo),得相關(guān)變化率之間的關(guān)系式,求出未知的相關(guān)變化率,例10.,將水注入深8米、上頂直徑8米的正圓錐形容器，,其速率每分鐘4立方米，當(dāng)水深為5米時(shí)，其表面上升,的速度是多少？,解,則,當(dāng),（米3/分）,試求當(dāng)容器內(nèi)水,例11. 有一底半徑為 R cm , 高為 h cm 的圓錐容器 ,今以 自頂部向容器內(nèi)注水 ,位等于錐高的一半時(shí)水面上升的速度.,解: 設(shè)時(shí)刻 t 容器內(nèi)水面高度為 x ,水的,兩邊對(duì) t 求導(dǎo),而,故,體積為 V , 則,內(nèi)容小結(jié),1. 隱函數(shù)求導(dǎo)法則,直接對(duì)方程兩邊求導(dǎo),2. 對(duì)數(shù)求導(dǎo)法 :,適用于冪指函數(shù)及某些用連乘, 連除表示的函數(shù),3. 參數(shù)方程求導(dǎo)法,極坐標(biāo)方程求導(dǎo),4. 相關(guān)變化率問(wèn)題,列出依賴于 t 的相關(guān)變量關(guān)系式,對(duì) t 求導(dǎo),相關(guān)變化率之間的關(guān)系式,轉(zhuǎn)化,求高階導(dǎo)數(shù)時(shí),從低到高每次都用參數(shù)方程求導(dǎo)公式,思考與練習(xí),1. 求螺線,在對(duì)應(yīng)于,的點(diǎn)處的切線方程.,解: 化為參數(shù)方程,當(dāng),時(shí)對(duì)應(yīng)點(diǎn),斜率, 切線方程為,2. 設(shè),求,提示: 分別用對(duì)數(shù)微分法求,答案:,求其反函數(shù)的導(dǎo)數(shù) .,解:,方法1,方法2,等式兩邊同時(shí)對(duì) 求導(dǎo),備用題,例1. 設(shè),例2 求由方程,在 x = 0 處的導(dǎo)數(shù),解: 方程兩邊對(duì) x 求導(dǎo),得,因 x = 0 時(shí) y = 0 , 故,確定的隱函數(shù),例3. 拋射體運(yùn)動(dòng)軌跡的參數(shù)方程,求拋射體在時(shí)刻 t 的運(yùn)動(dòng)速度的大小和方向.,解: 先求速度大小:,速度的水平分量為,垂直分量為,故拋射體速度大小,再求速度方向,(即軌跡的切線方向):,設(shè) 為切線傾角,則,拋射體軌跡的參數(shù)方程,速度的水平分量,垂直分量,在剛射出 (即 t = 0 )時(shí), 傾角為,達(dá)到最高點(diǎn)的時(shí)刻,高度,落地時(shí)刻,拋射最遠(yuǎn)距離,速度的方向, 求,解：,例4. 設(shè),方程組兩邊同時(shí)對(duì) t 求導(dǎo), 得,例5. 一氣球從離開(kāi)觀察員500 m 處離地面鉛直上升,其速率為,當(dāng)氣球高度為 500 m 時(shí), 觀察員,視線的仰角增加率是多少?,解: 設(shè)氣球上升 t 分后其高度為h , 仰角為 ,則,兩邊對(duì) t 求導(dǎo),已知,h = 500m 時(shí)