幾種求平面圖形面積的方法畢業(yè)論文.pdf

揭陽職業(yè)技術(shù)學院揭陽職業(yè)技術(shù)學院 畢畢 業(yè)業(yè) 論論 文文 題題目：目：幾種求平面圖形面積的方法幾種求平面圖形面積的方法 學生姓名xxxxxx指導教師xxx 系（部）師范教育系專業(yè)數(shù)學教育 班級數(shù)教 094學號xxxxxx 提交日期 201年月日答辯日期 201年月日 201年月日 II 幾種求平面圖形面積的方法幾種求平面圖形面積的方法 摘摘 要要 本文研究的主要問題是平面內(nèi)圖形面積的幾種解法， 解題方法是指解答數(shù)學 問題時，總體上所采取的方針、原則和方案。不同題目通過分析條件與結(jié)論之間 的差異，并不斷縮小目標差來完成的。 關(guān)鍵詞：平面圖形面積 III 目目 錄錄 現(xiàn)介紹幾種常用的方法（1） （一） 轉(zhuǎn)化法 （1） （二） 和差法 （1） （三） 重疊法 （2） （四） 補形法 （2） （五） 拼接法 （2） （六） 特殊位置法 （3） （七） 代數(shù)法 （3） （八）直角坐標系-積分法 （4） 1、巧選積分變量 （4） 2、巧用對稱性 （5） 參考文獻 （6） 1 （一）轉(zhuǎn)化法 此法就是通過等積變換、平移、旋轉(zhuǎn)、割補等方法將不規(guī)則的圖形轉(zhuǎn)化成面積相等的規(guī)則 圖形，再利用規(guī)則圖形的面積公式，計算出所求的不規(guī)則圖形的面積。 例 1.如圖 1，點 C、D 是以 AB 為直徑的半圓 O 上的三等分點，AB=12，則圖中由弦 AC、 AD 和 CD圍成的陰影部分圖形的面積為_。 分析：連結(jié) CD、OC、OD，如圖 2。易證 AB/CD，則OCDACD 和的面積相等，所以圖中陰 影部分的面積就等于扇形 OCD 的面積。 易得60COD，故 6 360 660 2 OCD SS 扇形陰影 。 （二）和差法 有一些圖形結(jié)構(gòu)復雜， 通過觀察， 分析出不規(guī)則圖形的面積是由哪些規(guī)則圖形組合而成的， 再利用這些規(guī)則圖形的面積的和或差來求，從而達到化繁為簡的目的。 例 2.如圖 3 是一個商標的設(shè)計圖案，AB=2BC=8，ADE 為 1 4 圓，求陰影部分面積。 分析：經(jīng)觀察圖 3 可以分解出以下規(guī)則圖形：矩形 ABCD、扇形 ADE、Rt EBC。所以， 84124 2 1 84 360 490 2 EBCRtABCDADE SSSS 矩形扇形陰影 。 2 （三）重疊法 就是把所求陰影部分的面積問題轉(zhuǎn)化為可求面積的規(guī)則圖形的重疊部分的方法。這類題陰 影一般是由幾個圖形疊加而成。要準確認清其結(jié)構(gòu)，理順圖形間的大小關(guān)系。 例 3.如圖 4，正方形的邊長為 a，以各邊為直徑在正方形內(nèi)作半圓，求所圍成陰影部分 圖形的面積。 解：因為 4 個半圓覆蓋了正方形，而且陰影部分重疊了兩次，所以陰影部分的面積等于 4 個半圓的面積和與正方形面積的差。故 222 ) 1 2 () 2 (2aa a S 陰影 。 （四）補形法 將不規(guī)則圖形補成特殊圖形，利用特殊圖形的面積求出原不規(guī)則圖形的面積。 例 4.如圖 5，在四邊形 ABCD 中，AB=2，CD=1，A=60，B=D=90，求四邊形 ABCD 所在 陰影部分的面積。 解：延長 BC、AD，交于點 E，因為9060BA，所以角 E 等于 30，又 3290DECDCEEDC，所以，易求得32BE，所以 2 33 2 1 2 1 DECDBEABSSS CDEABE陰影 。 （五）拼接法 例 5.如圖 6，在一塊長為 a、寬為 b 的矩形草地上，有一條彎曲的柏油小路（小路任何 地方的水平寬都是 c 個單位） ，求陰影部分草地的面積。 3 解： （1）將“小路”沿著左右兩個邊界“剪去” ； （2）將左側(cè)的草地向右平移 c 個單 位； （3）得到一個新的矩形（如圖 7） 。由于新矩形的縱向?qū)捜匀粸?b，水平方向的長變成 了)(ca，所以草地的面積為bcabcab )(。 （六）特殊位置法 例 6.如圖 8，已知兩個半圓中長為 4 的弦 AB 與直徑 CD 平行，且與小半圓相切，那么圖 中陰影部分的面積等于_。 分析：在大半圓中，任意移動小半圓的位置，陰影部分面積都保持不變，所以可將小半圓 移動至兩個半圓同圓心位置（如圖 9） 。 解：移動小半圓至兩半圓同圓心位置，如圖 9。設(shè)切點為 H，連結(jié) OH、OB，由垂徑定理， 知2 2 1 ABBH。又 AB 切小半圓于點 H，故ABOH ，故 4 222 BHOHOB 2)( 2 1 2 1 2 1 2222 OHOBOHOBS陰影 （七）代數(shù)法 將圖形按形狀、大小分類，并設(shè)其面積為未知數(shù)，通過建立方程或方程組來解出陰影部分 面積的方法。 例 7.如圖 10，正方形的邊長為 a，分別以兩個對角頂點為圓心、以 a 為半徑畫弧，求圖 中陰影部分的面積。 4 解：設(shè)陰影部分的面積為 x，剩下的兩塊形狀、大小相同的每塊面積為 y，則圖中正方形 的面積是yx2，而yx是以半徑為 a 的圓面積的 1 4 。故有 2 2ayx， 2 4 ayx 。解 得 2 ) 1 2 (ax 。即陰影部分的面積是 2 ) 1 2 (a 。 （八）直角坐標系-積分法 求平面圖形的面積是定積分在幾何中的重要應(yīng)用.把求平面圖形的面積問題轉(zhuǎn)化為求定積 分問題，充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想.求解此類題常常用到以下技巧. 1、巧選積分變量 求平面圖形面積時，要注意選擇積分變量，以使計算簡便. 例 8求拋物線 2 2yx與直線4yx圍成的平面圖形的面積 解析：如圖 1，解方程組 2 2 4 yx yx ， ， 得兩曲線的變點為(22) (8 4)， 方法一：選取橫坐標x為積分變量，則圖中陰影部分的面積應(yīng)該是兩部分之和，即 33 28 288 22 022 02 42 22( 24)22418 3032 Sxdxxxdxxxx | 方法二：選取縱坐標y為積分變量，則圖中陰影部分的面積可據(jù)公式求得，即 2 4 234 2 2 11 4418 226 y Syydyyy | 點評：從上述兩種解法可以看出，對 y 積分比對 x 積分計算簡捷.因此，應(yīng)用定積分求平 面圖形面積時，積分變量的選取是至關(guān)重要的.但同時也要注意對 y 積分時，積分函數(shù)應(yīng) 是( )xy，本題須將條件中的曲線方程、直線方程化為 2 1 4 2 xyxy，的形式，然后求得 積分另外還要注意的是對面積而言，不管選用哪種積分變量去積分，面積是不會變的， 即定積分的值不會改變. 5 2、巧用對稱性 在求平面圖形面積時，注意利用函數(shù)的奇偶性等所對應(yīng)曲線的對稱性解題，也是簡化計算 過程的常用手段. 例 9求由三條曲線 22 41yxyxy，所圍圖形的面積. 解析：如圖 2，因為 22 4yxyx，是偶函數(shù)，根據(jù)對 稱性，只算出y軸右邊的圖形的面積再兩倍即可 解 方 程 組 2 1 yx y ， ， 和 2 4 1 yx y ， ， 得 交 點 坐 標 ( 11) (11) ( 21) (21)， ， 方法一：選擇x為積分變量， 則 22 12 231232 011 01 114 212 444123 xx Sxdxdxxxx | 方法二：可以選擇 y 為積分變量，求解過程請同學們自己完成. 點評：對稱性的應(yīng)用和積分變量的選取都影響著計算過程的繁簡程度. 平面圖形面積的傳統(tǒng)教學過程中，教師們常重結(jié)果而非過程，教師恨不得把所有的數(shù) 學知識都灌輸?shù)綄W生的腦子里，這種教法實際上是孤立地傳授知識的細節(jié)部分，缺乏對數(shù) 學知識的整體聯(lián)系。新課程主張，“重結(jié)果更重過程，過程比結(jié)果更重要”，讓學生經(jīng)歷 知識的形成與應(yīng)用過程，在知識的發(fā)生發(fā)展過程中滲透數(shù)學思想方法。特別對于平面圖形 的面積的求解中應(yīng)讓學生體驗數(shù)學思想方法和空間的想象能力。 在教學中，一方面要講清數(shù)學概念，另一方面要引導學生挖掘其中的解題過程。有的 時候再解題時可能會發(fā)生題中所給的信息中產(chǎn)生信息，從同一來源產(chǎn)生各種各樣為數(shù)眾多 的信息。即從問題的多種可能方向擴散出去，探索問題的多種解法?？墒顾季S廣闊，對一 個問題能根據(jù)客觀情況的變化而變化。在學生的腦海中形成解題的三步曲：觀察聯(lián)想 轉(zhuǎn)化，通過對題目的觀察，由概念、原理、法則的接近而產(chǎn)生的聯(lián)想，由命題的已知條件 和結(jié)論的外表形態(tài)與結(jié)構(gòu)特征，想到相關(guān)的、相似的定義、定理、公式和圖形等，通過變 化使面臨的問題轉(zhuǎn)化為自己會解決的問題。上面例題解答方法中就是通過這樣的模式在學 生思維中轉(zhuǎn)化，從而在學生思維中形成獨立的、連動的、多向的、跨越的、綜合的網(wǎng)絡(luò)模 式，從三個層次進行解答，即一般性解決、功能性解決和特殊性解決。如上的例題中都是 從這三個層次分析解答的。 不管是平面圖形還是其他問題，解題的目的有三個方面：知識基礎(chǔ)性、方法技能性、 觀念意識性，分別對應(yīng)著認識論、方法論、世界觀。分四點來論述:一、加深理解概念， 鞏固拓展知識；二、掌握數(shù)學方法，培養(yǎng)數(shù)學技能；三、領(lǐng)會數(shù)學思想，訓練思維品質(zhì)； 四、發(fā)展個性心理，形成科學精神。 建議在平時教學中從學生的實際出發(fā)，在充分發(fā)揮教師的主導作用的前提下，善于激 發(fā)學生對數(shù)學的求知欲和學習的興趣， 引導學生積極開展思維活動， 主動獲得知識的意識， 有利于注重調(diào)動學生的學習主動性,引導他們獨立思考,積極探索,生動活潑地學習,自覺 6 地掌握科學知識，提高分析問題、解決問題的能力，充分體現(xiàn)了學生的主體特性。學生只 有主動參與其中,親身感受、體會、思索、提煉才能逐步領(lǐng)悟、形成、掌握數(shù)學思想方法。 致謝：致謝：感謝xxx老師對我論文的精心指導。 參考文獻 1鄭毓信，肖柏榮，熊萍著.數(shù)學思維和數(shù)學方法論四川：四川教育出版社，2001. 2史久一，朱梧槚著.劃歸與歸納類比聯(lián)想.大連：大連理工大學出版社，2008.4. 3章士藻著.數(shù)學方法論簡明教程.南京：南京大學出版社，2006.5. 4劉玉璉等編.數(shù)學分析講義.上冊.5版.北京：高等教育出版社，2008.5. 7 揭陽職業(yè)技術(shù)學院畢業(yè)論文（設(shè)計）指導進度表揭陽職業(yè)技術(shù)學院畢業(yè)論文（設(shè)計