變形及剛度計算(改).ppt

,第八章 變形及剛度計算,第八章,變形及剛度計算,主講教師：余茜,8 1 軸向拉伸桿的變形,8 2 圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形和剛度計算,8 3 梁的變形及剛度計算,8 4 簡單超靜定問題,目 錄,第二章 軸向拉伸和壓縮, 8-1 軸向拉壓桿的變形, 8-1 軸向拉壓桿的變形,F,F,一、軸向拉壓的變形分析,F,F,軸向拉伸： 縱向伸長、橫向縮短,縱向伸長量：,橫向縮短量：,軸向壓縮： 縱向縮短、橫向伸長,縱向縮短量：,橫向伸長量：,注：絕對變形量不足以描述變形的程度，尤其對于長度不一的桿件，因此引入應(yīng)變的概念。,F,F,F,F,1、縱（軸）向變形量：,2、橫向變形量：,二、線應(yīng)變,軸向線應(yīng)變：,線應(yīng)變：將絕對伸長量除以桿件的初始尺寸，即得單位伸長，稱之為線應(yīng)變。,橫向線應(yīng)變：,3、線應(yīng)變的符號約定： 與變形量的正負號一致，即拉應(yīng)變?yōu)檎瑝簯?yīng)變?yōu)樨摗? 8-1 軸向拉壓桿的變形,上式表明，在線彈性范圍內(nèi)軸向拉、壓桿件的伸長或縮短量 l ，與軸力 FN和桿長 l 成正比,與EA 成反比。,EA抗拉（壓）剛度, 8-1 軸向拉壓桿的變形,由胡克定律,且,軸向線應(yīng)變：,E彈性模量,EA抗拉（壓）剛度,l 表示長為 l的桿件在軸力 FN的作用下的伸長量或縮短量,條件：桿件在 l長范圍內(nèi)EA和FN均為常數(shù)。,當(dāng)EA和FN在桿長范圍內(nèi)分段為常數(shù)時,FN圖,當(dāng)EA和FN在桿長范圍內(nèi)為位置的函數(shù)時, 8-1 軸向拉壓桿的變形,三、泊松比,當(dāng)桿件受拉伸沿縱向伸長時，橫向則縮短；當(dāng)桿件受壓縮沿縱向縮短時，橫向則伸長。,橫向線應(yīng)變：,縱向線應(yīng)變：,實驗表明，對于同一種線彈性材料，存在如下關(guān)系：, 稱為泊松比，量綱為一,負號表示縱向與橫向變形的方向總是相反, 8-1 軸向拉壓桿的變形,40KN,20KN,10KN,50kN,20kN,30kN,A,B,C,D,E,1m,2m,3m,1m,解：用直接法畫軸力圖,分析：多力作用下，整個桿長范圍內(nèi)軸力分段為常數(shù)，只能分段求變形，再求和。,又因為BD段內(nèi)雖然軸力為常數(shù)，但截面面積又分兩段，所以要分4段求變形。,FN圖, 8-1 軸向拉壓桿的變形,40KN,20KN,10KN,50kN,20kN,30kN,A,B,C,D,E,1m,2m,3m,1m,解：用直接法畫軸力圖,FN圖, 8-1 軸向拉壓桿的變形,40KN,20KN,10KN,50kN,20kN,30kN,A,B,C,D,E,1m,2m,3m,1m,解：用直接法畫軸力圖,FN圖,即桿被壓短了1.572mm, 8-1 軸向拉壓桿的變形,解：,把自重簡化為沿著軸線均勻分布的線荷載，集度qA,任意取一個截面11，畫受力圖。軸力,在11截面處取出一微段dy作為研究對象，受力如圖。,由于取的是微段，dFN(y)可以忽略，認為在微段dy上軸力均勻分布（常數(shù)）, 8-1 軸向拉壓桿的變形, 8-1 軸向拉壓桿的變形,結(jié)論：等直桿由自重引起的變形量等于把自重當(dāng)作集中力作用在桿端所引起的變形量的一半。,G,令取一根相同的桿件，把它的自重作為一個集中力作用在自由端，此時桿件的伸長量為, 8-1 軸向拉壓桿的變形, 8 2 圓桿扭轉(zhuǎn)時的變形和剛度計算,一、扭轉(zhuǎn)變形扭轉(zhuǎn)角,抗扭剛度,扭率：,單位長度扭轉(zhuǎn)角（扭率）描述了扭轉(zhuǎn)變形的劇烈程度,扭轉(zhuǎn)角：,單位：rad,一、扭轉(zhuǎn)變形扭轉(zhuǎn)角,扭轉(zhuǎn)角：,當(dāng)在桿長l內(nèi)扭率為常數(shù)時,單位：rad,當(dāng)在桿長l內(nèi)扭率分段為常數(shù)時，用求和公式, 8 2 圓桿扭轉(zhuǎn)時的變形和剛度計算,二、剛度條件,以度每米為單位時,以弧度每米為單位時,許用單位長度扭轉(zhuǎn)角,三、剛度條件的應(yīng)用,（1）校核剛度 （2）設(shè)計截面 （3）確定荷載, 8 2 圓桿扭轉(zhuǎn)時的變形和剛度計算,例題：圓軸如圖所示。已知d1=75mm，d2=110mm。材料的許用切應(yīng)力=40MPa，軸的許用單位扭轉(zhuǎn)角 =0. 8/m，剪切彈性模量G=80GPa。試校核該軸的扭轉(zhuǎn)強度和剛度。,d2,d1,A,B,C,8KN.m,5KN.m,3KN.m,d2,d1,A,B,C,8KN.m,5KN.m,3KN.m,解：強度校核,T圖,滿足強度條件,分析：雖然MTABMTBC，但BC段的截面面積也大于AB段的截面面積，所以要分段分別校核。,剛度校核,T圖,滿足剛度條件,例：實心圓軸受扭，若將軸的直徑減小一半時，橫截面的最大切應(yīng)力是原來的 倍？圓軸的扭轉(zhuǎn)角是原來的 倍？,8,16,例：一空心圓軸，內(nèi)外徑之比為=0.5，兩端受扭轉(zhuǎn)力偶矩作用，最大許可扭矩為，若將軸的橫截面面積增加一倍，內(nèi)外徑之比仍保持不變，則其最大許可扭矩為的多少倍？（按強度計算）。,解：設(shè)空心圓軸的內(nèi)、外徑原分別為d、D，面積增大一倍后內(nèi)外徑分別變?yōu)閐1 、 D1 ，最大許可扭矩為1,一、基本概念（撓度、轉(zhuǎn)角、撓曲線）, 83 梁的變形及剛度計算,1、撓度（ y）: 橫截面形心 C (即軸線上的點)在垂直于 x 軸方向的線位移，稱為該截面的撓度。,一、基本概念（撓度、轉(zhuǎn)角、撓曲線）,撓度方程：一般各橫截面的撓度是不相同的，是位置x的函數(shù)，稱為撓度方程，記做y=y（x）,y,A,B,x,2、轉(zhuǎn)角（） ：橫截面對其原來位置的角位移（橫截面繞中性軸轉(zhuǎn)動的角度） , 稱為該截面的轉(zhuǎn)角。,C,C,一、基本概念（撓度、轉(zhuǎn)角、撓曲線）,轉(zhuǎn)角方程：一般各橫截面的轉(zhuǎn)角是不相同的，是位置x的函數(shù)，稱為轉(zhuǎn)角方程，記做= （x）,3、撓曲線 ：梁變形后的軸線 稱為撓曲線 。,撓曲線方程為,式中 ，x 為梁變形前軸線上任一點的橫坐標 ，y為該點的撓度。,y,A,B,x,C,C,撓曲線,一、基本概念（撓度、轉(zhuǎn)角、撓曲線）,撓度方程,y,A,B,x,C,C,撓曲線,4、撓度和轉(zhuǎn)角的關(guān)系,即,該式表明，某截面的轉(zhuǎn)角等于撓曲線在該截面處的一階導(dǎo)數(shù),撓度：向下為正，向上為負。,轉(zhuǎn)角：自x 轉(zhuǎn)至切線方向，順時針轉(zhuǎn)為正，逆時針轉(zhuǎn)為負。,y,A,B,x,C,C,撓曲線,5、撓度和轉(zhuǎn)角的符號約定,剪力彎曲時, M 和 都是x的函數(shù) 。略去剪力對 梁的位移的影響, 則,純彎曲時曲率與彎矩的關(guān)系為,二、 撓曲線的近似微分方程,由幾何關(guān)系知, 平面曲線的曲率可寫作,由以上兩式，得,在規(guī)定的坐標系中, x 軸水平向右 為正, y 軸豎直向下為正；而彎矩是下側(cè)受拉為正。,曲線向上凸 時 ： y 0 , M 0,曲線向下凸 時 ： y 0,因此, M 與 y的正負號相反,二、 撓曲線的近似微分方程,此式稱為 梁的撓曲線近似微分方程,近似原因 : (1) 略去了剪力的影響 ; (2) 略去了 y 2 項。,與 1 相比十分微小而可以忽略不計, 故上式可近似為,二、 撓曲線的近似微分方程,三、 用積分法求梁的變形,梁的撓曲線近似微分方程,（一）、公式推導(dǎo),再積分一次, 得撓度方程,上式積分一次得轉(zhuǎn)角方程,式中C 、D稱為積分常數(shù)，可通過梁撓曲線的位移邊界條件和變形連續(xù)光滑條件來確定。,A,B,A,B,在簡支梁中， 左右兩鉸支座處的撓度 yA 和 yB 都應(yīng)等于零（邊界）；C左、C右截面的饒度、轉(zhuǎn)角相等（變形連續(xù)光滑）。,在懸臂梁 中，固定端處的撓度 yA和轉(zhuǎn)角 A 都應(yīng)等于零。,（二）、位移邊界條件和變形連續(xù)條件,位移邊界條件：,yA 0 ，yB 0,位移邊界條件：,yA 0 ， A 0,注意：位移邊界條件在支座處 變形連續(xù)條件中間在分段點,變形連續(xù)條件：,C,yC1 yC2 ， C1 C2,三、 用積分法求梁的變形,注 意,當(dāng)梁上的外力將梁分為數(shù)段時，由于各段梁的彎矩方程不同，因而梁的撓曲線近似微分方程需分段列出。相應(yīng)地各段梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程也隨之而異。,三、 用積分法求梁的變形,1、正確分段，分別列彎矩方程； 2、分段列近似微分方程，一次積分得轉(zhuǎn)角方程，再此積分得撓度方程； 3、由位移邊界條件和變形連續(xù)條件求得積分常數(shù)。,步 驟,注意： 1、位移邊界條件在支座處，變形連續(xù)條件在中間分段點處； 2、分n段，就要列n個彎矩方程，就有n個轉(zhuǎn)角方程和n個撓度方程，因此就有2n個積分常數(shù)，就必須列出2n個補充方程（邊界條件和變形連續(xù)條件）,三、 用積分法求梁的變形,C,D,A,F,B,例題 ：用積分法求位移時，圖示梁應(yīng)分幾段來列撓曲線的近似微分方程？試分別列出確定積分常數(shù)時需用的邊界條件和變形連續(xù)條件。,3m,3m,2m,q,解：分AC、CB、BD三段,1,位移邊界條件：,變形連續(xù)條件：,yA 0,yC1 yC2 ， C1 C2,2,3,應(yīng)該列6個補充方程,yB2 yB3 ， B2 B3,A截面：x1=0時，,C截面：x1=x2=3m時，,B截面：x2=x3=6m時，,B截面：x2=x3=6m時，,yB 0,例題 ：圖示一抗彎剛度為 EI 的懸臂梁, 在自由端受一集中力 P 作用。試求梁的撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程, 并確定其最大撓度 ymax 和最大轉(zhuǎn)角 max 。,彎矩方程為,解：,撓曲線的近似微分方程為,對撓曲線近似微分方程進行積分,邊界條件為 ：,C1=0 C2=0,將邊界條件代入(3) (4)兩式中,可得,C1=0 C2=0,梁的轉(zhuǎn)角方程和撓度方程分別為,ymax,例題 ：圖示一抗彎剛度為EI的簡支梁, 在D點處受一集中力P的作用。試求此梁的撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程，并求D截面的撓度和A、B截面的轉(zhuǎn)角,解：梁的兩個支反力為,1、分兩段分別列彎矩方程,2、兩段梁的撓曲線方程分別為,可見，梁分兩段，就有4個積分常數(shù),3、邊界條件和變形連續(xù)條件,代入方程可解得：,1,2,1,2,將 x = 0 和 x = l 分別代入轉(zhuǎn)角方程，左右兩支座處截面的轉(zhuǎn)角,當(dāng) a b 時, 右支座處截面的轉(zhuǎn)角絕對值為最大,1,2,D截面的撓度：,把x=a代入y1或者y2，得,疊加原理：梁在小變形、彈性范圍內(nèi)工作時， 梁在幾項荷載（可以是集中力, 集中力偶或分布力）同時作用下的撓度和轉(zhuǎn)角， 就分別等于每一荷載單獨作用下該截面的撓度和轉(zhuǎn)角的疊加。 當(dāng)每一項荷載所引起的撓度為同一方向（如均沿 y 軸方向 ), 其轉(zhuǎn)角是在同一平面內(nèi) ( 如均在 xy 平面內(nèi) ) 時,則疊加就是代數(shù)和。,四、 用疊加法求梁的變形,力的獨立作用原理在線彈性及小變形條件下，梁的變形（撓度y和轉(zhuǎn)角）與荷載始終保持線性關(guān)系，而且每個荷載引起的變形與其他同時作用的荷載無關(guān)。,疊加法的分類,直接疊加梁上荷載可以化成若干個典型荷載，每個典型荷載都可以直接查表求出位移，然后直接疊加；,間接疊加梁上荷載不能化成直接查表的若干個典型荷載，需將梁進行適當(dāng)轉(zhuǎn)換后才能利用表中結(jié)果進行疊加計算。,四、 用疊加法求梁的變形,例題：一抗彎剛度為 EI 的簡支梁受荷載如圖所示。試按疊加原理求梁跨中點的撓度 yC 和支座處橫截面的轉(zhuǎn)角 A 、 B 。,解：將梁上荷載分為兩項簡單的荷載，如圖b、c 所示,(b),B,B,(C),查表，得,例題：試利用疊加法，求圖所示抗彎剛度為 EI 的簡支梁跨中點的撓度 yC 和兩端截面的轉(zhuǎn)角 A , B 。,解： 可視為正對稱荷載與反對稱荷載兩種情況的疊加。,（1）正對稱荷載作用下,（2）反對稱荷載作用下,可將AC段和BC段分別視為受均布線荷載作用且長度 為 l /2 的簡支梁,在跨中C截面處，撓度 yc 等于零 ，但 轉(zhuǎn)角不等于零 且該截面的 彎矩也等于零,C,A,B,（2）反對稱荷載作用下,將相應(yīng)的位移進行疊加, 即得,例7.6 等截面外伸梁受力如圖7.8（a）所示，其抗彎剛度EI為常數(shù)。試求自由端處的撓度 yC。,AB為基本部分 BC為附屬部分,基本部分AB的變形使附屬部分BC產(chǎn)生的剛體位移，稱為牽連位移,附屬部分BC自身變形引起的位移，稱為附加位移,例7.6 等截面外伸梁受力如圖7.8（a）所示，其抗彎剛度EI為常數(shù)。試求自由端處的撓度 yC。,牽連位移,附加位移,例7.7 變截面梁受力如圖7.9（a）所示，試求自由端處的撓度 yB。,AC為基本部分 CB為附屬部分,例題：一抗彎剛度為 EI 的外伸梁受荷載如圖所示,試按疊加原理并利用附表, 求截面 B 的轉(zhuǎn)角 B 以及 A 端和BC 中點 D 的撓度 y A 和 yD 。,解：將外伸梁沿 B 截面截成兩段，將AB 段看成 B 端固定的懸臂梁，BC 段看成簡支梁。,B 截面兩側(cè)的相互作用力為：,2qa,簡支梁 BC 的受力情況與外伸梁 AC 的 BC 段的受力情況相同,由簡支梁 BC 求得的B ，yD，就是外伸梁 AC 的 B ，yD,簡支梁 BC 的變形就是MB 和均布荷載 q 分別引起變形的疊加。,(1)求 B ，yD,由疊加原理得,(2) 求 yA,由于簡支梁上 B 截面的轉(zhuǎn)動，代動 AB 段一起作剛體運 動，使 A 端產(chǎn)生撓度 y1,懸臂梁 AB 本身的彎曲變形，使 A 端產(chǎn)生撓度 y2,2qa,2qa,因此，A端的總撓度應(yīng)為,查表，得,2qa,2qa,式中：ymax 為梁上最大的撓度；l 為梁的跨長； f / l 為 梁的許可撓度與的跨長比值。,五、 梁的剛度校核,剛度條件（一般只校核撓度）,注意： 1、建筑結(jié)構(gòu)即要滿足強度條件，同時也要滿足剛度條件； 2、一般情況下，強度條件起控制作用，所以，在設(shè)計梁的截面時，用強度條件選擇梁的截面，選好后再代入剛度條件進行校核。,梁的撓度和轉(zhuǎn)角與梁的抗彎剛度EI、梁的跨度、荷載、約束等因素有關(guān)。,提高梁彎曲剛度的措施,措施： 1、選用合理的截面形狀，增大梁的抗彎剛度EI ； 2、改善結(jié)構(gòu)形式，調(diào)整跨長； 3、改變加載方式； 4、增加約束，采用超靜定結(jié)構(gòu)；,一、超靜定的概念, 8-4 簡單超靜定問題, 8-4 簡單超靜定問題,靜定問題：單個物體或物體系未知量的數(shù)目正好等于它的獨立的平衡方程的數(shù)目，全部未知量均可求出，這樣的問題稱為靜定問題，相應(yīng)的結(jié)構(gòu)稱為靜定結(jié)構(gòu)。,超靜定或靜不定 ：未知量的數(shù)目多于獨立的平衡方程的數(shù)目，未知量不可全部求出，這樣的問題稱為超靜定問題，相應(yīng)的結(jié)構(gòu)稱為超靜定結(jié)構(gòu)。 超出幾個未知量，就是幾次超靜定問題。 通常超靜定問題需要建立補充方程，方可求解。 在超靜定結(jié)構(gòu)中，若不考慮強度和剛度而僅針對維持結(jié)構(gòu)的平衡而言，有些約束是可以去掉的，這些約束稱為多余約束，與其相應(yīng)的支座反力稱為多余支反力。,獨立的平衡方程數(shù)：236 未知力數(shù)：2+1+2+16 獨立的平衡方程數(shù)=未知力數(shù),獨立的平衡方程數(shù)：236 未知力數(shù)：3+1+2+17 未知力數(shù)獨立的平衡方程數(shù),靜定問題,超靜定問題, 8-4 簡單超靜