番茄花園-一最小多項式的定義.ppt

7.9 最小多項式,一、最小多項式的定義,二、最小多項式的基本性質(zhì),7.9 最小多項式,第七章 線性變換,7.9 最小多項式,由哈密爾頓凱萊定理，,是A的特征多項式，則,因此，對任定一個矩陣 ，總可以找到一個,多項式 使,多項式 以A為根.,引入,本節(jié)討論，以矩陣A為根的多項式的中次數(shù)最低的,那個與A的對角化之間的關(guān)系.,此時，也稱,7.9 最小多項式,一、最小多項式的定義,定義：,設(shè) 在數(shù)域P上的以A為根的多項,為A的最小多項式.,式中，次數(shù)最低的首項系數(shù)為1的那個多項式，稱,7.9 最小多項式,二、最小多項式的基本性質(zhì),證：設(shè) 都是A的最小多項式.,由帶余除法， 可表成,其中 或,于是有,7.9 最小多項式,由最小多項式的定義，,即，,同理可得，,又 都是首1多項式,故,7.9 最小多項式,2.（引理2）設(shè) 是矩陣A的最小多項式，則,以A為根,證：充分性顯然，只證必要性,由帶余除法， 可表成,其中 或,于是有,7.9 最小多項式,由最小多項式的定義，,由此可知：,若 是A的最小多項式，則 整 除 任何一,個以A為根的多項式，從而整除A的特征多項式. 即,7.9 最小多項式,例1、數(shù)量矩陣 kE的最小多項式是一次多項式,特別地，單位矩陣的最小多項式是 ；,零矩陣的最小多項式是 .,反之，若矩陣A的最小多項式是一次多項式，則,A一定是數(shù)量矩陣.,例2、求 的最小多項式.,7.9 最小多項式,解：A的特征多項式為,又, A的最小多項式為,7.9 最小多項式,證：設(shè)矩陣A與B相似， 分別為它們的,最小多項式.,由A相似于B，存在可逆矩陣T , 使,從而,也以B為根，,同理可得,從而,又 都是首1多項式，,7.9 最小多項式,反之不然，即最小多項式相同的矩陣未必相似.,如：,的最小多項式皆為 但A與B不相似.,注：,即,所以，A與B不相似.,7.9 最小多項式,5.（引理3）設(shè)A是一個準(zhǔn)對角矩陣,并設(shè) 的最小多項式分別為 .,則A的最小多項式為 的最小公倍式.,證：記,首先，,即A為 的根.,7.9 最小多項式,所以 被A的最小多項式整除.,則,從而,其次，如果,從而,故 為A的最小多項式.,7.9 最小多項式,若A是一個準(zhǔn)對角矩陣,且 的最小多項式為,則A的最小多項式是為,推廣：,特別地，若 兩兩互素，即,則A的最小多項式是為,7.9 最小多項式,6.（引理4） 級若當(dāng)塊,的最小多項式為,證：J的特征多項式為,7.9 最小多項式,而,的最小多項式為,7.9 最小多項式,6.（定理13） 與對角矩陣相似,的最小多項式是P上互素的一次因式的積.,證：由引理3的推廣，必要性顯然. 只證充分性.,根據(jù)矩陣與線性變換之間的對應(yīng)關(guān)系，,設(shè)V上線性變換 在某一組基下的矩陣為A，,則,則 的最小多項式與A的最小多項式相同,設(shè)為,7.9 最小多項式,若 為P上互素的一次因式的乘積：,則,其中,（此結(jié)論的證明步驟同定理12）,把 各自的基合起來就是V的一組基.,從而A相似于對角矩陣.,特征向量.,所以, 在這組基下的矩陣為對角矩陣.,在這組基中，每個向量都屬于某個 ， 即是 的,7.9 最小多項式,8.