高中數(shù)學(xué)第二章推理與證明2.2.1直接證明學(xué)案蘇教版選修.docx_第1頁(yè)
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2.2.1直接證明學(xué)習(xí)目標(biāo)重點(diǎn)難點(diǎn)1能知道直接證明的兩種基本方法綜合法和分析法2會(huì)分析綜合法和分析法的思考過(guò)程、特點(diǎn),會(huì)用綜合法和分析法證明數(shù)學(xué)問(wèn)題.重點(diǎn):綜合法和分析法的思維方法和步驟難點(diǎn):綜合應(yīng)用兩種方法解題.1直接證明(1)直接從原命題的條件逐步推得命題成立,這種證明通常稱(chēng)為_(kāi)(2)直接證明的一般形式為:_.2綜合法(1)從已知條件出發(fā),以已知的定義、公理、定理為依據(jù),逐步下推,直到推出要證明的結(jié)論為止這種證明方法常稱(chēng)為_(kāi)(2)綜合法的推證過(guò)程是:_.預(yù)習(xí)交流1做一做:已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an2n,求證:數(shù)列an為等比數(shù)列3分析法(1)從問(wèn)題的結(jié)論出發(fā),追溯導(dǎo)致結(jié)論成立的條件,逐步上溯,直到使結(jié)論成立的條件和已知條件或已知事實(shí)吻合為止這種證明方法常稱(chēng)為_(kāi)(2)分析法的推證過(guò)程是:_.預(yù)習(xí)交流2做一做:求證:2.在預(yù)習(xí)中還有哪些問(wèn)題需要你在聽(tīng)課時(shí)加以關(guān)注?請(qǐng)?jiān)谙铝斜砀裰凶鰝€(gè)備忘吧!我的學(xué)困點(diǎn)我的學(xué)疑點(diǎn)答案:預(yù)習(xí)導(dǎo)引1(1)直接證明(2)本題結(jié)論2(1)綜合法(2)已知條件結(jié)論預(yù)習(xí)交流1:提示:an2n,2(常數(shù))由等比數(shù)列的定義可知,數(shù)列an為公比是2的等比數(shù)列3(1)分析法(2)結(jié)論已知條件預(yù)習(xí)交流2:提示:要證原不等式成立,只需證()2(2)2,即證22,由于上式顯然成立,因此原不等式成立一、綜合法的應(yīng)用設(shè)a,b,c為不全相等的正數(shù),且abc1,求證:.思路分析:(1)綜合法證明不等式所依賴(lài)的主要是不等式的基本性質(zhì)和已知的重要不等式(2)綜合法證明不等式時(shí),要注意不等式的性質(zhì)和已證過(guò)的不等式各自成立的條件,這樣才能使推理正確,結(jié)論無(wú)誤如圖,在四棱錐PABCD中,平面PAD平面ABCD,AB=AD,BAD=60,E,F(xiàn)分別是AP,AD的中點(diǎn)求證:(1)直線(xiàn)EF平面PCD;(2)平面BEF平面PAD.1綜合法的證明步驟:(1)分析條件,選擇方向,確定已知條件和結(jié)論間的聯(lián)系,合理選擇相關(guān)定義、定理等(2)轉(zhuǎn)化條件,組織過(guò)程,將條件合理轉(zhuǎn)化,書(shū)寫(xiě)出嚴(yán)密的證明過(guò)程2綜合法的適用范圍是:(1)定義明確的問(wèn)題,如證明函數(shù)的單調(diào)性,奇偶性;立體幾何中的證明,不等式的證明等問(wèn)題;(2)已知條件明確,并且容易通過(guò)分析和應(yīng)用條件能逐步逼近結(jié)論的題型二、分析法的應(yīng)用如圖,SA平面ABC,ABBC,過(guò)A作SB的垂線(xiàn),垂足為E,過(guò)E作SC的垂線(xiàn),垂足為F.求證:AFSC.思路分析:利用線(xiàn)線(xiàn)垂直、線(xiàn)面垂直的相互轉(zhuǎn)化尋求AFSC成立的條件當(dāng)ab0時(shí),求證:(ab)在分析法證明中,從結(jié)論出發(fā)的每一個(gè)步驟所得到的判斷都是結(jié)論成立的充分條件,最后一步歸結(jié)到已被證明了的事實(shí)因此,從最后一步可以倒推回去,得到結(jié)論,但這個(gè)倒推過(guò)程可以省略三、綜合法和分析法的綜合應(yīng)用求證:當(dāng)x0時(shí),sin xx.思路分析:不等式的成立問(wèn)題,可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問(wèn)題來(lái)解決已知,k(kZ),且sin cos 2sin ,sin cos sin2,求證:.實(shí)際解題時(shí),用分析法思考問(wèn)題,尋找解題途徑,用綜合法書(shū)寫(xiě)解題過(guò)程,或者聯(lián)合使用分析法與綜合法,即從“欲知”想“已知”(分析),從“已知”推“可知”(綜合),雙管齊下,兩面夾擊,找到溝通已知條件和結(jié)論的途徑1設(shè)alg 2lg 5,bex(x0),則a與b的大小關(guān)系為_(kāi)2已知函數(shù)f(x)滿(mǎn)足:當(dāng)x4時(shí),f(x)2x,當(dāng)x4時(shí),f(x)f(x1),則f(2log23)_.3命題“函數(shù)f(x)xxln x在區(qū)間(0,1)上是增函數(shù)”的證明過(guò)程“對(duì)函數(shù)f(x)xxln x取導(dǎo)得f(x)ln x,當(dāng)x(0,1)時(shí),f(x)ln x0,故函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)上是增函數(shù)”應(yīng)用了_的證明方法4已知實(shí)數(shù)a0,且函數(shù)f(x)a(x21)有最小值1,則a_.5補(bǔ)充下面用分析法證明基本不等式ab的步驟:要證明ab,只需證明a2b22ab,只需證_,只需證_由于_顯然成立,因此原不等式成立提示:用最精練的語(yǔ)言把你當(dāng)堂掌握的核心知識(shí)的精華部分和基本技能的要領(lǐng)部分寫(xiě)下來(lái)并進(jìn)行識(shí)記.知識(shí)精華技能要領(lǐng)答案:活動(dòng)與探究1:證明:a0,b0,c0,且abc1,bccaab.又bcca222,同理bcab2,caab2.a,b,c不全相等,上述三個(gè)不等式中的“”不能同時(shí)成立2(bccaab)2(),即bccaab.故.遷移與應(yīng)用:證明:(1)在PAD中,因?yàn)镋,F(xiàn)分別為AP,AD的中點(diǎn),所以EFPD.又因?yàn)镋F平面PCD,PD平面PCD,所以直線(xiàn)EF平面PCD.(2)連結(jié)BD.因?yàn)锳BAD,BAD60,所以ABD為正三角形因?yàn)镕是AD的中點(diǎn),所以BFAD.因?yàn)槠矫鍼AD平面ABCD,BF平面ABCD,平面PAD平面ABCDAD,所以BF平面PAD.又因?yàn)锽F平面BEF,所以平面BEF平面PAD.活動(dòng)與探究2:證明:要證AFSC,而EFSC,故只需證SC平面AEF,只需證AESC,而AESB,故只需證AE平面SBC,只需證AEBC,而ABBC,故只需證BC平面SAB.只需證BCSA,而由SA平面ABC可知SABC,即上式成立,AFSC.遷移與應(yīng)用:證明:要證(ab),只需證()22,即證a2b2(a2b22ab),即證a2b22ab.因?yàn)閍2b22ab對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立,所以(ab)成立綜上所述,不等式得證活動(dòng)與探究3:證明:要證x0時(shí),sinxx,只需證x0時(shí),sinxx0即可設(shè)f(x)sinxx,則即證x0時(shí),f(x)0,即證x0時(shí),f(x)的最大值小于或等于0即可f(x)sinxx,f(x)cosx1,當(dāng)x0時(shí)f(x)0,f(x)在0,)上遞減當(dāng)x0時(shí),f(x)maxf(0)0,f(x)max0成立,原不等式成立遷移與應(yīng)用:證明:要證,即證,即證cos2sin2(cos2sin2),即證12sin2(12sin2),即證4sin22sin21.因?yàn)?sin cos )22sin cos 1,所以將代入上式,可得4sin22sin21.由于上式與相同,于是問(wèn)題得證當(dāng)堂檢測(cè)1ab解析:alg 2lg 5lg 101,而bexe01,故ab.224解析:1log22log23l

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