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數(shù)字電路基礎(chǔ)知識第一節(jié) 數(shù)制與碼制一 幾種常用數(shù)制1. 十進(jìn)制 基數(shù)為10,數(shù)碼為:09;運算規(guī)律:逢十進(jìn)一,即:9110。十進(jìn)制數(shù)的權(quán)展開式:任意一個十進(jìn)制數(shù)都可以表示為各個數(shù)位上的數(shù)碼與其對應(yīng)的權(quán)的乘積之和,稱為位權(quán)展開式。如:(5555)105103 510251015100又如:(209.04)10 2102 0101910001014 102二進(jìn)制基數(shù)為2,數(shù)碼為:0、1; 運算規(guī)律:逢二進(jìn)一,即:1110。二進(jìn)制數(shù)的權(quán)展開式:如:(101.01)2 122 0211200211 22(5.25)102. 八進(jìn)制 基數(shù)為8,數(shù)碼為:07;運算規(guī)律:逢八進(jìn)一。八進(jìn)制數(shù)的權(quán)展開式:如:(207.04)10 282 0817800814 82 (135.0625)10十六進(jìn)制基數(shù)為十六,數(shù)碼為:09、AF;運算規(guī)律:逢十六進(jìn)一。十六進(jìn)制數(shù)的權(quán)展開式:如:(D8.A)2 13161 816010 161(216.625)10二 不同進(jìn)制數(shù)的相互轉(zhuǎn)換1. 二進(jìn)制數(shù)與十進(jìn)制數(shù)的轉(zhuǎn)換(1) 二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)方法:把二進(jìn)制數(shù)按位權(quán)展開式展開(2) 十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)方法:整數(shù)部分除二取余,小數(shù)部分乘二取整整數(shù)部分采用基數(shù)連除法,先得到的余數(shù)為低位,后得到的余數(shù)為高位。小數(shù)部分采用基數(shù)連乘法,先得到的整數(shù)為高位,后得到的整數(shù)為低位。例:所以:(44.375)10(.011)22. 八進(jìn)制數(shù)與十進(jìn)制數(shù)的轉(zhuǎn)換方法:整數(shù)部分除八取余,小數(shù)部分乘八取整。3. 十六進(jìn)制數(shù)與十進(jìn)制數(shù)的轉(zhuǎn)換方法:整數(shù)部分除十六取余,小數(shù)部分乘十六取整。4. 八進(jìn)制數(shù)與二進(jìn)制數(shù)的轉(zhuǎn)換(1)二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為八進(jìn)制數(shù): 將二進(jìn)制數(shù)由小數(shù)點開始,整數(shù)部分向左,小數(shù)部分向右,每3位分成一組,不夠3位補零,則每組二進(jìn)制數(shù)便是一位八進(jìn)制數(shù)。(2)八進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù):將每位八進(jìn)制數(shù)用3位二進(jìn)制數(shù)表示。5. 十六進(jìn)制數(shù)與二進(jìn)制數(shù)的轉(zhuǎn)換二進(jìn)制數(shù)與十六進(jìn)制數(shù)的相互轉(zhuǎn)換,按照每4位二進(jìn)制數(shù)對應(yīng)于一位十六進(jìn)制數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)換。三 碼制碼制即騙碼方式,編碼即用按一定規(guī)則組合成的二進(jìn)制碼去表示數(shù)或字符等 1.二-十進(jìn)制編碼(BCD碼)為使二進(jìn)制和十進(jìn)制之間轉(zhuǎn)換更方便,常使用二進(jìn)制編碼的十進(jìn)制代碼,這種代碼稱為二十進(jìn)制碼,簡稱BCD碼由于去掉六種多余狀態(tài)的方法不同,因而出現(xiàn)不同的BCD碼,如去掉最后六種狀態(tài)得到的是8421碼,去掉最前和最后三種狀態(tài)得到的是余3碼,另外還有格雷碼,它是在任意相鄰的兩組代碼中只有一位碼不同,這樣可使當(dāng)連續(xù)變化時產(chǎn)生錯誤的可能性小,可靠性高。格雷碼又稱反射碼,一個N位的格雷碼可由N-1位格雷碼按一定規(guī)律寫出。常用的BCD碼見10表1-2,其中前三種為有權(quán)碼,后兩種為無權(quán)碼3. 海明碼二進(jìn)制信息在傳送時,可能會發(fā)生錯誤,利用海明碼不但可以發(fā)現(xiàn)錯誤,還能校正錯誤,下面以8421海明校驗碼為例來說明8421海明校驗碼是由8421碼作信息位,再加3位校驗位組成,它是一個七位代碼,編碼方式見11表1-3表中B1B4是8421碼的信息位,P1P3是3位校驗位,8421海明碼可以檢測并校正1位錯誤。為了檢測,在接收端預(yù)先求出三個校驗和,設(shè)為S3、S2、S1。只有當(dāng)S3=S2=S1=0時,表明傳的代碼沒有錯誤。若傳的代碼有1位錯誤,則由三位校驗位指出錯在何處。第二節(jié) 邏輯代數(shù)邏輯是指人們思維的一種規(guī)律性。邏輯代數(shù)和普通代數(shù)一樣,也是用字母代表變量,邏輯變量只有0和1兩個取值。0和1不表示數(shù)量的大小,只表示對立的兩種邏輯狀態(tài)。數(shù)字電路從其工作過程上看,總是體現(xiàn)一定條件下的因果關(guān)系,即輸出與輸入之間一定的邏輯關(guān)系。因此,邏輯代數(shù)是分析和設(shè)計數(shù)字電路的數(shù)學(xué)工具。一、 三種基本邏輯關(guān)系和運算1“與”邏輯及運算:僅當(dāng)決定事件(Y)發(fā)生的所有條件(A,B,)均滿足時,事件(Y)才能發(fā)生。表達(dá)式為:或Y=AB “與”邏輯表達(dá)式為: 或Y=AB 2“或”邏輯及運算 “或”邏輯表達(dá)式為: Y=A+B3“非”邏輯及運算 “非”邏輯表達(dá)式為: 二、 復(fù)合邏輯是由基本“與”、“或”、“非”邏輯組合而成的。1“與非”邏輯 “與非”邏輯表達(dá)式為: 2“或非”邏輯 “或非”邏輯表達(dá)式為: 3“與或非”邏輯“與或非”邏輯表達(dá)式為: 4“異或”邏輯與“同或”邏輯 “異或”邏輯表達(dá)式為: 或 “同或”邏輯表達(dá)式為: 或 三、 邏輯函數(shù)1 邏輯函數(shù)的定義:若變量A、B、C的取值確定以后,變量Y的值也唯一地確定了,那么就稱Y是A、B、C的邏輯函數(shù)。記作: Y=F(A、B、C)2 邏輯函數(shù)的表示法(1) 真值表以列表的方式反映了邏輯函數(shù)各變量取值組合與函數(shù)值之間的關(guān)系。對于一個確定的邏輯函數(shù)來說,它的真值表只有一個。(2) 邏輯表達(dá)式是用“與”邏輯、“或”邏輯、“非”邏輯等基本邏輯運算符號來表示邏輯函數(shù)中各個變量之間邏輯關(guān)系的代數(shù)式。在邏輯函數(shù)表達(dá)式的運算中,要注意以下幾點: 運算順序是先算括號內(nèi)的式子,再算與,最后算或。 對一組變量進(jìn)行非運算時,可以不用括號。(3) 邏輯圖是用邏輯符號表示邏輯函數(shù)的方法。在數(shù)字電路中,對應(yīng)各種邏輯符號,一般都有實現(xiàn)其功能的單元電路。因此,要完成邏輯電路的設(shè)計,必須把邏輯函數(shù)以邏輯圖的形式表示,以便確定電路結(jié)構(gòu)。(4) 卡諾圖是由 個小方塊按一定規(guī)律排列而成的圖形。3邏輯函數(shù)不同表示法之間的互換 由邏輯函數(shù)式求真值表只要把變量可能出現(xiàn)的各種取值組合,分別代入函數(shù)表達(dá)式,求出對應(yīng)的函數(shù)值,再列表即可。例:列出邏輯表達(dá)式Y(jié)=AB+BC+AC的真值表。ABCY00000010010001111000101111011111 由真值表求邏輯函數(shù)式在給出的函數(shù)真值表中,取出函數(shù)值等于1所對應(yīng)的變量取值組合,組合中變量值為1的寫成原變量,為0的寫成反變量,并把它們連乘起來構(gòu)成乘積項。這樣,對于每一個函數(shù)值等于1的變量取值組合都可以寫出一個乘積項,然后將這些乘積項相加,就得到相應(yīng)的函數(shù)邏輯表達(dá)式了。例:已知函數(shù)Y的真值表如下,寫出Y的邏輯表達(dá)式。ABCY00010010010101111000101011011110得: 由邏輯表達(dá)式畫出邏輯圖邏輯函數(shù)式是由與、或、非三種運算組合而成的,只要用這三種邏輯符號來表示這三種運算,就可以得到相應(yīng)的邏輯圖。例:試畫出函數(shù)的邏輯圖或例:試畫出函數(shù) 的邏輯圖 由邏輯圖寫出邏輯表達(dá)式根據(jù)已知的邏輯圖,由變量端開始逐級寫出邏輯表達(dá)式。例:寫出圖示邏輯圖的邏輯函數(shù)表達(dá)式。四、 邏輯代數(shù)的基本公式與定律1 基本公式和基本定律自等律 A+0=A 0-1律 A+1=1 重疊律 A+A=A 互補律 還原律 交換律 A+B=B+A 結(jié)合律 (A+B)+C=A+(B+C) 分配律 反演律 反演律公式或以推廣到多個變量: 這些基本定律可以直接利用真值表證明,如果等式兩邊的真值表相同,則等式成立。例:證明交換律。2 常用公式(1) A+AB=A證明:(2)證明:(3)證明: (4)證明: (5)證明:(6)證明:3 邏輯代數(shù)的三個規(guī)則(1) 代入規(guī)則:在任何一個邏輯等式中,如果將某個變量用同一個函數(shù)式來代換,則等式成立。例:已知等式A+AB=A,若令Y=C+D代替等式中的A,則新等式(C+D)+(C+D)B=C+D成立。證明:(C+D)+(C+D)B=(C+D)(1+B)=(C+D)*1=C+D(2) 反演規(guī)則對于任意一個邏輯函數(shù)Y,如果要求其反函數(shù)Y時,只要將Y表達(dá)式中的所有“*”換成“+”,“+”換成“*”,“0”換成“1”,“1”換成“0”,原變量換成反變量,反變量換成原變量,即可求出函數(shù)Y的反函數(shù)。注意: 要注意運算符號的優(yōu)先順序。不應(yīng)改變原式的運算順序。例:應(yīng)寫為證: 不是一個變量上的非號應(yīng)保持不變。例:則則(3) 對偶規(guī)則對于函數(shù)Y,若把其表達(dá)式中的“*”換成“+”,“+”換成“*”,“0”換成“1”,“1”換成“0”,就可得到一個新的邏輯函數(shù)Y,Y就是Y的對偶式。例如:則若兩個邏輯式相等,它們的對偶式也一定相等。例:則:使用對偶規(guī)則時,同樣要注意運算符號的先后順序和不是一個變量上的“非”號應(yīng)保持不變。五、 邏輯函數(shù)的化簡1 化簡的意義邏輯函數(shù)的簡化意味著實現(xiàn)這個邏輯函數(shù)的電路元件少,從而降低成本,提高電路的可靠性。 例如:邏輯涵數(shù)表達(dá)式的表達(dá)形式大致可分為五種:“與或”式、“與非-與非”式、“與或非”式、“或與”式、“或非-或非”式。它樣可以相互轉(zhuǎn)換。例如:邏輯函數(shù)的化簡,通常指的是化簡為最簡與或表達(dá)式。因為任何一個邏輯函數(shù)表達(dá)式都比較容易展開成與或表達(dá)式,一旦求得最簡與或式,又比較容易變換為其它形式的表達(dá)式。所謂最簡與或式,是指式中含有的乘積項最少,并且每一個乘積項包含的變量也是最少的。2 邏輯函數(shù)的代數(shù)化簡法代數(shù)化簡法就是運用邏輯代數(shù)的基本定律、規(guī)則和常用公式化簡邏輯函數(shù)。代數(shù)化簡法經(jīng)常用下列幾種方法:(1) 合并項法 利用公式,將兩項合并為一項,消去一個變量。 例如: (2) 吸收法利用公式A+AB=A及AB+AC+BC=AB+AC,消去多余乘積項。例如:(3) 消去法利用公式A+AB=A+B消去多余因子。例如:(4) 配項法利用公式A+A=1,給某個乘積項配項,以達(dá)到進(jìn)一步簡化。例如:例:例:在數(shù)字電路中,大量使用與非門,所以如何把一個化簡了的與或表達(dá)式轉(zhuǎn)換與與非-與非式,并用與非門去實現(xiàn)它,是十分重要的。一般,用兩次求反法可以將一個化簡了的與或式轉(zhuǎn)換成與非-與非式。例:3 卡諾圖化簡法(1) 最小項 最小項的定義對于N個變量,如果P是一個含有N個因子的乘積項,而在P中每一個變量都以原變量或反變量的形式出現(xiàn)一次,且僅出現(xiàn)一次,那么就稱P是N個變量的一個最小項。因為每個變量都有以原變量和反變量兩種可能的形式出現(xiàn),所以N個變量有 個最小項。 最小項的性質(zhì)P24表-16列出了三個變量的全部最小項真值表。由表可以看出最小項具有下列性質(zhì):性質(zhì)1:每個最小項僅有一組變量的取值會使它的值為“1”,而其他變量取值都使它的值為“0”。性質(zhì)2:任意兩個不同的最小項的乘積恒為“0”。性質(zhì)3:全部最小項之和恒為“1”。由函數(shù)的真值可以很容易地寫出函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)與或式,此外,利用邏輯代數(shù)的定律、公式,可以將任何邏輯函數(shù)式展開或變換成標(biāo)準(zhǔn)與或式。例:例: 最小項編號及表達(dá)式 為便于表示,要對最小項進(jìn)行編號。編號的方法是:把與最小項對應(yīng)的那一組變量取值組合當(dāng)成二進(jìn)制數(shù),與其對應(yīng)的十進(jìn)制數(shù),就是該最小項的編號。在標(biāo)準(zhǔn)與或式中,常用最小項的編號來表示最小項。如:常寫成或(2) 邏輯函數(shù)的卡諾圖表達(dá)法 邏輯變量卡諾圖卡諾圖也叫最小項方格圖,它將最小項按一定的規(guī)則排列成方格陣列。根據(jù)變量的數(shù)目N,則應(yīng)有個小方格,每個小方格代表一個最小項??ㄖZ圖中將N個變量分成行變量和列變量兩組,行變量和列變量的取值,決定了小方格的編號,也即最小項的編號。行、列變量的取值順序一定要按格雷碼排列。P26列出了二變量、三變量和四變量的卡諾圖??ㄖZ圖的特點是形象地表達(dá)了各個最小項之間在邏輯上的相鄰性。圖中任何幾何位置相鄰的最小項,在邏輯上也是相鄰的。所謂邏輯相鄰,是指兩個最小項只有一個是互補的,而其余的變量都相同,所謂幾何相鄰,不僅包括卡諾圖中相接小方格的相鄰,方格間還具有對稱相鄰性。對稱相鄰性是指以方格陣列的水平或垂直中心線為對稱軸,彼此對稱的小方格間也是相鄰的??ㄖZ圖的主要缺點是隨著變量數(shù)目的增加,圖形迅速復(fù)雜化,當(dāng)邏輯變量在五個以上時,很少使用卡諾圖。 邏輯函數(shù)卡諾圖用卡諾圖表示邏輯函數(shù)就是將函數(shù)真值表或表達(dá)式等的值填入卡諾圖中??筛鶕?jù)真值表或標(biāo)準(zhǔn)與或式畫卡諾圖,也可根據(jù)一般邏輯式畫卡諾圖。若已知的是一般的邏輯函數(shù)表達(dá)式,則首先將函數(shù)表達(dá)式變換成與或表達(dá)式,然后利用直接觀察法填卡諾圖。觀察法的原理是:在邏輯函數(shù)與或表達(dá)式中,凡是乘積項,只要有一個變量因子為0時,該乘積項為0;只有乘積項所有因子都為1時,該乘積項為1。如果乘積項沒有包含全部變量,無論所缺變量為1或者為0,只要乘積項現(xiàn)有變量滿足乘積項為1的條件,該乘積項即為1。例1:可寫成例2:(3) 邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法 合并最小項的規(guī)律根據(jù)公式AB+AB=A或知,兩邏輯上相鄰的最小項之和或以合并成一項,并消去一個變量;四個相鄰最小項可合并為一項,并消去兩個變量??ㄖZ圖上能夠合并的相鄰最小項必須是2的整次冪。 用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)一般可分為三步進(jìn)行:首先是畫出函數(shù)的卡諾圖;然后是圈1合并最小項;最后根據(jù)方格圈寫出最簡與或式。在圈1合并最小項時應(yīng)注意以下幾個問題:圈數(shù)盡可能少;圈盡可能大;卡諾圖中所有“1”都要被圈,且每個“1”可以多次被圈;每個圈中至少要有一個“1”只圈1次。一般來說,合并最小項圈1的順序是先圈沒有相鄰項的1格,再圈兩格組、四格組、八格組。兩點說明: 在有些情況下,最小項的圈法不只一種,得到的各個乘積項組成的與或表達(dá)式各不相同,哪個是最簡的,要經(jīng)過比較、檢查才能確定。例: 在有些情況下,不同圈法得到的與或表達(dá)式都是最簡形式。即一個函數(shù)的最簡與或表達(dá)式不是唯一的。例:4 具有約束條件的邏輯函數(shù)化簡(1) 約束、約束條件、約束項在實際的邏輯問題中,決定某一邏輯函數(shù)的各個變量之間,往往具有一定的制約關(guān)系。這種制約關(guān)系稱為約束。例如,設(shè)在十字路口的交通信號燈,綠燈亮表示可通行,黃燈亮表示車輛停,紅燈亮表示不
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